高考理科数学一轮不等式选讲.doc
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1、选修 45 不等式选讲A第 1 讲 不等式、含有绝对值的不等式最新考纲1理解绝对值三角不等式的代数证明和几何意义,能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式2掌握|axb|c,|axb|c,|xa|xb|c 型不等式的解法.知 识 梳 理1绝对值三角不等式(1)定理 1:如果 a,b 是实数,则|ab| |a|b|,当且仅当 ab0 时,等号成立;(2)性质:|a|b|ab|a|b|;(3)定理 2:如果 a,b,c 是实数,则|ac|ab|bc|,当且仅当(ab)(bc)0 时,等号成立2绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a 的解法不等式a0a0aax|xa,或 x0)和|
2、axb|c(c0)型不等式的解法|axb|ccaxbc;|axb|caxbc 或 axbc.(3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想诊 断 自 测1不等式 1|x1|3 的解集为_解析 数轴上的点到1 的距离大于 1 且小于 3 的全体实数为所求解集答案 (4,2)(0,2)2设 ab0,下面四个不等式中,正确命题的序号是_|ab|a|;|ab|b|;|ab|ab|;|ab|a|b|.解析 a
3、b0,a,b 同号,|ab|a|b|,和正确答案 3不等式|x8|x4|2 的解集为_解析 令:f(x)|x8|x4|Error!当 x4 时,f(x)42;当 4x8 时,f(x)2x122,得 x5,4x5;当 x8 时,f(x)42 不成立故原不等式的解集为:x|x5答案 x|x54(2012山东卷)若不等式|kx4|2 的解集为x|1x3,则实数k_.解析 |kx2|2,2kx42,2kx6.不等式的解集为x|1x3,k2.答案 25已知关于 x 的不等式|x1|x|k 无解,则实数 k 的取值范围是_解析 |x1|x|x1x|1,当 k1 时,不等式|x1|x|k 无解,故 k1.答
4、案 (,1)考点一 含绝对值不等式的解法【例 1】 解不等式|x1|x2|5.解 法一 如图,设数轴上与2,1 对应的点分别是 A,B,则不等式的解就是数轴上到 A、B 两点的距离之和不小于 5 的点所对应的实数显然,区间2,1不是不等式的解集把 A 向左移动一个单位到点 A1,此时 A1AA1B145.把点 B 向右移动一个单位到点 B1,此时 B1AB1B5,故原不等式的解集为(,32,)法二 原不等式|x1|x2|5Error!或Error!或Error!解得 x2 或 x3,原不等式的解集为(,32,)法三 将原不等式转化为|x1|x2|50.令 f(x)|x1|x2|5,则f(x)E
5、rror!作出函数的图象,如图所示由图象可知,当 x(,32,)时,y0,原不等式的解集为(,32,)规律方法 形如|xa|xb|c(或c)型的不等式主要有三种解法:(1)分段讨论法:利用绝对值号内式子对应方程的根,将数轴分为(,a,(a,b,(b,)(此处设 ab)三个部分,在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解,然后取各个不等式解集的并集(2)几何法:利用|xa|xb|c(c0)的几何意义:数轴上到点 x1a 和 x2b 的距离之和大于 c 的全体,|xa|xb|xa(xb)|ab|.(3)图象法:作出函数 y1|xa|xb|和 y2c 的图象,结合图象求解【训练 1】 解不等式
6、|x3|2x1| 1.x2解 当 x3 时,原不等式化为(x3)(12x) 1,解得x2x10,x3.当3x 时,原不等式化为(x3)(12x) 1,解得12x2x ,3x .2525当 x 时,原不等式化为(x3)(2x1) 1,解得 x2,x2.12x2综上可知,原不等式的解集为Error!.考点二 含参数的绝对值不等式问题【例 2】 已知不等式|x1|x3|a.分别求出下列情形中 a 的取值范围(1)不等式有解;(2)不等式的解集为 R;(3)不等式的解集为.解 法一 因为|x1|x3|表示数轴上的点 P(x)与两定点 A(1),B(3)距离的差,即|x1|x3|PAPB.由绝对值的几何
7、意义知,PAPB 的最大值为 AB4,最小值为AB4,即4|x1|x3|4.(1)若不等式有解,a 只要比|x1|x3|的最大值小即可,故 a4.(2)若不等式的解集为 R,即不等式恒成立,只要 a 比|x1|x3|的最小值还小,即 a4.(3)若不等式的解集为,a 只要不小于|x1|x3|的最大值即可,即 a4.法二 由|x1|x3|x1(x3)|4.|x3|x1|(x3)(x1)|4.可得4|x1|x3|4.(1)若不等式有解,则 a4;(2)若不等式的解集为 R,则 a4;(3)若不等式解集为,则 a4.规律方法 本题中(1)是含参数的不等式存在性问题,只要求存在满足条件的 x 即可;不
