常微分方程课件.ppt
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1、第一周9月1日教材及参考资料教材:常微分方程,(第三版)(07年精品教材),王高雄等(中山大学),高教出版社参考书目:1常微分方程,东北师大数学系编,高教出版社2常微分方程讲义,王柔怀、伍卓群编,高教出版社3常微分方程及其应用,周义仓等编,科学出版社4微分方程定性理论,张芷芬等编,科学出版社。教学安排第1周第12周,共48学时(第5周四,第6周国庆,实际授课时42学时)考试安排:在结课后一周考试,总成绩=平时(40%)+期末(60%),有小论文可以加分,每周四课后交作业答疑时间:周四晚7:00-9:00,地点7112第一章绪论常微分方程是现代数学的一个重要分支,是人们解决各种实际问题的有效工具
2、,它在几何、力学、物理、电子技术、航空航天、生命科学、经济领域等都有广泛的应用随着计算技术和计算机的快速发展,常微分方程已经渗透到自然科学、社会科学、工程技术等学科的任何一个领域,正发挥着越来越大的作用动力系统DynamicalsystemdescribestheevolutionofastateovertimeCurator:Dr.EugeneM.Izhikevich,Editor-in-ChiefofScholarpedia,thefreepeerreviewedencyclopedia第一章绪论线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组这些方程都是要把研究问题中的
3、已知数和未知数之间的关系找出来,列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式在实际工作中,常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题比如:某个物体在重力作用下自由下落,要寻求下落距离随时间变化的规律火箭在发动机推动下在空间飞行,要寻求它飞行的轨道等研究这些问题所建立的数学方程不仅与未知函数有关,而且与未知函数的导数有关,这就是我们要研究的微分方程基本思想:把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来,从列出的包含未知函数及其导数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式,即求解微分方程微分方程差不多是和微积分同时先后产生的牛顿在建立微积分的同时,对简单的微分方程用级数来求解瑞士数学家雅各
4、布贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论法国数学家Poincare及前苏联数学家Lyapunov等对现代微分方程理论的建立做出了巨大的贡献常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学,以及其他科学技术的发展密切相关的数学的其他分支的新发展,如复变函数、李群、组合拓扑学等,都对常微分方程的发展产生了深刻的影响当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具1.1常微分方程模型RLC电路数学摆人口模型传染病模型两生物种群生态模型Lorenz方程RL电路基尔霍夫(Kirchhoff)第二定律在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和
5、等于零RLC电路数学摆人口模型马尔萨斯(Malthus)假设:在人口自然增长的过程中,净相对增加率(单位时间内人口的净增长数与人口总数之比)是常数,记为r人口模型的改进Verhulst:引入常数Nm(环境最大容纳量),假设:净相对增长率为logistic模型传染病模型假设传染病传播期间其地区总人数不变,为常数n,开始时染病人数为x0,在时刻t的健康人数为y(t),染病人数为x(t)假设单位时间内一个病人能传染的人数与当时的健康人数成正比,比例系数为kSI模型易感染者:Susceptible已感染者:InfectiveSIS模型对无免疫性的传染病,假设病人治愈后会再次被感染,设单位时间治愈率为m
6、uSIR模型(R:移出者(Removed)对有很强免疫性的传染病,假设病人治愈后不会在被感染,设在时刻t的愈后免疫人数为r(t),称为移出者,而治愈率l为常数两生物种群生态模型意大利数学家沃特拉(Volterra)建立了一个关于捕食鱼与被食鱼生长情形的数学模型假设在时刻t,被食鱼的总数为x(t),而捕食鱼的总数为y(t)假设单位时间内捕食鱼与被捕食鱼相遇的次数为bxy捕食鱼的自然减少率同它们的存在数目y成正比Volterra被捕食-捕食模型两种群竞争模型Lorenz方程Lorenz吸引子,蝴蝶效应对初值的敏感性分形(fractal)吸引盆总结微分方程反映量与量之间的关系,与时间有关,是一个动态
