复变函数与积分变换期末总复习课件.ppt
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1、第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数1.复数代数运算复数代数运算2.复数的各种表示法复数的各种表示法3.乘幂与方根运算公式乘幂与方根运算公式4.复数方程表示曲线以及不等式表示区复数方程表示曲线以及不等式表示区域域1解解2解解3解解4例例5 5 满足下列条件的点组成何种图形满足下列条件的点组成何种图形?是不是区是不是区域域?若是区域请指出是单连通区域还是多连通区域若是区域请指出是单连通区域还是多连通区域.解解 是实数轴是实数轴,不是区域不是区域.是以是以 为界的带形单连通区为界的带形单连通区 域域.解解5 是以是以 为焦点为焦点,以以3为半为半长轴的椭圆闭区域长轴的椭圆闭区域,它不是区它不
2、是区域域.不是区域,因为图中不是区域,因为图中解解解解在圆环内的点不是内点在圆环内的点不是内点.6例例6 6 函数函数 将将 平面上的下列曲线变成平面上的下列曲线变成 平平面上的什么曲线?面上的什么曲线?解解又又于是于是表示表示 平面上的圆平面上的圆.(1)7解解表示表示 平面上以平面上以 为圆心,为圆心,为半径的圆为半径的圆.8第二章第二章 解析函数解析函数1.解析函数的概念;解析函数的概念;2.函数解析性的判别(函数解析性的判别(C-R方程)方程)3.几个常用初等函数几个常用初等函数93.3.初等解析函数初等解析函数1)1)指数函数指数函数10 2)2)三角函数三角函数11(4)正弦函数和
3、余弦函数在复平面内都是解析函正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数数12其它复变三角函数的定义其它复变三角函数的定义133 3)对数函数)对数函数因此因此14154)4)幂函数幂函数16典型例题典型例题证证1718例例2 2 函数函数 在何处在何处可导,何处解析可导,何处解析.解解故故 仅在直线仅在直线 上可导上可导.故故 在复平面上处处不解析在复平面上处处不解析.19例例3 3 设设 为解析函数,求为解析函数,求 的值的值.解解 设设故故由于由于 解析,所以解析,所以即即故故20 设设 为为 平面上任意一定点平面上任意一定点,当点当点 沿直线沿直线 趋于趋于 时时,有有解解例例4 4 研究
4、研究 的可导性的可导性.21当点当点 沿直线沿直线 趋于趋于 时时,有有例例4 4 研究研究 的可导性的可导性.22例例5 5 解方程解方程解解23例例6 6 求出求出 的值的值.解解24解解例例7 7 试求试求 函数值及其主值函数值及其主值:令令 得主值得主值:25 第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分1.复积分的计算公式及基本性质复积分的计算公式及基本性质2.复积分的基本定理复积分的基本定理 3.柯西积分公式与高阶导数公式柯西积分公式与高阶导数公式26积分存在的条件及计算积分存在的条件及计算(1 1)化成线积分)化成线积分(2 2)用参数方程将积分化成定积分)用参数方程将积分化成定积
5、分274.积分的性质积分的性质28 柯西古萨基本定理柯西古萨基本定理(柯西积分定理柯西积分定理)29 闭路变形原理闭路变形原理 复合闭路定理复合闭路定理 一个解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线一个解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值在区域内作连续变形而改变它的值.那末那末3031柯西积分公式柯西积分公式一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值平均值.32 高阶导数公式高阶导数公式33调和函数和共轭调和函数调和函数和共轭调和函数 任何在任何在 D 内解析的函数内解析的函数,它的实部和虚部它的实部和虚部都是都是 D 内的调和
6、函数内的调和函数.34定理定理 区域区域D D内的解析函数的虚部为实部的共轭内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数调和函数.共轭调和函数共轭调和函数35 典型例题典型例题例例1 1 计算计算 的值,其中的值,其中C为为1)沿从)沿从 到到 的线段:的线段:2)沿从)沿从 到到 的线段:的线段:与从与从 到到 的线段的线段 所接成的折线所接成的折线.解解36说明说明 同一函数沿不同路径所得积分值不同同一函数沿不同路径所得积分值不同.37解解分分以下四种情况讨论:以下四种情况讨论:3839404142解解为大于为大于1的自然数的自然数.例例6 6 计算下列积分计算下列积分43解法一解法一 不定积分
7、法不定积分法.利用柯西利用柯西黎曼方程黎曼方程,44 因而得到解析函数因而得到解析函数45解解例例8 8 已知已知 求解求解析函数析函数 ,使符合条件使符合条件4647第四章第四章 级级 数数1、复数列、复级数收敛充要条件、复数列、复级数收敛充要条件2、幂级数收敛半径求法幂级数收敛半径求法3、函数展开成泰勒级数与洛朗级数函数展开成泰勒级数与洛朗级数48常见函数的泰勒展开式常见函数的泰勒展开式4950根据正、负幂项组成的的级数的唯一性根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开.(2)间接展开法间接展开法将函数展为洛朗级
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- 函数 积分 变换 期末 复习 课件
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