置换群扩展学习.pptx
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1、二、对称变换群的实例二、对称变换群的实例 例1 求正方形的对称变换群.由图1.7.1不难看出,正方形的对称变换只有两种:(1)分别绕中心点 按逆时针方向旋转 、的旋转;(2)关于直线 、的镜面反射.第1页/共16页 为了用置换来表示正方形的对称变换,我们用数字1、2、3、4来代表正方形的四个顶点(如图1.7.1).显然,正方形的每一个对称变换都导致了这四个顶 点的一个置换.如果对称变换将顶点 变为顶点 ,那么我们用置换 第2页/共16页变换,都可惟一地确定一个4阶置换,且不同的对称 变换对应了不同的置换.所以,正方形的每一个对 称变换,都可用惟一的一个四阶置换来表示.表1.7.1列出了正方形的
2、对称变换及其相应的置 换表示 点击看表点击看表来表示这个对称变换.易知,由正方形的每一个对称第3页/共16页对称变换对称变换 置换表示置换表示 表示绕中心旋转表示绕中心旋转 表示绕中心旋转表示绕中心旋转 表示绕中心旋转表示绕中心旋转 表示绕中心旋转表示绕中心旋转 (恒等变换)(恒等变换)表示关于表示关于 的反射的反射 表示关于表示关于 的反射的反射 表示关于表示关于 的反射的反射 表示关于表示关于 的反射的反射 表1.7.1 第4页/共16页 由表1.7.1可知,两个对称变换的乘积对应于相应的置换的乘积.所以正方形的对称变换群是 的一个子群,记作 .由表1.7.1可知 .一般地,正 边形 的对
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