2019九年级数学上册 专题突破讲练 根的判别式的深化应用试题 (新版)青岛版.doc
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1、1根的判别式的深化应用根的判别式的深化应用一、一元二次方程根的判别式一、一元二次方程根的判别式 对于一元二次方程ax2bxc0(a0) ,它的解的情况由b24ac的取值决定,我们通常用“”来表示,acb42,即acb42。方程ax2bxc0(a0)的根的情 况 b24ac0两个不相等的实数根b24ac0两个相等的实数根b24ac0没有实数根方法归纳:用b24ac可以判断方程根的情况,反过来,若已知方程根的情况,则可 确定b24ac的取值。二、根的判别式的应用二、根的判别式的应用 1. 判断一元二次方程根的情况。 2. 确定一元二次方程中字母系数的取值范围。 3. 确定一元二次方程根 的某些特性
2、,如是不是有理根。 方法归纳:(1)计算b24ac时注意a、b、c表示各项系数,包括它们前面的符 号;(2)关于根的判别式b24ac的正、负号的判定涉及代数式的恒等变形,一般地, 将表示b24ac的代数式进行配方,利用非负数、非正数的概念,确定b24ac的 正、负号。 总结: 1. 会讨论方程的根的情况,包括一元一次方程和一元二次方程。 2. 能利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的特性,如:有理根、整数根等。例题例题 1 1 关于x的一元二次方程x2mx(m2)0 的根的情况是( ) A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根D. 无法确定 解解析析:这是含字母系
3、数的一元二次方程,将字母视为数字即可。这里 a1,bm,cm2。因为b24ac(m)241(m2) m24m8m24m44(m2)240,所以方程有两个不相等的实数根。 答答案案:A A 点拨:点拨:判断b24ac的正、负情况时,通常有两种情形, (1)已知判别式中某些字母 的取值范围,依此确定判别式的取值范围;(2)一般要将表示b24ac的代数式进行配 方,利用偶次幂的非负性确定b24ac的正、负号。例题例题 2 2 定义:如果一元二次方程ax2bxc0(a0)满足abc0,那么我 们称这个方程为“凤凰”方程,已知ax2bxc0(a0)是“凤凰”方程,且有两个2相等的实数根,则下列结论正确的
4、是( ) A. acB. abC. bcD. abc 解解析析:由方程ax2bxc0(a0)满足abc0 可知方程的解为x1,然后 由方程解的情况建立a、b、c之间的数量关系。 答答案案:因为abc0,所以b(ac) 。 因为方程ax2bxc0(a0)有两个相等的实数根, 所以b24ac0,把b(ac)代入,得: (ac)24aca22acc24ac0。 所以a22acc20,即(ac)20。 所以ac。故选 A。 点拨:点拨:解此类型问题,首先要明确所给定义的含义,然后用定义去考量已知条件,依 据定义或定义提供的方法解题。例题例题 3 3 已知关于x的方程kx25x20 有实数根,求k的取值
5、范围。 解解析析:本题并没有明确指出方程是否为一元二次方程,因此应对二次项系数a的取 值进行分类讨论。 答答案案:当k0 时,方程为一元一次方程,有一个实数根。 当k0 时,方程为一元二次方程,且ak、b5、c2。 所以b24ac(5)24k2258k。当 258k0,即k且k0 时,方程有两个不相等的实数根;25 8当 258k0,即k时,方程有两个相等的实数根;25 8当 258k0,即k时,方程无实数根。25 8综上所述,k的取值范围是k。25 8 点拨:点拨:从数学方法的角度看,本题属于分类讨论型问题,而且需要讨论两点:一是此 方程可分为一元一次方程和一元二次方程两种情况;二是一元二次
6、方程有实数根可分为有 两个相等的实数根和两个不相等的实数根。一元二次方程根的判别式不但可以判断方程有没有实数根,而且可以判断出方程有没 有有理根。不难理解,只要b24ac是一个有理数的完全平方数(或开平方开得尽) , 原方程的根就一定是有理数。要判断一个一元二次方程的根是不是整数可结合x来确定。bb24ac2a 例题例题 边长为整数的直角三角形,若其两直角边边长是方程x2(k2)x4k0 的 两根,求k的值,并确定直角三角形三边之长。 解:解:因为方程的根为整数,故(k2)216k为完全平方数。 设(k2)216kn2,k212k4n2,(k6)2n232,(kn6) (kn6)1322164
7、8。kn6kn6,或或。kn632kn61) kn616 kn62) kn68 kn64)3解得k1(舍去) ,k215,k312。45 2 当k15 时,有x217x600,解得x5 或 12,则斜边c13; 当k12 时,有x214x480,解得x6 或 8,则斜边c10。 所以这个直角三角形三边长分别为 5、12、13 或 6、8、10。 分析:分析:解答本题的关键是根据已知方程求出直角三角形的两条直角边长,因为直角三 角形的边长为整数,所以已知方程有两个整数根。一元二次方程有整数根至少要求判别式 为有理数的完全平方数。(答题时间:(答题时间:4545 分钟)分钟) 一、选择题 1. 关
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