全国大学生数学竞赛大纲(数学专业组).pdf
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1、 1 中国大学生数学竞赛竞赛大纲(数学专业组)为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,激励大学生学习数学的兴趣,发现和选拔数学创新人才,更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标,特制订本大纲。一、竞赛的性质和参赛对象“中国大学生数学竞赛”的目的是:激励大学生学习数学的兴趣,进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,发现和选拔数学创新人才。“中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。二、竞赛的内容“中国大学生数学竞赛”分为数学专业 类竞赛题和非数学专业 类竞赛题。(一)中国大学生数学竞赛(数学 专业 类)竞赛内
2、容为大学本科数学专业基础课的教学内容,即,数学分析占50%,高等代数占35%,解析几何占15%,具体内容如下:、数学分析部分一、集合与函数1.实数集、有理数与无理数的稠密性,实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理.2.2上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界(无界)集、2上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列,以及上述概念和定理在n上的推广.3.函数、映射、变换概念及其几何意义,隐函数概念,反函数与逆变换,反函数存在性定理,初等函数以及与之相关的性质.二、极限与连续1.数列极限、收敛数列的基本性质(极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质)
3、.2.数列收敛的条件(Cauchy 准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系),极限1lim(1)nnen及其应用.3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质(唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性),归结原则和Cauchy 收敛准则,两个重要极限sin10lim1,lim(1)xxxxxxe及其应用,计算一元函数极限的各种方法,无穷小量与无穷大量、阶的比较,记号O 与 o 的意义,多元函数重极限与累次极限概念、基本性质,二元函数的二重极限与累次极限的关系.4.函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质(局部有界性、保号性),有界闭集上连续函数的性质(有界性、最大值最
4、小值定理、介值定理、一致连续性).三、一元函数微分学1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法,微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性.2.微分学基本定理:Fermat 定理,Rolle 定理,Lagrange 定理,Cauchy 定理,Taylor公式(Peano余项与 Lagrange 余项).3.一元微分学的应用:函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、2 曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达(LHospital)法则、近似计算.四、多元函数微分学1.偏导数、全微分及其几何意义,可微与偏导存在、连续之间的关系,复合函数的偏导数
5、与全微分,一阶微分形式不变性,方向导数与梯度,高阶偏导数,混合偏导数与顺序无关性,二元函数中值定理与Taylor 公式.2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数(组)求导方法、反函数组与坐标变换.3.几何应用(平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线).4.极值问题(必要条件与充分条件),条件极值与Lagrange 乘数法.五、一元函数积分学1.原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法(直接积分法、换元法、分部积分法)、有理函数积分:(cos,sin)Rxx dx型,2(,)R xaxbxc dx型.2.定积分及其几何意义、可积条件(必要条件、充要条件:iix)、可
6、积函数类.3.定积分的性质(关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理)、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L 公式及定积分计算、定积分第二中值定理.4.无限区间上的广义积分、Canchy 收敛准则、绝对收敛与条件收敛、()fx非负时()af x dx的收敛性判别法(比较原则、柯西判别法)、Abel 判别法、Dirichlet判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法.5.微元法、几何应用(平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积),其他应用.六、多元函数积分学1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算(化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换).2.
7、三重积分、三重积分计算(化为累次积分、柱坐标、球坐标变换).3.重积分的应用(体积、曲面面积、重心、转动惯量等).4.含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性,运算顺序的可交换性.含参量广义积分的一致收敛性及其判别法,含参量广义积分的连续性、可微性、可积性,运算顺序的可交换性.5.第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算.6.第二型曲线积分概念、性质、计算;Green 公式,平面曲线积分与路径无关的条件.7.曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算,奥高公式、Stoke 公式,两类线积分、两类面积分之间的关系.七、无穷级数1.数项级数级数及其敛散性,级数的和,Cauchy 准则,收敛的
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