2015年四川省高考数学试卷(理科).doc
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1、第 1 页(共 28 页)2015 年四川省高考数学试卷(理科)年四川省高考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 10 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 50 分。在每小题给出的四个分。在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。选项中,只有一个是符合题目要求的。1 (5 分)设集合 A=x|(x+1) (x2)0,集合 B=x|1x3,则 AB=( )Ax|1x3Bx|1x1Cx|1x2Dx|2x32 (5 分)设 i 是虚数单位,则复数 i3=( )AiB3iCiD3i3 (5 分)执行如图所示的程序框图,输出 s 的值为( )ABCD4 (5 分)下
2、列函数中,最小正周期为 且图象关于原点对称的函数是( )Ay=cos(2x+)By=sin(2x+)Cy=sin2x+cos2xDy=sinx+cosx5 (5 分)过双曲线 x2=1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线,交该双曲线的两条第 2 页(共 28 页)渐近线于 A、B 两点,则|AB|=( )AB2C6D46 (5 分)用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中比40000 大的偶数共有( )A144 个B120 个C96 个D72 个7 (5 分)设四边形 ABCD 为平行四边形,|=6,|=4,若点 M、N 满足,则=( )A20B15C9D68 (5 分)设
3、a、b 都是不等于 1 的正数,则“3a3b3”是“loga3logb3”的( )A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件9 (5 分)如果函数 f(x)=(m2)x2+(n8)x+1(m0,n0)在区间上单调递减,那么 mn 的最大值为( )A16B18C25D10 (5 分)设直线 l 与抛物线 y2=4x 相交于 A、B 两点,与圆(x5)2+y2=r2(r0)相切于点 M,且 M 为线段 AB 的中点,若这样的直线 l 恰有 4 条,则 r 的取值范围是( )A (1,3)B (1,4)C (2,3) D (2,4)二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 5
4、 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 25 分。分。11 (5 分)在(2x1)5的展开式中,含 x2的项的系数是 (用数字填写答案) 12 (5 分)sin15+sin75的值是 13 (5 分)某食品的保鲜时间 y(单位:小时)与储藏温度 x(单位:)满足函数关系 y=ekx+b(e=2.718为自然对数的底数,k、b 为常数) 若该食品在 0的保鲜时间是 192 小时,在 22的保鲜时间是 48 小时,则该食品在 33的保第 3 页(共 28 页)鲜时间是 小时14 (5 分)如图,四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形,他们所在的平面互相垂直,动点 M 在线段 PQ 上,E
5、、F 分别为 AB、BC 的中点,设异面直线 EM 与 AF所成的角为 ,则 cos 的最大值为 15 (5 分)已知函数 f(x)=2x,g(x)=x2+ax(其中 aR) 对于不相等的实数x1、x2,设 m=,n=现有如下命题:对于任意不相等的实数 x1、x2,都有 m0;对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1、x2,都有 n0;对于任意的 a,存在不相等的实数 x1、x2,使得 m=n;对于任意的 a,存在不相等的实数 x1、x2,使得 m=n其中的真命题有 (写出所有真命题的序号) 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程
6、或演分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。算步骤。16 (12 分)设数列an(n=1,2,3,)的前 n 项和 Sn满足 Sn=2ana1,且a1,a2+1,a3成等差数列()求数列an的通项公式;()记数列的前 n 项和为 Tn,求使得|Tn1|成立的 n 的最小值17 (12 分)某市 A、B 两所中学的学生组队参加辩论赛,A 中学推荐了 3 名男生、2 名女生,B 中学推荐了 3 名男生、4 名女生,两校所推荐的学生一起参加集训由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取 3 人,女生中随机抽取 3 人组成代表队()求 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率;第 4 页
