【优质模拟卷】2021-2023届近三年新高考T8联考数学试题含答案.pdf
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1、【优质模拟卷】2021-2023届近三年新高考T8联考数学试题含答案 目录1.T8联考2021届高三第一次联考数学试卷含答案2.T8联考2022届高三第一次联考数学试卷含答案3.T8联考2023届高三第一次联考数学试卷含答案 广东实验中学广东实验中学 东北育才中学东北育才中学 石家庄二中石家庄二中 华中师大一附中华中师大一附中西南大学附中西南大学附中 南京师大附中南京师大附中 湖南师大附中湖南师大附中 福州一中福州一中 2021 届高三第一次联考届高三第一次联考 数学试题数学试题 考试时间:2020 年 12 月 30 日上午 8:0010:00 考试时间:2020 年 12 月 30 日上午
2、 8:0010:00 试卷满分 150 分试卷满分 150 分 考试用时 120 分钟 考试用时 120 分钟 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1若3211iiiz,则z的虚部为 A51Bi51C53Di532已知集合2|430Ax xx,|Bx xm,若|1ABx x,则 A1m B31m C31m D31m 3斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”,它的画法是:以斐波那契数:1,1,2,3,5,为边的正方形拼成长方形,
3、然后在每个正方形中画一个圆心角为90的圆弧,这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线自然界存在很多斐波拉契螺旋线的图案,例如向日葵、鹦鹉螺等下图为该螺旋线的前一部分,如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面,则该圆锥的底面半径为 A132B138C134D1324设22(54)3,(1)()223,(1)1xaaxa xf xxxx,若()f x的最小值为(0)f,则a的值为 A0 B1 或 4 C1 D4 5已知ABC中,1AB,3AC,1cos4A,点E在直线BC上,且满足:2()BEABACR,则|AE A34B3 6 C3 D6 T8联考联考八校八校 8532116设双曲线221
4、3yx 的左,右焦点分别为1F,2F,过1F的直线与双曲线的左支交于点A,与双曲线的渐近线在第一象限交于点B,若12BFBF,则2ABF的周长为 A4 32 B4 32 C42 3 D42 3 7已知ABC中,角A,B满足2cossinBABA,则下列结论一定正确的是 ACAcossin BBAcossin CsincosBA DBCsinsin 8将一条均匀柔软的链条两端固定,在重力的作用下它所呈现的形状叫悬链线,例如悬索桥等 建立适当的直角坐标系,可以写出悬链线的函数解析式为()coshxf xaa,其中a为悬链线系数,coshx称为双曲余弦函数,其函数表达式为cosh2xxeex,相应地
5、双曲正弦函数的函数表达式为sinh2xxeex若直线xm与双曲余弦函数1C和双曲正弦函数2C分别相交于点A,B,曲线1C在点A处的切线与曲线2C在点B处的切线相交于点P,则 Asinh coshyxx是偶函数 Bcosh()cosh coshsinh sinhxyxyxy C|BP随m的增大而减小 DPAB的面积随m的增大而减小 二、二、选择题:本选择题:本题共题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分在每小题给出的选项中,有多项符合题目分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得要求全部选对的得 5 分,有选错的得分,有选错的得 0 分,部分选对的得分,部分选对
6、的得 3 分分 9 已知圆06222ayxyx上至多有一点到直线0543 yx的距离为 2,则实数a可能的取值为 A5 B6 C7 D10 10下列命题中正确的是 A(0,)x,11()()23xx B(0,1)x,xx3121loglog C1(0,)2x,121()2xx D1(0,)3x,131()log2xx 11已知等比数列na首项11a,公比为q,前n项和为nS,前n项积为nT,函数127()()()()f xx xaxaxa,若(0)1f,则 Algna为单调递增的等差数列 B01q C11naSq为单调递增的等比数列 D使得1nT 成立的n的最大值为 6 12在直三棱柱111A