7、系统从已知的自然规律出发,考虑主要因素,构造出由自变量、未知函数及其导数的关系史,即微分方程,从而建立数学模型数学模型的建立有多种方式研究微分方程的解和解结构的性质,检查是否与实际相吻合,不断改进模型由微分方程发现或预测新的规律和性质9月3日1.2基本概念1.2.1常微分方程基本概念定定义义(微微分分方方程程)联联系系自自变变量量、未未知知函函数数及及未未知知函函数数导导数数(或微分)的关系式称(或微分)的关系式称为为微分方程微分方程例1:下列关系式都是微分方程微分方程微分方程如果在一个微分方程中,自变量的个数只有一个,则这样的微分方程称为常微分方程常微分方程都是常微分方程常微分方程常微分方程
8、如如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两个以上,称为偏微分方程偏微分方程 注:本课程主要研究常微分方程,同时把常微分方程简称为微分方程或方程偏微分方程偏微分方程如都是偏微分方程定定义义 微微分分方方程程中中出出现现的的未未知知函函数数的的最最高高阶阶导导数数或或微微分的分的阶阶数称数称为为微分方程的微分方程的阶阶数数.是一阶微分方程 是二阶微分方程 是四阶微分方程微分方程的阶微分方程的阶如:n阶微分方程的一般形式为 是线性微分方程线性和非线性如如如果方程 是非线性微分方程 如如n阶线性微分方程的一般形式不是线性方程的方程称为非线性方程微分方程的解定义称为方程的显示解例证明:显式解与隐式解
9、隐式解注:显式解与隐式解统称为微分方程的解例如有显式解和隐式解:通解与特解定义如果微分方程的解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该方程的通解例如:n阶微分方程通解的一般形式为注:例证明:由于故又类似可定义方程的隐式通解如果微分方程的隐式解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该方程的隐式通解以后不区分显式通解和隐式通解,统称为方程的通解隐式通解也称为“通积分”在通解中给任意常数以确定的值而得到的解称为方程的特解例如定义定解条件为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实际问题给微分方程附加一定的条件,
10、称为定解条件求满足定解条件的求解问题称为定解问题常见的定解条件是初始条件,n阶微分方程的初始条件是指如下的n个条件:当定解条件是初始条件时,相应的定解问题称为初值问题注1:n阶微分方程的初始条件有时也可写为注2:例(P19)解由于且解以上方程组得积分曲线和方向场积分曲线一阶微分方程称为微分方程的积分曲线方向场在方向场中,方向相同的点的几何轨迹称为等斜线.所规定的方向场例 研究下列方程的方向场和积分曲线微分方程组驻定与非驻定,动力系统驻定(自治)非驻定(非自治)相空间、奇点和轨线不含自变量、仅由未知函数组成的空间称为相空间积分曲线在相空间中的投影称为轨线称为平衡解(驻定解、常数解),奇点、平衡点
11、例垂直等倾线、水平等倾线课外习题p27:.2(1、5)p27:3(1、5、8)p27:4第二周9月8日阶数与次数线性与非线性显示与隐式通解与特解相关与无关第二章一阶微分方程的初等解法2.1 变量分离方程与变量变换变量分离方程与变量变换定义1形如方程,称为变量分离方程.一、变量分离方程的求解一、变量分离方程的求解这样变量就“分离”开了.例:分离变量:两边积分:注:例1求微分方程的所有解.解:积分得:故方程的所有解为:解:分离变量后得两边积分得:整理后得通解为:例2求微分方程的通解.例3求微分方程解:将变量分离后得两边积分得:由对数的定义有即故方程的通解为例4解:两边积分得:因而通解为:再求初值问
12、题的通解,所以所求的特解为:二、可化二、可化为变为变量分离方程量分离方程类类型型(I)齐齐次方程次方程 齐次线性方程组非齐次线性方程组P44例(I)形如方程称为齐次方程,求解方法:例4求解方程解:方程变形为这是齐次方程,即将变量分离后得两边积分得:即代入原来变量,得原方程的通解为例6求下面初值问题的解解:方程变形为这是齐次方程,将变量分离后得两边积分得:整理后得变量还原得故初值问题的解为(II)形如的方程可经过变量变换化为变量分离方程.分三种情况讨论为齐次方程,由(I)可化为变量分离方程.这就是变量分离方程作变量代换(坐标变换)则方程化为为(1)的情形,可化为变量分离方程求解.解的步骤:例7求
