高考数学选择题神奇巧解专题43.pdf
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1、1 神奇巧解高考数学选择题专题前言高考数学选择题,知识覆盖面宽,概括性强,小巧灵活,有一定深度与综合性,而且分值大,能否迅速、准确地解答出来,成为全卷得分的关键。选择题的解答思路不外乎两条:一是直接法,即从题干出发,探求结果,这类选择题通常用来考核考生最起码的基础知识和基本技能,这一般适用于题号在前 16 的题目;二是间接法,即从选项出发,或者将题干与选项联合考察而得到结果。因为选择题有备选项,又无须写出解答过程,因此存在一些特殊的解答方法,可以快速准确地得到结果,这就是间接法。这类选择题通常用来考核考生的思维品质,包括思维的广阔性和深刻性、独立性和批判性、逻辑性和严谨性、灵活性和敏捷性以及创
2、造性;同直接法相比,间接法所需要的时间可能是直接法的几分之一甚至几十分之一,是节约解题时间的重要手段。然而,有相当一部分考生对于用间接手段解题并不放心,认为这样做“不可靠”,以至于在用间接法做过以后又用直接法再做一遍予以验证;甚至有思想不解放的,认为这样做“不道德”,而不明白这其实正是高考命题者的真实意图所在,高考正是利用选择题作为甄别不同层次思维能力的考生的一种重要手段。解选择题常见的方法包括数形结合、特值代验、逻辑排除、逐一验证、等价转化、巧用定义、直觉判断、趋势判断、估计判断、退化判断、直接解答、现场操作,等等。考生应该有意识地积累一些经典题型,分门别类,经常玩味,以提高自己在这方面的能
3、力。下面主要就间接法分别举例说明之,并配备足够的对应练习题,每题至少提供有一种解法。例题与题组2 一、数形结合画出图形或者图象能够使问题提供的信息更直观地呈现,从而大大降低思维难度,是解决数学问题的有力策略,这种方法使用得非常之多。【例题】、(07 江苏 6)设函数()fx定义在实数集上,它的图象关于直线1x对称,且当1x时,()31xfx,则有()。A、132()()()323fff B、231()()()323fff C、213()()()332fff D321()()()233fff【解析】、当1x时,()31xfx,()fx的图象关于直线1x对称,则图象如图所示。这个图象是个示意图,事
4、实上,就算画出()|1|fxx的图象代替它也可以。由图知,符合要求的选项是B,【练习 1】、若 P(2,-1)为圆22(1)25xy的弦 AB的中点,则直线AB的方程是()A、30 xy B、230 xy C、10 xy D、250 xy(提示:画出圆和过点P 的直线,再看四条直线的斜率,即可知选A)【练习 2】、(07 辽宁)已知变量x、y满足约束条件20170 xyxxy,则yx的取值范围是()A、9,65B、9,6,5C、,36,D、3,6(提示:把yx看作可行域内的点与原点所在直线的斜率,不难求得答案,选A。)3【练习 3】、曲线214(2,2)yxx与直线(2)4yk x有两个公共点
5、时,k的取值范围是()A、5(0,)12 B、11(,)43 C、5(,)12 D、53(,)124(提示:事实上不难看出,曲线方程214(2,2)yxx的图象为22(1)4(22,13)xyxy,表示以(1,0)为圆心,2 为半径的上半圆,如图。直线(2)4yk x过定点(2,4),那么斜率的范围就清楚了,选D)【练习 4】、函数)1(|xxy在区间A 上是增函数,则区间A是()A、0,B、21,0 C、,0 D、,21(提示:作出该函数的图象如右,知应该选B)【练习 5】、曲线13|2|yx与直线mxy2有两个交点,则m的取值范围是()A、4m或4m B、44mC、3m或3m D、33m(
6、提示:作出曲线的图象如右,因为直线mxy2与其有两个交点,则4m或4m,选 A)4【练习6】、(06 湖南 理 8)设函 数()1xafxx,集 合|()0Mxfx,|()0Pxfx,若MP,则实数a的取值范围是()A、(,1)B、(0,1)C、(1,)D、1,)(提示:数形结合,先画出()fx的图象。111()1111xaxaafxxxx。当1a时,图象如左;当1a时图象如右。由图象知,当1a时函数()fx在(1,)上递增,()0fx,同时()0fx的解集为(1,)的真子集,选 C)【练习 7】、(06湖南理 10)若圆2244100 xyxy上至少有三个不同的点到直线:0laxby的距离为