7、BCABC中,90ABC,2ABBC,12AA,M是BC的中点,N是11AC的中点,点P在线段1B N上,点Q在线段AM上,且23AQAM,S是1AC与1AC的交点,若/PS面1B AM,则 A1/PSBQ BP为1B N的中点 CACPS D三棱锥1PB AM的体积为23 三、填空题:三、填空题:本本题共题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13设随机变量1(,)4X B n,12 XY,若()4E Y,则n=14武汉某学校的四名党员教师积极参加党员干部下沉社区的活动,在活动中他们会被随机分配到ABC、三个社区若每个社区至少分配一名党员教师,且教师甲必须分配到A社
8、区,共有 种不同的分配方案 15我国南宋时期杰出数学家秦九韶在数书九章中提出了“三斜求积术”,即以小斜幂,并大斜幂,减中斜幂,余半之,自乘于上;以小斜幂乘大斜幂,减上,余四约之,为实;一为从隅,开平方得积 把以上文字写成公式,即2222221()42cabSc a(其中S为三角形的面积,,a b c为三角形的三边)在非直角ABC中,,a b c为内角,A B C所对应的三边,若3a,且(cos3cos)acBC,则ABC的面积最大时,c 16已知函数()ln2(0)2xaf xaeax,若()0f x 恒成立,则实数a的取值范围为 ABCMNP1A1B1CSQ四、解答题:本题共四、解答题:本题
9、共 6 小题,共小题,共 70 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17(10 分)已知na为等差数列,nb为等比数列,nb的前n项和为nS,且111ab,233aab,332aSb(1)求数列na,nb的通项公式;(2)设112nnnnna bcaa,nT为数列 nc的前n项和,求数列552nT 的前n项和nS 18(12 分)已知函数()sin()(0,0)f xAxA的图像是由2sin()3yx的图像向右平移3个单位得到的(1)若()f x的最小正周期为,求()f x的与y轴距离最近的对称轴方程;(2)若()f x在,2上仅有一个零点,求的取
10、值范围 19(12 分)如图所示为一个半圆柱,E为半圆弧CD上一点,5CD (1)若2 5AD,求四棱锥EABCD的体积的最大值;(2)有三个条件:4DE DCEC DC;直线AD与BE所成角的正弦值为23;sin6sin2EABEBA 请你从中选择两个作为条件,求直线AD与平面EAB所成角的余弦值 ABCDE20(12 分)国家发展改革委、住房城乡建设部于 2017 年发布了生活垃圾分类制度实施方案,规定 46 个城市在 2020 年底实施生活垃圾强制分类,垃圾回收、利用率要达 35%以上截至 2019年底,这 46 个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近 70%武汉市在实施垃圾分类
11、之前,从本市人口数量在两万人左右的 320 个社区中随机抽取 50 个社区,对这 50 个社区某天产生的垃圾量(单位:吨)进行了调查,得到如下频数分布表,并将人口数量在两万人左右的社区垃圾数量超过28吨/天的确定为“超标”社区:垃圾量X 12.5,15.5)15.5,18.5)18.5,21.5)21.5,24.5)24.5,27.5)27.5,30.5)30.5,33.5 频数 5 6 9 12 8 6 4(1)通过频数分布表估算出这 50 个社区这一天垃圾量的平均值x(精确到 0.1);(2)若该市人口数量在两万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布2(,)N,其中近似为(1)中的样本
12、平均值x,2近似为样本方差2s,经计算得5.2s 请利用正态分布知识估计这 320 个社区中“超标”社区的个数(3)通过研究样本原始数据发现,抽取的 50 个社区中这一天共有 8 个“超标”社区,市政府决定对这 8 个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查现计划在这 8 个“超标”社区中任取 5 个先进行跟踪调查,设Y为抽到的这一天的垃圾量至少为30.5吨的社区个数,求Y的分布列与数学期望(参考数据:()0.6827PX;(22)0.9545PX;(33)0.9974PX)21(12 分)已知椭圆2222:1(0)xyCabab与抛物线2:4M yx有公共的焦点,且抛物线的准线被椭圆截得的弦长为
