2013年湖南省高考数学试卷(文科).doc
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1、第 1 页(共 22 页)2013 年湖南省高考数学试卷(文科)年湖南省高考数学试卷(文科)一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 9 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 45 分分.在每小题给出的四个选在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的项中,只有一项是符合题目要求的.1 (5 分)复数 z=i(1+i) (i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2 (5 分) “1x2”是“x2”成立的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3 (5 分)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别
2、为 120 件,80 件,60 件为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为 n 的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了 3 件,则 n=( )A9B10C12D134 (5 分)已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(1)+g(1)=2,f(1)+g(1)=4,则 g(1)=( )A4B3C2D15 (5 分)在锐角ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b若2asinB=b,则角 A 等于( )ABCD6 (5 分)函数 f(x)=lnx 的图象与函数 g(x)=x24x+4 的图象的交点个数为( )A0B1C2D37 (5 分)已知正方体的棱
3、长为 1,其俯视图是一个面积为 1 的正方形,侧视图是一个面积为的矩形,则该正方体的正视图的面积等于( )AB1CD8 (5 分)已知 , 是单位向量, =0若向量 满足| |=1,则| |的最第 2 页(共 22 页)大值为( )ABCD9 (5 分)已知事件“在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取一点 P,使APB 的最大边是 AB”发生的概率为,则=( )ABCD二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 6 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 30 分分10 (5 分)已知集合 U=2,3,6,8,A=2,3,B=2,6,8,则(UA)B= 11 (5 分)在平面直角坐标系 xO
4、y 中,若直线(s 为参数)和直线(t 为参数)平行,则常数 a 的值为 12 (5 分)执行如图所示的程序框图,如果输入 a=1,b=2,则输出的 a 的值为 13 (5 分)若变量 x,y 满足约束条件,则 x+y 的最大值为 14 (5 分)设 F1,F2是双曲线 C:(a0,b0)的两个焦点若在C 上存在一点 P使 PF1PF2,且PF1F2=30,则 C 的离心率为 15 (5 分)对于 E=a1,a2,a100的子集 X=ai1,ai2,aik,定义 X 的“特征数列”为 x1,x2,x100,其中 xi1=xi2=xik=1其余项均为 0,例如子集a2,a3的“特征数列”为 0,
5、1,1,0,0,0(1)子集a1,a3,a5的“特征数列”的前 3 项和等于 ;第 3 页(共 22 页)(2)若 E 的子集 P 的“特征数列”P1,P2,P100 满足p1=1,pi+pi+1=1,1i99;E 的子集 Q 的“特征数列”q1,q2,q100满足q1=1,qj+qj+1+qj+2=1,1j98,则 PQ 的元素个数为 三、解答题;本大题共三、解答题;本大题共 6 小题,共小题,共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤算步骤16 (12 分)已知函数 f(x)=cosxcos(x) (1)求 f()的值(2)求使 f(x)成立的 x
6、 的取值集合17 (12 分)如图在直棱柱 ABCA1B1C1中,BAC=90,AB=AC=,AA1=3,D 是 BC 的中点,点 E 在棱 BB1上运动(1)证明:ADC1E;(2)当异面直线 AC,C1E 所成的角为 60时,求三棱锥 C1A1B1E 的体积18 (12 分)某人在如图所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物根据历年的种植经验,一株该种作物的年收货量 Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数 X 之间的关系如下表所示:X1234Y51484542这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米(
7、)完成下表,并求所种作物的平均年收获量;Y51484542频数4()在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为 48kg 的概率第 4 页(共 22 页)19 (13 分)设 Sn为数列an的前 n 项和,已知 a10,2ana1=S1Sn,nN*()求 a1,a2,并求数列an的通项公式;()求数列nan的前 n 项和20 (13 分)已知 F1,F2分别是椭圆的左、右焦点 F1,F2关于直线 x+y2=0 的对称点是圆 C 的一条直径的两个端点()求圆 C 的方程;()设过点 F2的直线 l 被椭圆 E 和圆 C 所截得的弦长分别为 a,b当 ab 最大时,求直线 l 的方程21 (1
8、3 分)已知函数 f(x)=()求 f(x)的单调区间;()证明:当 f(x1)=f(x2) (x1x2)时,x1+x20第 5 页(共 22 页)2013 年湖南省高考数学试卷(文科)年湖南省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 9 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 45 分分.在每小题给出的四个选在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的项中,只有一项是符合题目要求的.1 (5 分)复数 z=i(1+i) (i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】化简复数 z,
9、根据复数与复平面内点的对应关系可得答案【解答】解:z=i(1+i)=1+i,故复数 z 对应的点为(1,1) ,在复平面的第二象限,故选:B【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,属基础题2 (5 分) “1x2”是“x2”成立的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】设 A=x|1x2,B=x|x2,判断集合 A,B 的包含关系,根据“谁小谁充分,谁大谁必要”的原则,即可得到答案【解答】解:设 A=x|1x2,B=x|x2,AB,故“1x2”是“x2”成立的充分不必要条件故选:A【点评】本题考查的知识点是必要条件,充分条件与充要条件判断,其中熟