7、22,则直线l的倾斜角的取值范围是()A、,124 B、5,1212 C、,63 D、0,2(提示:数形结合,先画出圆的图形。圆方程化为222(2)(2)(32)xy,由题意知,圆心到直线的距离d应该满足02d,在已知圆中画一个半径为2的同心圆,则过原点的直线:0laxby与小圆有公共点,选B。)【练习 8】、(07 浙江文 10)若非零向量 a,b 满足|a-b|=|b|,则()5 A、|2 b|a-2b|B、|2 b|a-2b|C、|2 a|2a-b|D、|2 a|2a-b|(提示:关键是要画出向量a,b 的关系图,为此先把条件进行等价转换。|a-b|=|b|a-b|2=|b|2 a2+b
8、2-2ab=b2 a (a-2b)=0a(a-2b),又 a-(a-2b)=2b,所以|a|,|a-2b|,|2 b|为边长构成直角三角形,|2 b|为斜边,如上图,|2 b|a-2b|,选 A。另外也可以这样解:先构造等腰OAB,使 OB=AB,再构造 ROAC,如下图,因为 OC AC,所以选 A。)【练习 9】、方程 cosx=lgx 的实根的个数是()A、1 B、2 C、3 D、4(提示:在同一坐标系中分别画出函数cosx 与 lgx 的图象,如图,由两个函数图象的交点的个数为3,知应选 C)6【练习 10】、(06 江苏 7)若 A、B、C为三个集合,ABBC,则一定有()A、AC
9、B、CA C、AC D、A(提示:若ABC,则,ABA BCBA成立,排除 C、D选项,作出 Venn图,可知 A成立)【练习11】、(07天津理7)在 R 上定义的函数()fx是偶函数,且()(2)fxfx。若()fx在区间 1,2 上是减函数,则()fx()A、在区间-2,-1 上是增函数,在区间 3,4 上是增函数B、在区间-2,-1 上是增函数,在区间 3,4 上是减函数C、在区间-2,-1 上是减函数,在区间 3,4 上是增函数D、在区间-2,-1 上是减函数,在区间 3,4 上是减函数(提示:数形结合法,()fx是抽象函数,因此画出其简单图象即可得出结论,如下左图知选B)【练习 1
10、2】、(07 山东文 11 改编)方程321()2xx的解0 x的取值区间是()A、(0,1)B、(1,2)C、(2,3)D、(3,4)(提示:数形结合,在同一坐标系中作出函数321,()2xyxy的图象,则立刻知选 B,如上右图)7 二、特值代验包括选取符合题意的特殊数值、特殊位臵和特殊图形,代入或者比照选项来确定答案。这种方法叫做特值代验 法,是一种使用频率很高的方法。【例题】、(93 年全国高考)在各项均为正数的等比数列na中,若569a a,则3132310logloglogaaa()A、12 B、10 C、8 D、32log5【解析】、思路一(小题大做):由条件有4529561119
11、,a aa qa qa q从而10129295101231011()3aaaaaqa q,所以原式=10312103log()log310a aa,选 B。思 路 二(小 题 小 做):由564738299aaaaaaaaaa知 原 式=5103563log()log33a a,选 B。思路三(小题巧做):因为答案唯一,故取一个满足条件的特殊数列563,1aaq即可,选 B。【练习 1】、(07 江西文 8)若02x,则下列命题中正确的是()A、2sin xx B、2sin xx C、3sin xx D、3sin xx(提示:取,63x验证即可,选 B)【练习 2】、(06 北京理 7)设47
12、10310()22222()nfnnN,则()fn()A、2(81)7n B、12(81)7n C、32(81)7n D、42(1)7nn(提示:思路一:f(n)是以 2 为首项,8 为公比的等比数列的前4n项的和,8 所以442(18)2()(1)187nnf nn,选 D。这属于直接法。思路 2:令0n,则34471042 1(2)2(0)2222(81)127f,对照选项,只有 D成立。)【练习 3】、(06 全国 1 理 9)设平面向量 a1、a2、a3的和 a1+a2+a3=0,如果平面向量 b1、b2、b3满足|bi|=2|ai|,且 ai顺时针旋转30以后与 bi同向,其中 i=
13、1、2、3 则()A、-b1+b2+b3=0 B、b1-b2+b3=0 C、b1+b2-b3=0 D、b1+b2+b3=0(提示:因为 a1+a2+a3=0,所以 a1、a2、a3构成封闭三角形,不妨设其为正三角形,则 bi实际上是将三角形顺时针旋转30后再将其各边延长2 倍,仍为封闭三角形,故选D。)【练习 4】、若()(0,1)xfxaaa,1(2)0,f则1(1)fx的图象是()A、B、C、D、(提示:抓住特殊点2,1(2)0f,所以对数函数1()fx是减函数,图象往左移动一个单位得1(1)fx,必过原点,选A)【练习 5】、若函数(1)yfx是偶函数,则(2)yfx的对称轴是()A、0