13、3(1)求椭圆C的方程;(2)过椭圆C的右焦点作一条斜率为(0)k k 的直线交椭圆于,A B两点,交y轴于点E,P为弦AB的中点,过点E作直线OP的垂线交OP于点Q,问是否存在一定点H,使得QH的长度为定值?若存在,则求出点H,若不存在,请说明理由 22(12 分)已知函数2ln()xmf xx(1)当1m 时,求()f x的最大值;(2)讨论关于x的方程()lnf xmx的实根的个数 2021 届届 T8 第一次联考第一次联考数学试题参考答案数学试题参考答案 一、选择题一、选择题:题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B C C D C C D BC ABC
14、 BCD ACD 二、填空题:二、填空题:136 14 12 15 3 16(,)e 部分部分选填题选填题解答:解答:8解:解:对于选项 A:22sinh cosh4xxeeyxx是奇函数,所以 A 错误;对于选项 B:cosh coshsinh sinh2222xxyyxxyyeeeeeeeexyxy cosh()442x yx yx yy xx yx yx yy xx yy xeeeeeeeeeexy ,所以 B 错误;对于选项 C、D:设(,)2mmeeA m,(,)2mmeeB m,则曲线1C在点A处的切线方程为:()22mmmmeeeeyxm,曲线2C在点B处的切线方程为:2mmee
15、y()2mmeexm,联立求得点P的坐标为(1,)mme,则222()|1()124mmmmmeeeeBPe ,11|22mPABSABe,所以|BP随m的增大而先减小后增大,PAB的面积随m的增大而减小,所以 C 错误,D 正确 11解解:令127()()()()g xxaxaxa,则()()f xxg x,()()()fxg xxg x,127(0)(0)1fgaaa,因为na是等比数列,所以712741a aaa,即3411aa q,11a,01q,B 正确;111lglglg(1)lgnnaa qanq,lgna是公差为lgq的递减等差数列,A 错误;1111(11)111nnnaaa
16、 qSqqqqq,11naSq是首项为101a qq,公比为q的递增等比数列,C 正确;11a,01q,41a,3n 时,1na,5n时,01na,4n 时,1nT,7712741Ta aaa,8n 时,78971nnTT a aaT,又75671TTa a,7671TTa,所以使得1nT 成立的n的最大值为 6,D 正确 12解:解:对于选项 A:连接交NS交AC于G点,连接BG,则由ABBC,23AQAM,可得BG必过点Q,且23BQBG,因为PS面1BBNG,1/PSAMB面,111AMBBB NGBQ面面,所以1/PSBQ,A 正确;对于选项 B:1/PSBQ,1NPSNBQBQB,1
17、Rt PNSRt QBB,112PNNSBQBB,即111 2122 33PNBQBGB N,P为靠近N的三等分点,B 错误;对于选项 C:ACNG,ACBG,1ACBB NG面,ACPS,C 正确;对于选项 D:1/B PBQ,且1B PBQ,1BB PQ是矩形,11111222 1323P AB MB AB MBABMVVV ,D 正确 15解:解:(cos3cos)acBC,sinsin(cos3cos)ACBC,sinsin()sincoscossinABCBCBC,化简得cossin3sincosCBCC,ABC非直角三角形,cos0C,sin3sinBC,即cb3,48172421
18、)2(4124222222ccbacacS,当且仅当92c,即3c时,S有最大值 16解:解:022ln)(xaaexfx,则2)2ln(lnlnxaeax,两边加上x得到lnln(2)ln2ln(2)ln(2)xxxexaxxex,xyex单调递增,lnln(2)xax,即xxa)2ln(ln,令 xxxg)2ln(,则 11121xxxxg,(2,1)x 时,0)(xg,)(xg单调递增,(1,)x ,0)(xg,)(xg单调递减,maxln()(1)1ag xg,ae 四四、解答题:、解答题:17解:解:(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,233aab,332aSb,22 1
19、 21dqdqqq,解得:24qd或00qd(舍去),43nan,12nnb 4 分(2)na是等差数列,所以212nnnaaa,又由(1)知:212nnbb,1121112112122121(2)2nnnnnnnnnnnnnnnnnna baabbbbbcaaaaaaaa,6 分 ABCMNP1A1B1CSQG122122222455nnnnnbbTcccaan,1545522nnnT,8 分 则2311119()13()(45)()222nnSn 34211119()13()(45)()2222nnSn 由得:234121111119()4()()()(45)()222222nnnSn 2