10、练掌握集合法判断充要条件的原则“谁小谁充分,谁大谁必要”,是解答本题的关键3 (5 分)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为 120 件,第 6 页(共 22 页)80 件,60 件为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为 n 的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了 3 件,则 n=( )A9B10C12D13【分析】甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为 6:4:3,求出丙车间生产产品所占的比例,从而求出 n 的值【解答】解:甲、乙、丙三个车间生产的产品件数分别是 120,80,60,甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为 6:4:3,
11、丙车间生产产品所占的比例,因为样本中丙车间生产产品有 3 件,占总产品的,所以样本容量 n=3=13故选:D【点评】本题主要考查了分层抽样方法,解题要分清具体问题中的总体、个体与样本,关键是明确考查的对象总体、个体与样本的考查对象是相同的,所不同的是范围的大小4 (5 分)已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(1)+g(1)=2,f(1)+g(1)=4,则 g(1)=( )A4B3C2D1【分析】直接利用函数的奇偶性,化简方程,解方程组即可【解答】解:f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,方程 f(1)+g(1)=2,f(1)+g(1)=4,化为:f(1)+g(1)=2,f(1)+g
12、(1)=4,两式相加可得 2g(1)=6,所以 g(1)=3故选:B【点评】本题考查函数的奇偶性的应用,函数的值的求法,基本知识的考查第 7 页(共 22 页)5 (5 分)在锐角ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b若2asinB=b,则角 A 等于( )ABCD【分析】利用正弦定理可求得 sinA,结合题意可求得角 A【解答】解:在ABC 中,2asinB=b,由正弦定理=2R 得:2sinAsinB=sinB,sinA=,又ABC 为锐角三角形,A=故选:A【点评】本题考查正弦定理,将“边”化所对“角”的正弦是关键,属于基础题6 (5 分)函数 f(x)=lnx 的图象与函数
13、g(x)=x24x+4 的图象的交点个数为( )A0B1C2D3【分析】在同一个坐标系中,画出函数 f(x)=x 与函数 g(x)=x24x+4=(x2)2 的图象,数形结合可得结论【解答】解:在同一个坐标系中,画出函数 f(x)=x 与函数 g(x)=x24x+4=(x2)2 的图象,如图所示:故函数 f(x)=x 的图象与函数 g(x)=x24x+4 的图象的交点个数为 2,故选:C第 8 页(共 22 页)【点评】本题主要考查方程的根的存在性及个数判断,体现了数形结合的数学思想,属于中档题7 (5 分)已知正方体的棱长为 1,其俯视图是一个面积为 1 的正方形,侧视图是一个面积为的矩形,
14、则该正方体的正视图的面积等于( )AB1CD【分析】通过三视图判断正视图的形状,结合数据关系直接求出正视图的面积即可【解答】解:因为正方体的棱长为 1,俯视图是一个面积为 1 的正方形,侧视图是一个面积为的矩形,说明侧视图是底面对角线为边,正方体的高为一条边的矩形,几何体放置如图:那么正视图的图形与侧视图的图形相同,所以正视图的面积为:故选:D第 9 页(共 22 页)【点评】本题考查几何体的三视图形状,侧视图的面积的求法,判断几何体的三视图是解题的关键,考查空间想象能力8 (5 分)已知 , 是单位向量, =0若向量 满足| |=1,则| |的最大值为( )ABCD【分析】通过建立直角坐标系
15、,利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出【解答】解:| |=| |=1,且,可设,即(x1)2+(y1)2=1的最大值=故选:C第 10 页(共 22 页)【点评】熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合是解题的关键9 (5 分)已知事件“在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取一点 P,使APB 的最大边是 AB”发生的概率为,则=( )ABCD【分析】先明确是一个几何概型中的长度类型,然后求得事件“在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取一点 P,使APB 的最大边是 AB”发生的线段长度,再利用两者的比值即为发生的概率,从而求出【解答】解:记“在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取
16、一点 P,使APB 的最大边是AB”为事件 M,试验的全部结果构成的长度即为线段 CD,构成事件 M 的长度为线段 CD 其一半,根据对称性,当 PD=CD 时,AB=PB,如图设 CD=4x,则 AF=DP=x,BF=3x,再设 AD=y,则 PB=,于是=4x,解得,从而故选:D第 11 页(共 22 页)【点评】本题主要考查几何概型,基本方法是:分别求得构成事件 A 的区域长度和试验的全部结果所构成的区域长度,两者求比值,即为概率二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 6 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 30 分分10 (5 分)已知集合 U=2,3,6,8,A=2,3,B
17、=2,6,8,则(UA)B= 6,8 【分析】先求出集合 A 的补集,再利用交集的定义求(CUA)B【解答】解:由题意U=2,3,6,8,集合 A=2,3,CUA=6,8,又 B=2,6,8,故(CUA)B=6,8故答案为:6,8【点评】本题考查交、并、补集的混合运算,正确解答本题关键是掌握并理解补集与交集的定义,并能根据所给的规则进行正确运算11 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,若直线(s 为参数)和直线(t 为参数)平行,则常数 a 的值为 4 【分析】先将直线的参数方程化为普通方程,再利用两条直线平行,直接求出a 的值即可【解答】解:直线 l1的参数方程为(s 为参数) ,消去
18、s 得普通方程为x2y1=0,直线 l2的参数方程为(t 为参数) ,消去 t 得普通方程为 2xaya=0,l1l2,x2y1=0 的斜率为 k1=,2xaya=0 的斜率 k2=,解得:a=4故答案为:4第 12 页(共 22 页)【点评】本题是基础题,考查直线的平行条件的应用,注意直线的斜率是否存在是解题关键,考查计算能力12 (5 分)执行如图所示的程序框图,如果输入 a=1,b=2,则输出的 a 的值为 32 【分析】模拟执行程序,依次写出每次循环得到的 a 的值,当 a=32 时,满足条件 a31,退出循环,输出 a 的值为 32【解答】解:模拟执行程序,可得a=1,b=2不满足条
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