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1、 高中数学公式及知识点速记 1、函数的单调性(1)设1212,xxa bxx、且那么,)(0)()(21baxfxfxf在上是增函数;,)(0)()(21baxfxfxf在上是减函数.(2)设函数)(xfy 在某个区间内可导,若0)(xf,则)(xf为增函数;若0)(xf,则)(xf为减函数;若()=0fx,则)(xf有极值。2、函数的奇偶性 若)()(xfxf,则)(xf是偶函数;偶函数的图象关于 y 轴对称。若)()(xfxf,则)(xf是奇函数;奇函数的图象关于原点对称。3、函数)(xfy 在点0 x处的导数的几何意义 函数)(xfy 在点0 x处的导数)(0 xf 是曲线)(xfy 在
2、)(,(00 xfxP处的切线的斜率,相应的切线方程是)(000 xxxfyy.4、几种常见函数的导数 C0;1)(nnnxx;xxcos)(sin;xxsin)(cos;aaaxxln)(;xxee)(;axxaln1)(log;xx1)(ln 5、导数的运算法则(1)()uvuv.(2)()uvuvuv.(3)2()uuvuvvv.6、求函数 yf x的极值的方法是:解方程 0fx得0 x当 00fx时:如果在0 x附近的左侧 0fx,右侧 0fx,那么 0f x是极大值;如果在0 x附近的左侧 0fx,右侧 0fx,那么 0f x是极小值 7、分数指数幂 (1)mnmnaa.(2)11m
3、nmnmnaaa.8、根式的性质(1)()nnaa.(2)当n为奇数时,nnaa;当n为偶数时,,0|,0nna aaaa a.9、有理指数幂的运算性质(1)rsr saaa;(2)()rsrsaa;(3)()rrraba b.10、对数公式(1)指数式与对数式的互化式:logbaNbaN。(2)对数的换底公式:logloglogmamNNa.(3)对数恒等式:loglognaabnb;loglogmnaanbbm;logaNaN;log 10a;log1aa 11、常见的函数图象 k0y=kx+boyx a0y=ax2+bx+coyx 0a11y=axoyx 0a11y=logaxoyx 1
4、2、同角三角函数的基本关系式 22sincos1,tan=cossin.13、正弦、余弦的诱导公式 诱导公式一:sin(+k2)=sin(+2k)=sin;cos(+k2)=cos(+2k)=cos tan(+k2)=tan(+2k)=tan 诱导公式二:sin()=sin;cos()=cos;tan()=tan.诱导公式三:sin()=sin;cos()=cos;tan()=tan.诱导公式四:sin()=sin;cos()=cos;tan()=tan.诱导公式五:sin(2)=cos;cos(2)=sin;诱导公式六:sin(2)=cos;cos(2)=sin.14、和角与差角公式 sin
5、()sincoscossin;cos()coscossinsin;tantantan()1tantan.sincosab=22sin()ab;(辅助角所在象限由点(,)a b的象限决定,tanba).15、二倍角公式 sin 2sincos.2222cos2cossin2cos11 2sin .22tantan21tan.公式变形:;22cos1sin,2cos1sin2;22cos1cos,2cos1cos22222 16、三角函数的周期 函数sin()yAx及函数cos()yAx的周期2|T,最大值为|A|;函数tan()yAx(2xk)的周期|T.17.正弦定理:2sinsinsinab
6、cRABC(R 为ABC外接圆的半径).2 sin,2 sin,2 sinaRA bRB cRC:sin:sin:sina b cABC 18.余弦定理 2222cosabcbcA;2222cosbcacaB;2222coscababC.19.面积定理 111sinsinsin222SabCbcAcaB.20、三角形内角和定理 在ABC 中,有ABC()CAB dx 222CAB 222()CAB.21、三角函数的性质 22、a与 b 的数量积:ab=|a|b|cos 23、平面向量的坐标运算(1)设 A11(,)x y,B22(,)xy,则2121(,)ABOBOAxx yy(2)设 a=1
7、1(,)x y,b=22(,)xy,则 a+b=1212(,)xxyy.(3)设 a=11(,)x y,b=22(,)xy,则 a-b=1212(,)xxyy.(4)设 a=(,),x yR,则a=(,)xy.(5)设 a=11(,)x y,b=22(,)xy,则 ab=1212x xy y.(6)设 a=),(yx,则22yxa 24、两向量的夹角公式:121222221122cosx xy ya bxyxyab;(a=11(,)x y,b=22(,)xy).25、平面两点间的距离公式:,A Bd=|AB222121()()xxyy 26、向量的平行与垂直:设 a=11(,)x y,b=22
8、(,)xy,则 abb=a 12210 x yx y.abab=012120 x xy y.27、数列的通项公式与前 n 项的和的关系 11,1,2nnnsnassn;(数列na的前 n 项的和为12nnsaaa).28、等差数列的通项公式 11(1)naanddnad;29、等差数列其前 n 项和公式为 1()2nnn aas1(1)2n nnad.30、等差数列的性质:等差中项:2na=1na+1na;若 m+n=p+q,则ma+na=pa+qa;mS,2mS,3mS分别为前 m,前 2m,前 3m 项的和,则mS,2mS-mS,3mS-2mS成等差数列。31、等比数列的通项公式 11nn
9、aa q;32、等比数列前 n 项的和公式为 11(1),11,1nnaqqqsnaq 或 11,11,1nnaa qqqsnaq.33、等比数列的性质:等比中项:2nb=11nnbb;若 m+n=p+q,则mnbb=pqbb;mS,2mS,3mS分别为前 m,前 2m,前 3m 项的和,则mS,2mS-mS,3mS-2mS成等比数列。34、常用不等式:(1),a bR222abab(当且仅当 ab 时取“=”号)(2),a bR2abab(当且仅当 ab 时取“=”号)35、直线的 3 种方程 (1)点斜式:11()yyk xx;(直线l过点111(,)P x y,且斜率为k)(2)斜截式:
10、ykxb;(b 为直线l在 y 轴上的截距).(3)一般式:0AxByC;(其中 A、B 不同时为 0).36、两条直线的平行和垂直 若111:lyk xb,222:lyk xb 121212|,llkkbb且;12121llkk.37、点到直线的距离 0022|AxByCdAB;(点00(,)P xy,直线l:0AxByC).38、圆的 2 种方程(1)圆的标准方程 222()()xaybr.(2)圆的参数方程 cossinxarybr.39、点与圆的位置关系:点00(,)P xy与圆222)()(rbyax的位置关系有三种 若2200()()daxby,则 dr点P在圆外;dr点P在圆上;
11、dr点P在圆内.40、直线与圆的位置关系 直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种:其中22BACBbAad 2=4ac0bdr相离方程组无解:;2=4ac0bdr 相切方程组有唯一解:;2=4ac0bdr 相交方程组有两个解:.41、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质 椭圆:22221(0)xyabab,焦点(c,0),222bca,离心率2=2aceca焦距长轴,参数方程是cossinxayb.双曲线:12222byax(a0,b0),焦点(c,0),222bac,离心率2=2aceca焦距长轴,渐近线方程是xaby.抛物线:pxy22,焦点)0,2(
