高考数学大一轮复习第八章立体几何8-5直线平面垂直的判定与性质教师用书.doc
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1、1 / 24【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第八章立体几何精选高考数学大一轮复习第八章立体几何 8-58-5直线平面垂直的判定与性质教师用书直线平面垂直的判定与性质教师用书1直线与平面垂直(1)定义如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直,则直线 l 与平面 垂直(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直Error!l性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行Error!ab2.直线和平面所成的角(1)定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角若一条直线垂直于平
2、面,它们所成的角是直角,若一条直线和平面平行,或在平面内,它们所成的角是 0的角(2)范围:0,3平面与平面垂直(1)二面角的有关概念2 / 24二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角;二面角的平面角:在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角(2)平面和平面垂直的定义两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直Error!性质定理两个平面垂直,则一个平面内垂直于交
3、线的直线与另一个平面垂直Error!l【知识拓展】重要结论:(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面(2)若一条直线垂直于一个平面,则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)(3)垂直于同一条直线的两个平面平行(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这一条直线与另一个平面也垂直3 / 24【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)直线 l 与平面 内的无数条直线都垂直,则 l.( )(2)垂直于同一个平面的两平面平行( )(3)直线 a,直线 b,则 ab.( )(4)若 ,aa.( )(5)若直线 a平面 ,直线 b,则直
4、线 a 与 b 垂直( )1(教材改编)下列命题中不正确的是( )A如果平面 平面 ,且直线 l平面 ,则直线 l平面 B如果平面 平面 ,那么平面 内一定存在直线平行于平面C如果平面 不垂直于平面 ,那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 D如果平面 平面 ,平面 平面 ,l,那么l答案 A解析 根据面面垂直的性质,知 A 不正确,直线 l 可能平行平面,也可能在平面 内2设平面 与平面 相交于直线 m,直线 a 在平面 内,直线 b在平面 内,且 bm,则“”是“ab”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4 / 24答案 A解析 若 ,因为 m,b
5、,bm,所以根据两个平面垂直的性质定理可得 b,又 a,所以 ab;反过来,当am 时,因为 bm,且 a,m 共面,一定有 ba,但不能保证b,所以不能推出 .3(2016宝鸡质检)对于四面体 ABCD,给出下列四个命题:若 ABAC,BDCD,则 BCAD;若 ABCD,ACBD,则 BCAD;若 ABAC,BDCD,则 BCAD;若 ABCD,ACBD,则 BCAD.其中为真命题的是( )A B C D答案 D解析 如图,取 BC 的中点 M,连接 AM,DM,由ABACAMBC,同理 DMBCBC平面 AMD,而AD平面 AMD,故 BCAD.设 A 在平面 BCD 内的射影为 O,连
6、接 BO,CO,DO,由 ABCDBOCD,由 ACBDCOBDO为BCD 的垂心DOBCADBC.4(教材改编)在三棱锥 PABC 中,点 P 在平面 ABC 中的射影为点 O.(1)若 PAPBPC,则点 O 是ABC 的_心(2)若 PAPB,PBPC,PCPA,则点 O 是ABC 的_心答案 (1)外 (2)垂5 / 24解析 (1)如图 1,连接 OA,OB,OC,OP,在 RtPOA、RtPOB 和 RtPOC 中,PAPCPB,所以 OAOBOC,即 O 为ABC 的外心(2)如图 2,延长 AO,BO,CO 分别交 BC,AC,AB 于 H,D,G.PCPA,PBPC,PAPB
7、P,PC平面 PAB,AB平面 PAB,PCAB,又 ABPO,POPCP,AB平面 PGC,又 CG平面 PGC,ABCG,即 CG 为ABC 边 AB 的高同理可证 BD,AH 为ABC 底边上的高,即 O 为ABC 的垂心.题型一 直线与平面垂直的判定与性质例 1 (2016全国甲卷改编)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,AB5,AC6,点 E,F 分别在 AD,CD 上,AECF,EF交 BD 于点 H.将DEF 沿 EF 折到DEF 的位置OD.证明:DH平面 ABCD.证明 由已知得 ACBD,ADCD.又由 AECF 得,故 ACEF.因此 EFHD,从
8、而 EFDH.由 AB5,AC6 得 DOBO4.6 / 24由 EFAC 得.所以 OH1,DHDH3.于是 DH2OH2321210DO2,故 DHOH.又 DHEF,而 OHEFH,且 OH,EF平面 ABCD,所以 DH平面 ABCD.思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法有:判定定理;垂直于平面的传递性(ab,ab);面面平行的性质(a,a);面面垂直的性质(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想(2016市高三质检) 在三棱锥 ABCD 中,AB平面BCD,