13、微分方程的通解.解:解方程组将变量分离后得两边积分得:变量还原并整理后得原方程的通解为注:上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型.此外,诸如以及例8求微分方程的通解.解:代入方程并整理得即分离变量后得两边积分得变量还原得通解为三、三、应应用用举举例例例8、雪球的融化设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例,且在融化过程中它始终为球体,该雪球在开始时的半径为6cm,经过2小时后,其半径缩小为3cm,求雪球的体积随时间变化的关系。解:根据球体的体积和表面积的关系得分离变量并积分得方程的通解为由初始条件得代入得雪球的体积随时间的变化关系为作业(9月8日)P42:1,3,5,7P43:2,4,69月
14、10日自治(驻定)非自治(非驻定)人口模型马尔萨斯(Malthus)假设:在人口自然增长的过程中,净相对增加率(单位时间内人口的净增长数与人口总数之比)是常数,记为r9月10日一阶微分方程的初等解法变量分离方程齐次微分方程线性微分方程倍努利微分方程恰当方程其它变量分离恰当微分方程2.2 线线性方程与常数性方程与常数变变易法易法一阶线性微分方程一一阶线性微分方程的解法-常数变易法代入(1)得积分得注求(1)的通解可直接用公式(3)例1求方程通解,这里为n常数解:将方程改写为首先,求齐次方程的通解从分离变量得两边积分得故对应齐次方程通解为其次应用常数变易法求非齐线性方程的通解,即积分得故通解为例2
15、求方程通解.解:但将它改写为即故其通解为例3求值问题的解.解:先求原方程的通解故所给初值问题的通解为形如的方程,称为伯努利方程.解法:例4求方程的通解.解:解以上线性方程得例5 R-L串联电路.,由电感L,电阻R和电源所组成的串联电路,如图所示,其中电感L,电阻R和电源的电动势E均为常数,试求当开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系.二线性微分方程的应用举例电电路的路的Kirchhoff第二定律第二定律:在闭合回路中在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零所有支路上的电压的代数和为零.则电流经过电感L,电阻R的电压降分别为 解线性方程:解:于是由Kirchhoff第二定律,得到设当
16、开关K合上后,电路中在时刻t的电流强度为I(t),取开关闭合时的时刻为0,得通解为:故当开关K合上后,电路中电流强度为作业P481:1,3,5,7,9,11,13,152.3 恰当方程与恰当方程与积积分因子分因子 一、恰当方程的定义及条件一、恰当方程的定义及条件如果恰好碰见方程就可以马上写出它的隐式解定义1则称微分方程是恰当方程.如是恰当方程.1恰当方程的定义需考虑的问题(1)方程(1)是否为恰当方程?(2)若(1)是恰当方程,怎样求解?(3)若(1)不是恰当方程,有无可能转化为恰当方程求解?2方程为恰当方程的充要条件定理1为恰当方程的充要条件是证明“必要性”设(1)是恰当方程,故有从而故“充
17、分性”即应满足因此事实上故(8)注:若(1)为恰当方程,则其通解为二、恰当方程的求解二、恰当方程的求解1不定积分法例1验证方程是恰当方程,并求它的通解.解:故所给方程是恰当方程.即积分后得:故从而方程的通解为2分组凑微法采用“分项组合”的方法,把本身已构成全微分的项分出来,再把剩余的项凑成全微分.-应熟记一些简单二元函数的全微分.如例2求方程的通解.解:故所给方程是恰当方程.把方程重新“分项组合”得即或写成故通解为:例3验证方程是恰当方程,并求它满足初始条件y(0)=2的解.解:故所给方程是恰当方程.把方程重新“分项组合”得即或写成故通解为:故所求的初值问题的解为:第三周9月15日作业中存在的
18、问题积分时常忘记取绝对值从头到尾用一个常数符号变量代换时用一些常用的常量符号化简不彻底,如对数没合并,去绝对值时少正负号习惯用显函数表示,化简过头没有考虑使分母为零的点可能是解P28:8(1)P43:2(6)P43:2(7)人口模型马尔萨斯(Malthus)假设:在人口自然增长的过程中,净相对增加率(单位时间内人口的净增长数与人口总数之比)是常数,记为rWewouldliketo“solve”thedynamicsofthesystemtodeterminehowthestatewillevolveinthefuture(i.e.fort=0)3线积分法定理1充分性的证明也可用如下方法:由数学
19、分析曲线积分与路径无关的定理知:从而(1)的通解为例4求解方程解:故所给方程是恰当方程.故通解为:三、积分因子三、积分因子非恰当方程如何求解?对变量分离方程:不是恰当方程.是恰当方程.对一阶线性方程:不是恰当方程.则是恰当方程.可见,对一些非恰当方程,乘上一个因子后,可变为恰当方程.1定义例5解:对方程有由于把以上方程重新“分项组合”得即也即故所给方程的通解为:2积分因子的确定即尽管如此,方程还是提供了寻找特殊形式积分因子的途径.变成即3定理微分方程例6求微分方程的通解.解:由于故它不是恰当方程,又由于利用恰当方程求解法得通解为积分因子是求解积分方程的一个极为重要的方法绝大多数方程求解都可以通