12、p,准线2px。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线 的距离.42、双曲线的方程与渐近线方程的关系 若双曲线方程为12222byax渐近线方程:22220 xyabxaby.43、抛物线pxy22的焦半径公式 抛物线22ypx的焦半径2|0pxPF.(抛物线上的点(0 x,0y)到焦点(2p,0)距离。)44、平均数、方差、标准差的计算 平均数:nxxxxn21;方差:)()()(1222212xxxxxxnsn;标准差:)()()(122221xxxxxxnsn;45、回归直线方程 yabx,其中1122211nniiiiiinniiiixxyyx ynx ybxxxnxaybx.46、独立性
13、检验 )()()()(22dbcadcbabdacnK;n=a+b+c+d.K6.635,有 99%的把握认为X 和 Y 有关系;K3.841,有 95%的把握认为X 和 Y 有关系;K2.706,有 90%的把握认为X 和 Y 有关系;K2.706,X 和 Y 没关系。47、复数 zabi共轭复数为zabi;复数的相等:,abicdiac bd;复数zabi的模(或绝对值)|z=|abi=22ab;复数的四则运算法则(1)()()()()abicdiacbd i;(2)()()()()abicdiacbd i;(3)()()()()abi cdiacbdbcad i;(4)222222()(
14、)acbdbcad iacbdbcadabicdiicdcdcd 复数的乘法的运算律 交换律:1221zzzz.1y 2y 1x a b 2x c d 原 命 题若 p则 q否 命 题若 p则 q逆 命 题若 q则 p逆 否 命 题若 q则 p互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互结合律:123123()()zzzzzz.分配律:1231213()zzzzzzz.48、参数方程、极坐标化成直角坐标 yxsincos;)0(tan222xxyyx 49、命题、充要条件 充要条件(记p表示条件,q表示结论;即命题“若 p,则 q”)充分条件:若pq,则p是q充分条件.必要条件:若qp,则p是q必要条件.
15、充要条件:若pq,且qp,则p是q充要条件.命题“若 p,则 q”的否命题:若p,则q;否定:若 p,则q 50、真值表 51、量词的否定 含有一个量词的全称命题的否定:全称命题 p:,()xM p x,它的否定 p:00,()xMp x 含有一个量词的特称命题的否定:特称命题p:00,()xM p x,它的否定p:,()xMp x 非(p)或(pq)且(pq)真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 52、空间点、直线、平面之间的位置关系 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。公理 1 的作用:判断直线是否在平面内 公理 2
16、:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。公理 2 的作用:确定一个平面的依据。推论 1:经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面。推论 2:两条相交直线确定一个平面。公理 2 推论 3:两条平行直线确定一个平面。公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。公理 3 的作用:判定两个平面是否相交的依据 53、空间中直线与直线之间的位置关系 空间的两条直线有如下三种关系:相交直线:同一平面内;有且只有一个公共点;平行直线:同一平面内;没有公共点;异面直线:不在同一个平面内;没有公共点。公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为:设 a、b
17、、c 是三条直线 ab cb 强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。注意点:1.两条异面直线所成的角(0,;2.当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作 ab;3.两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;54、空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 直线与平面有三种位置关系:(1)直线在平面内 有无数个公共点(2)直线在平面外 直线与平面相交 有且只有一个公共点 直线在平面平行 没有公共点 注:直线与平面相交或
18、平行的情况统称为直线在平面外,可用 a 来表示 a a=A a 55、直线与平面平行的判定 直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平C B A P L 共面直线 ac 2 面平行。简记为:线线平行,则线面平行。符号表示:a b a ab 56、平面与平面平行的判定 两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。符号表示:a b ab=P a b 判断两平面平行的方法有三种:(1)判定定理;(2)平行于同一平面的两个平面平行;(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。57、直线与平面、平面与平面平行的性质 定理:一条直线与
19、一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为:线面平行则线线平行。符号表示:a a ab=b 作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。符号表示:=a ab =b 作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 两个平面平行,那么在一个平面内的所有直线都平行于另外一个平面。58、直线与平面垂直的判定 定义:如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面互相垂直,记作l。l 如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。p 判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。注意:1.定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;2.定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。59、平面与平面垂直的判定 两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。60、直线与平面、平面与平面垂直的性质 定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
限制150内