9、DBDC4,BDC90,P 在线段 BC 上,CP3PB,M,N 分别为 AD,BD 的中点求证:BC平面 MNP.证明 因为 MN 是ABD 的中位线,所以 MNAB.又 AB平面 BCD,所以 MN平面 BCD,又因为 BC平面 BCD,所以 MNBC.7 / 24取 BC 的中点 Q,连接 DQ,则 DQBC.由 PN 是BDQ 的中位线知 PNDQ,所以 PNBC.由可得 BC平面 MNP.题型二 平面与平面垂直的判定与性质例 2 如图,四棱锥 PABCD 中,ABAC,ABPA,ABCD,AB2CD,E,F,G,M,N 分别为PB,AB,BC,PD,PC 的中点(1)求证:CE平面
10、PAD;(2)求证:平面 EFG平面 EMN.证明 (1)方法一 取 PA 的中点 H,连接 EH,DH.又 E 为 PB 的中点,所以 EH 綊 AB.又 CD 綊 AB,所以 EH 綊 CD.所以四边形 DCEH 是平行四边形,所以 CEDH.又 DH平面 PAD,CE平面 PAD.所以 CE平面 PAD.方法二 连接 CF.因为 F 为 AB 的中点,所以 AFAB.8 / 24又 CDAB,所以 AFCD.又 AFCD,所以四边形 AFCD 为平行四边形因此 CFAD,又 CF平面 PAD,AD平面 PAD,所以 CF平面 PAD.因为 E,F 分别为 PB,AB 的中点,所以 EFP
11、A.又 EF平面 PAD,PA平面 PAD,所以 EF平面 PAD.因为 CFEFF,故平面 CEF平面 PAD.又 CE平面 CEF,所以 CE平面 PAD.(2)因为 E、F 分别为 PB、AB 的中点,所以 EFPA.又因为 ABPA,所以 EFAB,同理可证 ABFG.又因为 EFFGF,EF平面 EFG,FG平面 EFG.所以 AB平面 EFG.又因为 M,N 分别为 PD,PC 的中点,所以 MNCD,又 ABCD,所以 MNAB,所以 MN平面 EFG.又因为 MN平面 EMN,所以平面 EFG平面 EMN.引申探究1在本例条件下,证明:平面 EMN平面 PAC.证明 因为 AB
12、PA,ABAC,且 PAACA,PA平面 PAC,AC平面 PAC,9 / 24所以 AB平面 PAC.又 MNCD,CDAB,所以 MNAB,所以 MN平面 PAC.又 MN平面 EMN,所以平面 EMN平面 PAC.2在本例条件下,证明:平面 EFG平面 PAC.证明 因为 E,F,G 分别为 PB,AB,BC 的中点,所以 EFPA,FGAC,又 EF平面 PAC,PA平面 PAC,所以 EF平面 PAC.同理,FG平面 PAC.又 EFFGF,所以平面 EFG平面 PAC.思维升华 (1)判定面面垂直的方法面面垂直的定义;面面垂直的判定定理(a,a)(2)在已知平面垂直时,一般要用性质
13、定理进行转化在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直(2016江苏) 如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,D,E分别为 AB,BC 的中点,点 F 在侧棱 B1B 上,且B1DA1F,A1C1A1B1.10 / 24求证:(1)直线 DE平面 A1C1F;(2)平面 B1DE平面 A1C1F.证明 (1)由已知,DE 为ABC 的中位线,DEAC,又由三棱柱的性质可得 ACA1C1,DEA1C1,又DE平面 A1C1F,A1C1平面 A1C1F,DE平面 A1C1F.(2)在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,AA1平面 A1B1C1,AA1A1C1,又A1B1A
14、1C1,且 A1B1AA1A1,A1B1平面 ABB1A1,AA1平面 ABB1A1,A1C1平面 ABB1A1,B1D平面 ABB1A1,A1C1B1D,又A1FB1D,且 A1FA1C1A1,A1F平面 A1C1F,A1C1平面 A1C1F,B1D平面 A1C1F,又B1D平面 B1DE,平面 B1DE平面 A1C1F.题型三 求空间角命题点 1 求两条异面直线所成的角和二面角例 3 如图所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F 分别是11 / 24AD,AA1 的中点(1)求直线 EF 和直线 AB1 所成的角的大小;(2)求二面角 DA1C1D1 的正切值解 (1)在正方体
15、 ABCDA1B1C1D1 中,因为 E,F 分别是 AD,AA1 的中点,所以 EFA1D.因为 ADB1C1,ADB1C1,所以四边形 ADC1B1 为平行四边形所以 AB1DC1.所以A1DC1 是直线 AB1 和 EF 所成的角因为A1DC1 是等边三角形,所以A1DC160,即直线 AB1 和 EF 所成的角是 60.(2)在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,连接 B1D1 交 A1C1 于点 M,连接DM,则 D1MA1C1.又 DD1平面 A1C1,所以 DD1A1C1,且 D1MDD1D1,所以 A1C1平面 DD1M,又 DM平面 DD1M,所以 DMA1C1.故DMD1
16、 为二面角 DA1C1D1 的平面角,故 tanDMD1.12 / 24命题点 2 求直线和平面所成的角例 4 (2016温州一模)如图,在三棱锥 DABC 中,DADBDC,点 D 在底面 ABC 上的射影为点 E,ABBC,DFAB 于点 F.(1)求证:平面 ABD平面 DEF;(2)若 ADDC,AC4,BAC60,求直线 BE 与平面 DAB 所成的角的正弦值(1)证明 如图,由题意知 DE平面 ABC,所以 ABDE,又 ABDF,DEDFD,所以 AB平面 DEF,又 AB平面 ABD,所以平面 ABD平面 DEF.(2)解 由 DADBDC,知 EAEBEC,E 为 AC 的中
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