7、(共 28 页)()某场比赛前,从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛,设 X 表示参赛的男生人数,求 X 的分布列和数学期望18 (12 分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示在正方体中,设 BC 的中点为 M、GH 的中点为 N()请将字母 F、G、H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由) ;()证明:直线 MN平面 BDH;()求二面角 AEGM 的余弦值19 (12 分)如图,A、B、C、D 为平面四边形 ABCD 的四个内角()证明:tan=;()若 A+C=180,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求 tan+tan+tan+tan的值20 (
8、13 分)如图,椭圆 E:的离心率是,过点P(0,1)的动直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点,当直线 l 平行于 x 轴时,直线 l被椭圆 E 截得的线段长为 2()求椭圆 E 的方程;()在平面直角坐标系 xOy 中,是否存在与点 P 不同的定点 Q,使得恒成立?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由第 5 页(共 28 页)21 (14 分)已知函数 f(x)=2(x+a)lnx+x22ax2a2+a,其中 a0()设 g(x)是 f(x)的导函数,讨论 g(x)的单调性;()证明:存在 a(0,1) ,使得 f(x)0 在区间(1,+)内恒成立,且 f(x)=0 在区间(1,
9、+)内有唯一解第 6 页(共 28 页)2015 年四川省高考数学试卷(理科)年四川省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 10 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 50 分。在每小题给出的四个分。在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。选项中,只有一个是符合题目要求的。1 (5 分)设集合 A=x|(x+1) (x2)0,集合 B=x|1x3,则 AB=( )Ax|1x3Bx|1x1Cx|1x2Dx|2x3【分析】求解不等式得出集合 A=x|1x2,根据集合的并集可求解答案【解答】解:集合 A=x|(x+1) (
10、x2)0,集合 B=x|1x3,集合 A=x|1x2,AB=x|1x3,故选:A【点评】本题考查了二次不等式的求解,集合的运算,属于容易题2 (5 分)设 i 是虚数单位,则复数 i3=( )AiB3iCiD3i【分析】通分得出,利用 i 的性质运算即可【解答】解:i 是虚数单位,则复数 i3,=i,故选:C【点评】本题考查了复数的运算,掌握好运算法则即可,属于计算题3 (5 分)执行如图所示的程序框图,输出 s 的值为( )第 7 页(共 28 页)ABCD【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 k 的值,当 k=5 时满足条件 k4,计算并输出 S 的值为【解答】解:模拟执行程序
11、框图,可得k=1k=2不满足条件 k4,k=3不满足条件 k4,k=4不满足条件 k4,k=5满足条件 k4,S=sin=,输出 S 的值为故选:D【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,属于基础题4 (5 分)下列函数中,最小正周期为 且图象关于原点对称的函数是( )Ay=cos(2x+)By=sin(2x+)Cy=sin2x+cos2xDy=sinx+cosx第 8 页(共 28 页)【分析】求出函数的周期,函数的奇偶性,判断求解即可【解答】解:y=cos(2x+)=sin2x,是奇函数,函数的周期为:,满足题意,所以 A 正确y=sin(2x+)=cos2x,函数是偶函数,周期为:,不
12、满足题意,所以 B 不正确;y=sin2x+cos2x=sin(2x+) ,函数是非奇非偶函数,周期为 ,所以 C 不正确;y=sinx+cosx=sin(x+) ,函数是非奇非偶函数,周期为 2,所以 D 不正确;故选:A【点评】本题考查两角和与差的三角函数,函数的奇偶性以及红丝带周期的求法,考查计算能力5 (5 分)过双曲线 x2=1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于 A、B 两点,则|AB|=( )AB2C6D4【分析】求出双曲线的渐近线方程,求出 AB 的方程,得到 AB 坐标,即可求解|AB|【解答】解:双曲线 x2=1 的右焦点(2,0) ,渐近线方程为 y
13、=,过双曲线 x2=1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线,x=2,可得 yA=2,yB=2,|AB|=4故选:D【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,考查基本知识的应用第 9 页(共 28 页)6 (5 分)用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中比40000 大的偶数共有( )A144 个B120 个C96 个D72 个【分析】根据题意,符合条件的五位数首位数字必须是 4、5 其中 1 个,末位数字为 0、2、4 中其中 1 个;进而对首位数字分 2 种情况讨论,首位数字为 5时,首位数字为 4 时,每种情况下分析首位、末位数字的情况,再安排剩余的三个位置,由分步计数原