20、过寻找到一个合适的积分因子来解决但求微分方程的积分因子十分困难,需要灵活运用各种微分法的技巧和经验例7求解方程解:方程改写为:或:易看出,此方程有积分因子即故方程的通解为:例8求解方程解:故方程不是恰当方程,方法1:即故方程的通解为:方法2:方程改写为:容易看出方程左侧有积分因子:故方程的通解为:方法3:方程改写为:这是齐次方程,即故通解为:变量还原得原方程的通解为:方法4:方程改写为:故方程的通解为:即方程的通解为:作业P601:(1),(3),(5)2:(2),(4)P613,52.4 一一阶隐阶隐方程与参数表示方程与参数表示 一阶隐式方程求解采用引进参数的办法使其变为导数已解出的方程类型
21、.主要研究以下四种类型定义1形如方程的解法,(I)若求得(4)的通解形式为将它代入(3),即得原方程(2)的通解(II)若求得(4)的通解形式为则得(2)的参数形式的通解为(III)若求得(4)的通解形式为则得(2)的参数形式的通解为附注1:附注2:解:整理化简后得方程例1求解方程解得(7)的通解为:将它代入(6)得原方程的通解:又从解得(7)的一个解为:从将它代入(6)得原方程的一个解:故原方程的解为:通解:及一个解:例2.求在第一像限中的一条曲线,使其上每一点的切线与两坐标轴所围成的三角形面积均等于2.解:因此,切线在坐标轴上的因所求曲线在第一象限,由题意得即即故得通解为:它是直线族.得另
22、一特解为:这是双曲线,显然这才是我们所要求的一条曲线.2形如方程的解法,若求得(10)的通解形式为则得(9)的参数形式的通解为例3求解方程解:方程变形为:即解以上微分方程得:因而:故方程的通解参数形式为习惯通解记成:1形如方程的解法,即满足:两边积分得于是得到原方程参数形式的通解为解的步骤:“关键一步也是最困难一步”例4求解方程解故原方程参数形式的通解为由于积分得9月17日2形如方程的解法,解的步骤:“关键一步也是最困难一步”例5求解微分方程解由于故原方程参数形式的通解为积分得注:方程有多种解法用一(1)型作业P69-70:1,3请认真阅读P70的“本章学习要点”能用初等解法的微分方程是很有限
23、的,如Riccati方程一般没有初等解法第三章第三章 一阶微分方程的解的存在定理一阶微分方程的解的存在定理问题解不唯一解不存在AsolutiontothisdifferentialequationdoesnotexistforanyT=0 对于给定的微分方程对于给定的微分方程,它的通解一般有无它的通解一般有无限多个限多个,而给定初始条件后而给定初始条件后,其解可能不其解可能不存在;若存在,其解可能唯一存在;若存在,其解可能唯一,也可能不也可能不唯一唯一 满足初始条件的微分方程解的存在唯一性满足初始条件的微分方程解的存在唯一性定理是最基本的定理定理是最基本的定理 它是数值解的前提它是数值解的前提
24、 解对初值的连续依赖性解对初值的连续依赖性例例:证明初值问题证明初值问题的解存在且唯一。的解存在且唯一。证:若证:若是初始值问题的解是初始值问题的解,两端积分两端积分满足满足反之,若一个反之,若一个连续函数连续函数满足满足则它是则它是的解。的解。取取来证明来证明构造迭代序列构造迭代序列有解有解由于由于收敛,且收敛,且代入验证函数代入验证函数为初值问题为初值问题的解的解,这就得到解的存在性。这就得到解的存在性。唯一性证明唯一性证明:设有两个解设有两个解则则可微,且满足可微,且满足这就证明了解的唯一性。这就证明了解的唯一性。3.1 解的存在唯一性定理与逐解的存在唯一性定理与逐步逼近法步逼近法一存在
25、唯一性定理1定理1考虑初值问题Lipschitzcontinuous(1)初值问题(3.1)的解等价于积分方程的连续解.证明思路(2)构造(3.5)近似解函数列(逐步求(3.5)的解,逐步逼近法)这是为了即下面分五个命题来证明定理,为此先给出积分方程的解如果一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符号下含有未知函数,则称这样的关系式为积分方程.积分方程命题1初值问题(3.1)等价于积分方程证明:即反之故对上式两边求导,得且构造Picard逐步逼近函数列问题:这样构造的函数列是否行得通,即上述的积分是否有意义?注命题2证明:(用数学归纳法)命题3证明:考虑函数项级数它的前n项部分和为对级数(3.
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