14、 x B、1x C、12x D、2x(提示:因为若函数(1)yfx是偶函数,作一个特殊函数2(1)yx,则9(2)yfx变为2(21)yx,即知(2)yfx的对称轴是12x,选 C)【练习 6】、已知数列 an 的通项公式为 an=2n-1,其前 n 和为 Sn,那么Cn1S1+Cn2S2+,+CnnSn=()A、2n-3n B、3n-2n C、5n-2n D、3n-4n(提示:愚蠢的解法是:先根据通项公式an=2n-1求得和的公式Sn,再代入式子 Cn1S1+Cn2S2+,+CnnSn,再利用二项式展开式的逆用裂项求和得解,有些书上就是这么做的!其实这既然是小题,就应该按照小题的解思路来求做
15、:令n=2,代入式子,再对照选项,选B)【练习 7】、(06 辽宁理 10)直线2yk与曲线2222918k xykx(,1kR k)的公共点的个数是()A、1 B、2 C、3 D、4(提示:取1k,原方程变为22(1)19yx,这是两个椭圆,与直线2y有 4个公共点,选 D)【练习 8】、如图左,若 D、E、F 分别是三棱锥 S-ABC的侧棱 SA、SB、SC上的点,且 SD:DA=SE:EB=CF:FS=2:1,那么平面 DEF截三棱锥 S-ABC所得的上下两部分的体积之比为()A、4:31 B、6:23 C、4:23 D、2:25(提示:特殊化处理,不妨设三棱锥S-ABC是棱长为 3 的
16、正三棱锥,K 是FC的中点,12,VV12,VV分别表示上下两部分的体积10 则22228()33327SD EFSD EFSABCSABCVShVSh,12844278423VV,选 C)【练习9】、ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,()OHm O AO BO C,则m的取值是()A、-1 B、1 C、-2 D、2(提示:特殊化处理,不妨设ABC为直角三角形,则圆心O在斜边中点处,此时有OHOAOBOC,1m,选 B。)【练习 10】、双曲线方程为22125xykk,则k的取值范围是()A、5k B、25k C、22k D、22k或5k(提示:在选项中选一些特殊值例如6,0k
17、代入验证即可,选D)三、筛选判断包括逐一验证法将选项逐一代入条件中进行验证,或者逻辑排除法,即通过对四个选项之间的内在逻辑关系进行排除与确定。【例题】、设集合 A和 B都属于正整数集,映射f:AB把集合 A中的元素 n 映射到集合 B 中的元素,则在映射f 下,像 20 的原像是()A、2 B、3 C、4 D、5【解析】、经逐一验证,在 2、3、4、5 中,只有 4 符合方程2nn=20,选 C。【练习 1】、(06 安徽理 6)将函数sin(0)yx的图象按向量 a=(,0)6平移以后的图象如图所示,则平移以后的图象所对应的函数解析式是()A、sin()6yx B、sin()6yx712C、
18、sin(2)3yx D、sin(2)3yx(提示:若选 A或 B,则周期为2,与图象所示周期不符;若选 D,则与“按11 向量 a=(,0)6平移”不符,选 C。此题属于容易题)【练习 2】、(06 重庆理 9)如图,单位圆中AB的长度为x,()fx表示AB与弦 AB所围成的弓形的面的2 倍,则函数()yfx的图象是()A、B、C、D、(提示:解法 1 设AO B,则x,则 S弓形=S扇形-SAOB=1112sincos2222x11(sin)(sin)22xxx,当(0,)x时,sin0 x,则si nxxx,其图象位于yx下方;当(,2)x时,s i n0 x,sinxxx,其图象位于yx
19、上方。所以只有选D。这种方法属于小题大作。解法 2 结合直觉法逐一验证。显然,面积()fx不是弧长x的一次函数,排除 A;当x从很小的值逐渐增大时,()fx的增长不会太快,排除 B;只要x则必然有面积()fx,排除 C,选 D。事实上,直觉好的学生完全可以直接选D)【练习 3】、(06 天津文 8)若椭圆的中心点为E(-1,0),它的一个焦点为2222222212 F(-3,0),相应于焦点的准线方程是72x,则这个椭圆的方程是()A、222(1)21213xy B、222(1)21213xy C、22(1)15xy D、22(1)15xy(提示:椭圆中心为(-1,0),排除 A、C,椭圆相当