20、22111()11511425()4(45)()21()(45)()12242212nnnnnn 21 31(41 3)()42nn,1131(413)()22nnSn 10 分 18解:解:(1)因为()f x的最小正周期为,2,2,2 分()f x的图像是由2sin()3yx的图像向右平移3个单位得到,()2sin()33f xx,即()2sin(2)3f xx,4 分 令2,32xkkZ,得()f x的对称轴方程为5212kx,kZ,5 分 要使直线5212kx(kZ)与y轴距离最近,则须5|212k最小,1k ,此时对称轴方程为12x,即所求对称轴方程为12x 6 分(2)由已知得:(
21、)2sin()33f xx,令()0f x 得:Zkkx,33,即Zkkx,33,8 分()f x在,2上仅有一个零点,332(1)33,2(1)33kkkZk,0,3162268 32 2kkkk,0,6203162232682kkkkk,解得:123k,kZ,1k,251 12 分 19解:解:(1)在平面EDC内作EFCD于点F,因为平面ABCD 平面EDC,平面ABCD平面EDCDC,所以EF 平面ABCD,2 分 因为E为半圆弧CD上一点,所以CEED,所以1152 533E ABCDABCDCE EDVSEFCD2 53CE ED,4 分 因为2225CEEDCD,222 52 5
22、55 532323E ABCDCEEDV,当且仅当102CEED时等号成立,所以四棱锥EABCD的体积的最大值为5 53 6 分(2)由条件得:4|cos|cosDE DCCDECE DCDCE,即224DECE,所以2DECE,又因为225DECE,所以1DE,2CE,由条件得:因为/ADBC,BC 平面DCE,所以CBE为直线AD与BE所成角,且2sin3CECBEBE,2tan5CECBEBC,由条件得:sin6sin2EABEBEBAEA,设ADx,则222232xCExDE,ABCDEFG若选条件,则1DE,2CE,且2tan5CECBEBC,所以5ADBC,若选条件,则1DE,2C
23、E,且222232xCExDE,所以5ADBCx,若选条件,则2tan5CECBEx,且222232xCExDE,225DECE,所以5ADBCx,即从任选两个作为条件,都可以得到5ADBC,9 分 下面求AD与平面EAB所成角的正弦值:方法一:方法一:设点D到平面EAB的距离为h,AD与平面EAB所成角为,则由 D EABE DABVV得:215525EABDABh SEF S,所以5EABhS,作FGAB于点G,连接EG,则由EF 平面ABCD知FG是EG在平面ABCD内的射影,所以EGAB,222211122955()(5)22225EABSAB EGEFFG,52 529EABhS,2
24、sin29hAD,所以AD与平面EAB所成角的余弦值为5 2929 12 分 方法二:方法二:以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则(5,0,0)B,(0,0,5)D,5 2 5(,5)55E,5 2 5(,5)55AE,(5,0,0)AB,设平面EAB的法向量为(,)mx y z,则52 5505550 xyzx,令1z,则5(0,1)2m,52cos,2529514AD m,AD与平面EAB所成角,2AD m,所以AD与平面EAB所成角的余弦值为5 2929 ABCDEFxyz20解:解:(1)由频数分布表得:14 5 17 620 923 1226 829 632 422.7622
25、.850 x ,所以这 50 个社区这一天垃圾量的平均值为22.8吨 3 分(2)由(1)知22.8,5.2s,5.2s,1 0.6827(28)()0.158652P XP X,5 分 320 0.1586550.76851,所以这 320 个社区中“超标”社区的个数为 51 7 分(3)由频数分布表知:8 个“超标”社区中这一天的垃圾量至少为30.5吨的社区有 4 个,所以Y的可能取值为1,2,3,4,且1444581(1)14C CP YC,2344583(2)7C CP YC,3244583(3)7C CP YC,4144581(4)14C CP YC,10 分 所以Y的分布列为:Y
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