8、等式的解集为 R 是指不等式的恒成立问题,而不等式的解集的对立面(如f(x)m 的解集是空集,则 f(x)m 恒成立)也是不等式的恒成立问题,此两类问题都可转化为最值问题,即 f(x)a 恒成立af(x)max,f(x)a 恒成立af(x)min.【训练 2】 设函数 f(x)|xa|3x,其中 a0.(1)当 a1 时,求不等式 f(x)3x2 的解集;(2)若不等式 f(x)0 的解集为x|x1,求 a 的值解 (1)当 a1 时,f(x)3x2 可化为|x1|2.由此可得 x3 或 x1.故不等式 f(x)3x2 的解集为x|x3,或 x1(2)由 f(x)0 得|xa|3x0.此不等式
9、化为不等式组Error!或Error!即Error!或Error!因为 a0,所以不等式组的解集为Error!.由题设可得 1,故 a2.a2考点三 含绝对值的不等式的应用【例 3】 (2013新课标全国卷)已知函数 f(x)|2x1|2xa|,g(x)x3.(1)当 a2 时,求不等式 f(x)1,且当 x时,f(x)g(x),求 a 的取值范围a2,12)解 (1)当 a2 时,不等式 f(x)g(x)化为|2x1|2x2|x30.设函数 y|2x1|2x2|x3,则 yError!其图象如图所示,由图象可知,当且仅当 x(0,2)时,y0.所以原不等式的解集是x|0x2(2)当 x时,f
10、(x)1a,a2,12)不等式 f(x)g(x)化为 1ax3,所以 xa2 对 x都成立,a2,12)应有 a2,则 a ,a243从而实数 a 的取值范围是.(1,43规律方法 含有多个绝对值的不等式,可以分别令各绝对值里的式子为零,并求出相应的根把这些根从小到大排序,以这些根为分界点,将实数分成若干小区间按每个小区间来去掉绝对值符号,解不等式,最后取每个小区间上相应解的并集【训练 3】 (2012新课标全国卷)已知函数 f(x)|xa|x2|.(1)当 a3 时,求不等式 f(x)3 的解集;(2)若 f(x)|x4|的解集包含1,2,求 a 的取值范围解 (1)当 a3 时,f(x)E
11、rror!当 x2 时,由 f(x)3 得2x53,解得 x1;当 20 时, x ,得 a2.4a2a(2)记 h(x)f(x)2f|2x1|2x2|,(x2)则 h(x)Error!所以|h(x)|1,因此 k1.故 k 的取值范围是1,)12设函数 f(x)|x1|xa|.(1)若 a1,解不等式 f(x)3;(2)如果xR,f(x)2,求 a 的取值范围解 (1)当 a1 时,f(x)|x1|x1|,f(x)Error!作出函数 f(x)|x1|x1|的图象由图象可知,不等式 f(x)3 的解集为Error!.(2)若 a1,f(x)2|x1|,不满足题设条件;若 a1,f(x)Err
12、or!f(x)的最小值为 1a;若 a1,f(x)Error!f(x)的最小值为 a1.对于xR,f(x)2 的充要条件是|a1|2,a 的取值范围是(,13,)第 2 讲 不等式的证明最新考纲了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法,并能用它们证明一些简单不等式知 识 梳 理1基本不等式定理 1:设 a,bR,则 a2b22ab.当且仅当 ab 时,等号成立定理 2:如果 a、b 为正数,则,当且仅当 ab 时,等号成立ab2ab定理 3:如果 a、b、c 为正数,则,当且仅当 abc 时,等号abc33abc成立定理 4:(一般形式的算术几何平均不等式)如果 a1、
13、a2、an为 n 个正数,则,当且仅当 a1a2an时,等号成立a1a2annna1a2an2柯西不等式(1)设 a,b,c,d 均为实数,则(a2b2)(c2d2)(acbd)2,当且仅当 adbc 时等号成立(2)若 ai,bi(iN*)为实数,则()()(ibi)2,当且仅当n i1a 2 in i1b 2 in i1a(当 ai0 时,约定 bi0,i1,2,n)时等号成立b1a1b2a2bnan(3)柯西不等式的向量形式:设 , 为平面上的两个向量,则|,当且仅当 , 共线时等号成立3不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等诊 断 自 测1已知
14、a、b、m 均为正数,且 ab,M ,N,则 M、N 的大小关系abambm是_解析 MN 0,即 MN.abambmmabbbm答案 MN2设 a,b,c,则 a,b,c 的大小关系为326576_解析 分子有理化得 a,b,c,13 216 517 6abc.答案 abc3若 0ab1,则 ab,2,a2b2,2ab 中最大的一个是_ab解析 ab2,a2b22ab.ab又(a2b2)(ab)a(a1)b(b1),0a1,0b1.a(a1)b(b1)0.a2b2ab.答案 ab4已知 x,yR,且 xy1,则的最小值为_(11x)(11y)解析 24.(11x)(11y)(11xy)答案
15、45若 a,b,c(0,),且 abc1,则的最大值为abc_解析 ()2(111)2(121212)(abc)3.abcabc当且仅当 abc 时,等号成立13()23.故的最大值为.abcabc3答案 3考点一 分析法证明不等式【例 1】 设 a,b,c0,且 abbcca1.求证:(1)abc.3(2) ()abcbaccab3abc证明 (1)要证 abc ,3由于 a,b,c0,因此只需证明(abc)23.即证:a2b2c22(abbcca)3,而 abbcca1,故需证明:a2b2c22(abbcca)3(abbcca)即证:a2b2c2abbcca.而这可以由 abbccaa2b
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