高考理科数学一轮计数原理.doc
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1、第十篇 计数原理A第 1 讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理最新考纲1理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理2会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.知 识 梳 理1分类加法计数原理完成一件事有 n 类不同的方案,在第一类方案中有 m1种不同的方法,在第二类方案中有 m2种不同的方法,在第 n 类方案中有 mn种不同的方法,则完成这件事情,共有 Nm1m2mn种不同的方法2分步乘法计数原理完成一件事情需要分成 n 个不同的步骤,完成第一步有 m1种不同的方法,完成第二步有 m2种不同的方法,完成第 n 步有 mn种不同的方法,那么完成这件事情共有 Nm1m2mn
2、种不同的方法3分类加法计数原理与分步乘法计数原理,都涉及完成一件事情的不同方法的种数它们的区别在于:分类加法计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中的任一种方法都可以完成这件事;分步乘法计数原理与分步有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成辨 析 感 悟1两个计数原理的理解(1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同()(2)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件事()(3)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的()(4)在分步乘法计数原理中,事情是分两步完成的,其中任何一个单独的步骤都能完成这件事()2两个计数原理的
3、应用(5)(教材习题改编)三个人踢毽,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过 5 次传递后,毽又被踢回给甲,则不同的传递方式共有 10 种()(6)用数字 2,3 组成四位数,且数字 2,3 至少都出现一次,这样的四位数共有 14个()感悟提升1两点区别一是分类加法计数原理中,完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类,简单的说分类的标准是“不重不漏,一步完成” ,如(1)、(2)二是分步乘法计数原理中,各个步骤相互依存,在各个步骤中任取一种方法,即是完成这个步骤的一种方法,简单的说步与步之间的方法“相互独立,分步完成” ,如(3)、(4)2两点提醒一是分类时,标准要明确,应做到不
4、重不漏;可借助几何直观,探索规律,如(5)二是分步时,要合理设计顺序、步骤,并注意元素是否可以重复选取,如(6)中2,3 可重复但至少各出现一次.学生用书第 172 页考点一 分类加法计数原理【例 1】 (2013福建卷改编)满足 a,b1,0,1,2,且关于 x 的方程ax22xb0 有实数解的有序数对(a,b)的个数为( )A14 B13 C12 D9解析 由于 a,b1,0,1,2(1)当 a0 时,有 x 为实根,则 b1,0,1,2 有 4 种可能;b2(2)当 a0 时,则方程有实根,44ab0,所以 ab1.(*)当 a1 时,满足(*)式的 b1,0,1,2 有 4 种当 a1
5、 时,b1,0,1,有 3 种可能当 a2 时,b1,0,有 2 种可能由分类加法计数原理,有序数对(a,b)共有 443213(个)答案 B规律方法 分类标准是运用分类计数原理的难点所在,重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置首先根据题目特点恰当选择一个分类标准;其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类【训练 1】 某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友,每位朋友 1 本,则不同的赠送方法共有( )A4 种 B10 种 C18 种 D20 种解析 赠送一本画册,3 本集邮册,需从 4 人中选取一人赠送画册,其余送邮册,有
6、C 种方法1 4赠送 2 本画册,2 本集邮册,只需从 4 人中选出 2 人送画册,其余 2 人送邮册,有 C 种方法2 4由分类加法计数原理,不同的赠送方法有 C C 10(种)1 42 4答案 B考点二 分步乘法计数原理【例 2】 将字母 a,a,b,b,c,c 排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有( )A12 种 B18 种 C24 种 D36 种解析 先排第一列,由于每列的字母互不相同,因此共有 A 种不同排法再3 3排第二列,其中第二列第一行的字母共有 2 种不同的排法,第二列第二、三行的字母只有 1 种排法因此共有 A 2112(种)不同
7、的排列方法3 3答案 A规律方法 (1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的,并且分步必须满足:完成一件事的各个步骤是相互依存的,只有各个步骤都完成了,才算完成这件事(2)分步必须满足两个条件:一是步骤互相独立,互不干扰;二是步与步确保连续,逐步完成【训练 2】 将一个四面体 ABCD 的六条棱上涂上红、黄、白三种颜色,要求共端点的棱不能涂相同颜色,则不同的涂色方案有( )A1 种 B3 种 C6 种 D9 种解析 因为只有三种颜色,又要涂六条棱,所以应该将四面体的对棱涂成相同的颜色故有 3216 种涂色方案答案 C考点三 两个计数原理的综合应用【例 3