14、理可得其情况数目,进而由分类加法原理,计算可得答案【解答】解:根据题意,符合条件的五位数首位数字必须是 4、5 其中 1 个,末位数字为 0、2、4 中其中 1 个;分两种情况讨论:首位数字为 5 时,末位数字有 3 种情况,在剩余的 4 个数中任取 3 个,放在剩余的 3 个位置上,有 A43=24 种情况,此时有 324=72 个,首位数字为 4 时,末位数字有 2 种情况,在剩余的 4 个数中任取 3 个,放在剩余的 3 个位置上,有 A43=24 种情况,此时有 224=48 个,共有 72+48=120 个故选:B【点评】本题考查计数原理的运用,关键是根据题意,分析出满足题意的五位数
15、的首位、末位数字的特征,进而可得其可选的情况7 (5 分)设四边形 ABCD 为平行四边形,|=6,|=4,若点 M、N 满足,则=( )A20B15C9D6【分析】根据图形得出=+=,=,=()=2,结合向量结合向量的数量积求解即可【解答】解:四边形 ABCD 为平行四边形,点 M、N 满足,第 10 页(共 28 页)根据图形可得:=+=,=,=,=()=2,2=22,=22,|=6,|=4,=22=123=9故选:C【点评】本题考查了平面向量的运算,数量积的运用,考查了数形结合的思想,关键是向量的分解,表示8 (5 分)设 a、b 都是不等于 1 的正数,则“3a3b3”是“loga3l
16、ogb3”的( )A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件【分析】求解 3a3b3,得出 ab1,loga3logb3,或根据对数函数的性质求解即可,再利用充分必要条件的定义判断即可【解答】解:a、b 都是不等于 1 的正数,3a3b3,ab1,第 11 页(共 28 页)loga3logb3,即0,或求解得出:ab1 或 1ab0 或 b1,0a1根据充分必要条件定义得出:“3a3b3”是“loga3logb3”的充分条不必要件,故选:B【点评】本题综合考查了指数,对数函数的单调性,充分必要条件的定义,属于综合题目,关键是分类讨论9 (5 分)如果函数 f(x)=(
17、m2)x2+(n8)x+1(m0,n0)在区间上单调递减,那么 mn 的最大值为( )A16B18C25D【分析】函数 f(x)=(m2)x2+(n8)x+1(m0,n0)在区间上单调递减,则 f(x)0,故(m2)x+n80 在,2上恒成立而(m2)x+n8 是一次函数,在,2上的图象是一条线段故只须在两个端点处f()0,f(2)0 即可结合基本不等式求出 mn 的最大值【解答】解:函数 f(x)=(m2)x2+(n8)x+1(m0,n0)在区间上单调递减,f(x)0,故(m2)x+n80 在,2上恒成立而(m2)x+n8 是一次函数,在,2上的图象是一条线段故只须在两个端点处 f()0,f
18、(2)0 即可即第 12 页(共 28 页)由(2)得 m(12n) ,mnn(12n)=18,当且仅当 m=3,n=6 时取得最大值,经检验 m=3,n=6 满足(1)和(2) 故选:B解法二:函数 f(x)=(m2)x2+(n8)x+1(m0,n0)在区间上单调递减,m=2,n8对称轴 x=,即即设或或第 13 页(共 28 页)设 y=,y=,当切点为(x0,y0) ,k 取最大值=2k=2x,y0=2x0+12,y0=2x0,可得 x0=3,y0=6,x=32k 的最大值为 36=18= ,k=,y0=,2y0+x018=0,第 14 页(共 28 页)解得:x0=9,y0=x02不符
19、合题意m=2,n=8,k=mn=16综合得出:m=3,n=6 时 k 最大值 k=mn=18,故选:B【点评】本题综合考查了函数方程的运用,线性规划问题,结合导数的概念,运用几何图形判断,难度较大,属于难题10 (5 分)设直线 l 与抛物线 y2=4x 相交于 A、B 两点,与圆(x5)2+y2=r2(r0)相切于点 M,且 M 为线段 AB 的中点,若这样的直线 l 恰有 4 条,则 r 的取值范围是( )A (1,3)B (1,4)C (2,3) D (2,4)【分析】先确定 M 的轨迹是直线 x=3,代入抛物线方程可得 y=2,所以交点与圆心(5,0)的距离为 4,即可得出结论【解答】
20、解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,M(x0,y0) ,斜率存在时,设斜率为 k,则 y12=4x1,y22=4x2,则,相减,得(y1+y2) (y1y2)=4(x1x2) ,当 l 的斜率存在时,利用点差法可得 ky0=2,因为直线与圆相切,所以=,所以 x0=3,即 M 的轨迹是直线 x=3将 x=3 代入 y2=4x,得 y2=12,2,M 在圆上,(x05)2+y02=r2,r2=y02+412+4=16,直线 l 恰有 4 条,y00,4r216,故 2r4 时,直线 l 有 2 条;第 15 页(共 28 页)斜率不存在时,直线 l 有 2 条;所以直线 l 恰有 4
21、 条,2r4,故选:D【点评】本题考查直线与抛物线、圆的位置关系,考查点差法,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 5 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 25 分。分。11 (5 分)在(2x1)5的展开式中,含 x2的项的系数是 40 (用数字填写答案) 【分析】根据所给的二项式,利用二项展开式的通项公式写出第 r+1 项,整理成最简形式,令 x 的指数为 2 求得 r,再代入系数求出结果【解答】解:根据所给的二项式写出展开式的通项,Tr+1=;要求 x2的项的系数,5r=2,r=3,x2的项的系数是 22(1)3C53=40故答案为:40
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