20、于向左平移了1 个单位长度,故 c=2,2712ac,25a,选 D)【练习 4】、不等式221xx的解集是()A、(1,0)(1,)B、(,1)(0,1)C、(1,0)(0,1)D、(,1)(1,)(提示:如果直接解,差不多相当于一道大题!取2x,代入原不等式,成立,排除 B、C;取2x,排除 D,选 A)【练习 5】、(06 江西理 12)某地一年内的气温Q(t)()与时间 t(月份)之间的关系如右图,已知该年的平均气温为10。令 C(t)表示时间段0,t 的平均气温,C(t)与 t 之间的函数关系如下图,则正确的应该是()A、B、C、D、13(提示:由图可以发现,t=6 时,C(t)=0
21、,排除 C;t=12 时,C(t)=10,排除 D;t 6 时的某一段气温超过10,排除 B,选 A。)【练习 6】、集合(21)|MnnZ与集合(41)|NkkZ之间的关系是()A、MN B、MN C、MN D、MN(提示:C、D是矛盾对立关系,必有一真,所以A、B 均假;21n表示全体奇数,41k也表示奇数,故MN且 B假,只有 C真,选 C。此法扣住了概念之间矛盾对立的逻辑关系。当然,此题用现场操作法来解也是可以的,即令k=0,1,2,3,然后观察两个集合的关系就知道答案了。)【练习 7】、当4,0 x时,24413axxx恒成立,则a的一个可能的值是()A、5 B、53 C、53 D、
22、5(提示:若选项 A正确,则 B、C、D也正确;若选项 B正确,则 C、D也正确;若选项 C正确,则 D也正确。选 D)【练习 8】、(01 广东河南 10)对于抛物线24yx上任意一点 Q,点 P(a,0)都满足PQa,则a的取值范围是()A、,0 B、(,2 C、0,2 D、(0,2)(提示:用逻辑排除法。画出草图,知a0 符合条件,则排除C、D;又取1a,则 P是焦点,记点 Q到准线的距离为 d,则由抛物线定义知道,此时 ad|PQ|,即表明1a符合条件,排除 A,选 B。另外,很多资料上解此题是用的直接法,照录如下,供“不放心”的读者比较14 设 点Q 的 坐 标 为200(,)4yy
23、,由P Qa,得222200()4yyaa,整 理 得2200(168)0yya,200y,201680ya,即2028ya恒成立,而2028y的最小值是 2,2a,选 B)【练习 9】、(07 全国卷理 12)函数22()coscos2xfxx的一个单调增区间是()A、2,33 B、,62 C、0,3 D、,66(提示:“标准”答案是用直接法通过求导数解不等式组,再结合图象解得的,选 A。建议你用代入验证法进行筛选:因为函数是连续的,选项里面的各个端点值其实是可以取到的,由()()66ff,显然直接排除D,在 A、B、C 中只要计算两个即可,因为B 中代入6会出现12,所以最好只算A、C、现
24、在就验算 A,有2()()33ff,符合,选 A)四、等价转化解题的本质就是转化,能够转化下去就能够解下去。至于怎样转化,要通过必要的训练,达到见识足、技能熟的境界。在解有关排列组合的应用问题中这一点显得尤其重要。【例题】、(05 辽宁 12)一给定函数()yfx的图象在下列图中,并且对任意10,1a,由关系式1()nnafa得到的数列满足1()nnaanN,则该函数的图象是()15 A、B、C、D、【解析】问题等价于对函数()yfx图象上任一点(,)x y都满足yx,只能选 A。【练习 1】、设cossint,且 sin3+cos30,则t的取值范围是()A、-2,0)B、2,2 C、(-1
25、,0)2,1(D、(-3,0)),3((提示:因为 sin3+cos3=(sin+cos)(sin2-sincos+cos2),而 sin2-sincos+cos20 恒成立,故 sin3+cos30t 0,选 A。另解:由 sin3+cos30知非锐角,而我们知道只有为锐角或者直角时cossint2,所以排除 B、C、D,选 A)【练习 2】、12,FF是椭圆2214xy的左、右焦点,点 P在椭圆上运动,则12PFPF的最大值是()A、4 B、5 C、1 D、2(提示:设动点P 的坐标是(2 cos,sin),由12,FF是椭圆的左、右焦点得1(3,0)F,2(3,0)F,则12PFPF|(
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