8、】 (2014济南质检)如图,用 4 种不同的颜色对图中 5 个区域涂色(4 种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数有_.12345审题路线 由于区域 1,2,3 与区域 4 相邻,由条件宜采用分步处理,又相邻区域不同色,因此应按区域 1 和区域 3 是否同色分类求解解析 按区域 1 与 3 是否同色分类;(1)区域 1 与 3 同色;先涂区域 1 与 3 有 4 种方法,再涂区域 2,4,5(还有 3 种颜色)有 A 种方法3 3区域 1 与 3 涂同色,共有 4A 24 种方法3 3(2)区域 1 与 3 不同色:先涂区域 1 与 3 有 A
9、 种方法,第二步涂区域 2 有 2 种2 4涂色方法,第三步涂区域 4 只有一种方法,第四步涂区域 5 有 3 种方法这时共有 A 21372 种方法,2 4故由分类加法计数原理,不同的涂色种数为 247296.答案 96规律方法 (1)解决涂色问题,一定要分清所给的颜色是否用完,并选择恰当的涂色顺序(2)切实选择好分类标准,分清哪些可以同色,哪些不同色【训练 3】 如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足 a1a3,则称这样的三位数为凸数(如 120,343,275 等),那么所有凸数的个数为( )A240 B204 C729 D920解析 若 a22,则“凸数”为 120 与 121,共
10、122 个若 a23,则“凸数”有 236 个若 a24,满足条件的“凸数”有 3412 个,若a29,满足条件的“凸数”有 8972 个所有凸数有26122030425672240(个)答案 A1分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础并贯穿始终(1)分类加法计数原理中,完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类(2)分步乘法计数原理中,各个步骤相互依存,步与步之间的方法“相互独立,分步完成” 2(1)切实理解“完成一件事”的含义,以确定需要分类还是需要分步进行(2)分类的关键在于要做到“不重不漏” ,分步的关键在于要正确设计分步的程序,即合理分类,准确分步3若综合利用
11、两个计数原理,一般先分类再分步 学生用书第 173 页创新突破 9与计数原理有关的新定义问题【典例】 (2012湖北卷)回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数如22,121,3 443,94 249 等显然 2 位回文数有 9 个:11,22,33,99.3 位回文数有 90 个:101,111,121,191,202,999.(*)则:(1)4 位回文数有_个;(2)2n1(nN*)位回文数有_个(*)突破:由(*)式,理解“特殊”背景回文数的含义,借助计数原理计算结合(*),可从 2 位回文数,3 位回文数,4 位回文数探索求解方法,从特殊到一般发现规律解析 (1)4 位回文数相当于
12、填 4 个方格,首尾相同,且不为 0,共 9 种填法;中间两位一样,有 10 种填法共计 91090(种)填法,即 4 位回文数有 90 个(2)根据回文数的定义,此问题也可以转化成填方格由计数原理,共有 910n种填空答案 (1)90 (2)910n反思感悟 (1)一题两问,以“回文数”为新背景,考查计数原理,体现了化归思想,将确定回文数的问题转化为“填方格”问题,进而利用分步乘法计数原理解决,将新信息转化为所学的数学知识来解决(2)从特殊情形入手,通过分析、归纳,发现问题中隐含的一些本质特征和规律,然后再推广到一般情形,必要时可以多列举一些特殊情形,使规律方法更加明确【自主体验】1(201
13、4扬州调研)从 8 名女生 4 名男生中,选出 3 名学生组成课外小组,如果按性别比例分层抽样,则不同的抽取方法数为_种解析 从男生中抽取 1 人有 4 种方法从女生中抽取两人,有 C 28 种方法2 8由分步乘法计数原理,共有 284112 种方法答案 1122(2013山东卷改编)用 0,1,9 十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A243 B252 C261 D648解析 0,1,2,9 共能组成 91010900(个)三位数,其中无重复数字的三位数有 998648(个),有重复数字的三位数有 900648252(个)答案 B对应学生用书 P357基础巩固题组(建议用时:4
14、0 分钟)一、选择题 1某市汽车牌照号码可以上网自编,但规定从左到右第二个号码只能从字母B,C,D 中选择,其他四个号码可以从 09 这十个数字中选择(数字可以重复),有车主第一个号码(从左到右)只想在数字 3,5,6,8,9 中选择,其他号码只想在1,3,6,9 中选择,则他的车牌号码可选的所有可能情况有( )A180 种 B360 种 C720 种 D960 种解析 按照车主的要求,从左到右第一个号码有 5 种选法,第二位号码有 3 种选法,其余三位号码各有 4 种选法因此车牌号码可选的所有可能情况有53444960(种)答案 D2(2012新课标全国卷)将 2 名教师,4 名学生分成 2
15、 个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有( )A12 种 B10 种 C9 种 D8 种解析 分两步:第一步,选派一名教师到甲地,另一名到乙地,共有 C 2 种1 2选派方法;第二步,选派两名学生到甲地,另外两名到乙地,共有 C 6 种选派方法2 4由分步乘法计数原理,不同选派方案共有 2612(种)答案 A36 位选手依次演讲,其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲,则不同的演讲次序共有( )A240 种 B360 种 C480 种 D720 种解析 第一步先排甲,共有 A 种不同的排法;第二步再排其他人,共有 A 种1 4
16、5 5不同的排法因此不同的演讲次序共有 A A 480(种)1 45 5答案 C4从集合1,2,3,10中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列的个数为( )A3 B4 C6 D8解析 以 1 为首项的等比数列为 1,2,4;1,3,9;以 2 为首项的等比数列为 2,4,8;以 4 为首项的等比数列为 4,6,9;把这四个数列顺序颠倒,又得到 4 个数列,所求的数列共有 2(211)8(个)答案 D5集合 Px,1,Qy,1,2,其中 x,y1,2,3,9,且 PQ.把满足上述条件的一对有序整数对(x,y)作为一个点的坐标,则这样的点的个数是( )A9 B14 C15 D
