误差理论与数据处理第五章精.ppt
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1、误差理论与数据处理第五章第1页,本讲稿共41页l 最小二乘法原理最小二乘法原理l 等精度测量线性参数的最小二乘处理等精度测量线性参数的最小二乘处理l 不等精度测量线性参数的最小二乘处理不等精度测量线性参数的最小二乘处理l 最小二乘估计量的精度估计最小二乘估计量的精度估计l 组合测量的最小二乘法处理组合测量的最小二乘法处理重点与难点重点与难点第第5 5章章 线性参数的最小二乘处理线性参数的最小二乘处理第2页,本讲稿共41页一、引入一、引入待测量(难以直接测量):待测量(难以直接测量):直接测量量:直接测量量:问题:问题:如何根据和测量方程解得待测如何根据和测量方程解得待测 量的估计值量的估计值?
2、第一节最小二乘原理第一节最小二乘原理第3页,本讲稿共41页直接求得。直接求得。有利于减小随机误差,方程组有利于减小随机误差,方程组有冗余,采用最小二乘原理求有冗余,采用最小二乘原理求 。讨论:讨论:最小二乘原理:最小二乘原理:最可信赖值应使残余误差平方和最小。最可信赖值应使残余误差平方和最小。第一节最小二乘原理第一节最小二乘原理第4页,本讲稿共41页二、最小二乘原理二、最小二乘原理设直接测量量设直接测量量 的估计值为的估计值为 ,则有则有残差方程式残差方程式第一节最小二乘原理第一节最小二乘原理第5页,本讲稿共41页若若 不存在系统误差,相互独立并服从正态不存在系统误差,相互独立并服从正态分布,
3、标准差分别为分布,标准差分别为 ,则,则 出现出现在相应真值附近在相应真值附近 区域内的概率为区域内的概率为由概率论可知,各测量数据同时出现在相应区域的概由概率论可知,各测量数据同时出现在相应区域的概率为率为第一节最小二乘原理第一节最小二乘原理第6页,本讲稿共41页测量值测量值 已经出现,有理由认为这已经出现,有理由认为这n n个测量值个测量值出现于相应区间的概率出现于相应区间的概率P P为最大。要使为最大。要使P P最大,应有最大,应有最小最小由于结果只是接近真值的估计值,因此上述条件应表由于结果只是接近真值的估计值,因此上述条件应表示为示为最小最小第一节最小二乘原理第一节最小二乘原理第7页
4、,本讲稿共41页等精度测量的最小二乘原理:等精度测量的最小二乘原理:最小最小 不等精度测量的最小二乘原理:不等精度测量的最小二乘原理:最小最小最小二乘原理(其他分布也适用)最小二乘原理(其他分布也适用)测量结果的最可信赖值应使残余误差平方和测量结果的最可信赖值应使残余误差平方和(或加权残余误差平方和)最小。(或加权残余误差平方和)最小。第一节最小二乘原理第一节最小二乘原理第8页,本讲稿共41页三、等精度测量的线性参数最小二乘原理三、等精度测量的线性参数最小二乘原理线性参数的测量方程和相应的估计量为:线性参数的测量方程和相应的估计量为:残差方程为残差方程为第一节最小二乘原理第一节最小二乘原理第9
5、页,本讲稿共41页令令则残差方程的矩阵表达式为则残差方程的矩阵表达式为等精度测量最小二乘原理的矩阵形式:等精度测量最小二乘原理的矩阵形式:第一节最小二乘原理第一节最小二乘原理第10页,本讲稿共41页不等精度测量最小二乘原理的矩阵形式:不等精度测量最小二乘原理的矩阵形式:思路一:思路一:权矩阵权矩阵四、不等精度测量的线性参数最小二乘原理四、不等精度测量的线性参数最小二乘原理第一节最小二乘原理第一节最小二乘原理第11页,本讲稿共41页思路二:不等精度等精度思路二:不等精度等精度则有:则有:第一节最小二乘原理第一节最小二乘原理第12页,本讲稿共41页正规方程:误差方程按最小二乘法原理转化得到的正规方
6、程:误差方程按最小二乘法原理转化得到的有确定解的代数方程组。有确定解的代数方程组。一、等精度测量线性参数最小二乘处理的正一、等精度测量线性参数最小二乘处理的正 规方程规方程第二节正规方程第二节正规方程第13页,本讲稿共41页正规方程:正规方程:特点:特点:主对角线分布着平方项系数,正数主对角线分布着平方项系数,正数相对于主对角线对称分布的各系数两两相等相对于主对角线对称分布的各系数两两相等第二节正规方程第二节正规方程第14页,本讲稿共41页看正规方程组中第看正规方程组中第r r个方程:个方程:则正规方程可写成则正规方程可写成即即正规方程的矩阵形式正规方程的矩阵形式第二节正规方程第二节正规方程第
7、15页,本讲稿共41页将代入到中,得将代入到中,得(待测量的无偏估计)(待测量的无偏估计)第二节正规方程第二节正规方程第16页,本讲稿共41页例例5.1 5.1 已知铜棒的长度和温度之间具有线性关系:已知铜棒的长度和温度之间具有线性关系:。为获得。为获得时铜棒的长度时铜棒的长度和铜的线膨胀系数,现测得不同温度下铜和铜的线膨胀系数,现测得不同温度下铜棒的长度,如下表,求,的最可信赖值。棒的长度,如下表,求,的最可信赖值。1010202030304040505060602000.362000.362000.722000.722000.82000.82001.072001.072001.482001
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- 误差 理论 数据处理 第五
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