17、21解析 当 x2 时,xy,点的个数为 177(个)当 x2 时,由 PQ,xy.x 可从 3,4,5,6,7,8,9 中取,有 7 种方法因此满足条件的点共有 7714(个)答案 B二、填空题6从班委会 5 名成员中选出 3 名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有_种(用数字作答)解析 第一步,先选出文娱委员,因为甲、乙不能担任,所以从剩下的 3 人中选 1 人当文娱委员,有 3 种选法第二步,从剩下的 4 人中选学习委员和体育委员,又可分两步进行:先选学习委员有 4 种选法,再选体育委员有 3 种选法由分步乘法计数原理可得,不同的选
18、法共有 34336(种)答案 37如图所示,在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中,与正八边形有公共边的三角形有_个解析 把与正八边形有公共边的三角形分为两类:第一类,有一条公共边的三角形共有 8432 个;第二类,有两条公共边的三角形共有 8 个由分类加法计数原理知,共有 32840(个)答案 4088 名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组,每组各 4 人,分别进行单循环赛,每组决出前两名,再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛,获胜者角逐冠、亚军,败者角逐第 3,4 名,大师赛共有_场比赛解析 小组赛共有 2C 场比赛;半决赛和决赛共有 224 场比赛;根据分类2 4加法计数原理共
19、有 2C 416(场)比赛2 4答案 16三、解答题9电视台在“欢乐在今宵”节目中拿出两个信箱,其中放着竞猜中成绩优秀的观众来信,甲箱中有 30 封,乙箱中有 20 封,现由主持人抽奖确定幸运观众,若先从中确定一名幸运之星,再从两箱中各确定一名幸运观众,有多少种不同结果?解 (1)幸运之星在甲箱中抽,选定幸运之星,再在两箱内各抽一名幸运观众有30292017 400 种(2)幸运之星在乙箱中抽取,有 20193011 400 种共有不同结果 17 40011 40028 800(种)10 “渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如 1 458),若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列,
20、求第 30 个“渐升数” 解 渐升数由小到大排列,形如的渐升数共有 65432121(个)形如的渐升数共有 5 个形如的渐升数共有 4 个故此时共有 215430(个)因此从小到大的渐升数的第 30 个必为 1 359.能力提升题组(建议用时:25 分钟)一、选择题1如图,一环形花坛分成 A,B,C,D 四块,现有 4 种不同的花供选种,要求在每块里种 1 种花,且相邻的 2 块种不同的花,则不同的种法总数为( )A96 B84 C60 D48解析 可依次种 A,B,C,D 四块,当 C 与 A 种同一种花时,有12134135431336 种种法;当 C 与 A 所种花不同时,有 43224
21、8 种种法由分类加法计数原理,不同的种法种数为 364884.答案 B2在某种信息传输过程中,用 4 个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息若所用数字只有 0 和 1,则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( )A10 B11 C12 D15解析 若 4 个位置的数字都不同的信息个数为 1;若恰有 3 个位置的数字不同的信息个数为 C ;若恰有 2 个位置上的数字不同的信息个数为 C .3 42 4由分类加法计数原理知满足条件的信息个数为 1C C 11.3 42 4答案 B二、填空题3如图所示,在 A、B 间有四个焊接点,若焊接点脱落,则可
22、能导致电路不通,今发现 A、B 之间线路不通,则焊接点脱落的不同情况有_种解析 四个焊点共有 24种情况,其中使线路通的情况有:1、4 都通,2 和 3 至少有一个通时线路才通共有 3 种可能故不通的情况有 24313(种)可能答案 13三、解答题4用 n 种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图所示),要求在 A,B,C,D 四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色(1)若 n6,为着色时共有多少种不同的方法?(2)若为着色时共有 120 种不同的方法,求 n.解 (1)分四步:第 1 步涂 A 有 6 种不同的方法,第 2 步涂 B 有 5 种不同的方法,第 3 步涂 C 有 4 种不同
23、的方法,第 4 步涂 D 有 4 种不同的方法根据分步乘法计数原理,共有 6544480 种不同的方法(2)由题意,得 n(n1)(n2)(n3)120,注意到 nN*,可得 n5.学生用书第 173 页第 2 讲 排列与组合最新考纲1理解排列、组合的概念2能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式3能解决简单的实际问题.知 识 梳 理1排列与组合的概念名称定义排列按照一定的顺序排成一列组合从 n 个不同元素中取出 m(mn)个不同元素合成一组2.排列数与组合数(1)从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同排列的个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数(2)从 n 个不
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