专题08 平面向量(教学案)-2018年高考理数二轮复习精品资料(解析版).doc
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1、高考侧重考查正、余弦定理与其他知识(如三角函数、平面向量等)的综合应用,试题一般为中档题,各种题型均有可能出现预测 2018 年高考仍将以正、余弦定理的综合应用为主要考点,重点考查计算能力及应用数学知识分析、解决问题的能力1向量的基本概念(1)既有大小又有方向的量叫做向量(2)零向量的模为 0,方向是任意的,记作 0.(3)长度等于 1 的向量叫单位向量(4)长度相等且方向相同的向量叫相等向量(5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量,也叫共线向量零向量和任一向量平行2共线向量定理向量 a(a0)与 b 共线,当且仅当存在唯一一个实数 ,使 ba.3平面向量基本定理如果 e1、e2是同一平面内的
2、两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a,有且只有一对实数1、2,使 a1e12e2.4两向量的夹角已知两个非零向量 a 和 b,在平面上任取一点 O,作a,b,则AOB(0180)叫作 aOAOB与 b 的夹角5向量的坐标表示及运算(1)设 a(x1,y1),b(x2,y2),则ab(x1x2,y1y2),a(x1,y1)(2)若 A(x1,y1),B(x2,y2),则(x2x1,y2y1)AB6平面向量共线的坐标表示已知 a(x1,y1),b(x2,y2),当且仅当 x1y2x2y10 时,向量 a 与 b 共线7平面向量的数量积设 为 a 与 b 的夹角(1)定义:ab|a|b|
3、cos.(2)投影:|a|cos 叫做向量 a 在 b 方向上的投影ab|b|8数量积的性质(1)abab0;(2)当 a 与 b 同向时,ab|a|b|;当 a 与 b 反向时,ab|a|b|;特别地,aa|a|2;(3)|ab|a|b|;(4)cos.ab|a|b|9数量积的坐标表示、模、夹角已知非零向量 a(x1,y1),b(x2,y2)(1)abx1x2y1y2;(2)|a|;x2 1y2 1(3)abx1x2y1y20;(4)cos.x1x2y1y2x2 1y2 1 x2 2y2 2【误区警示】1两向量夹角的范围是0,ab0 与a,b为锐角不等价;ab0 与a,b为钝角不等价2点共线
4、和向量共线,直线平行与向量平行既有联系又有区别学科#网3a 在 b 方向上的投影为,而不是.ab|b|ab|a|4若 a 与 b 都是非零向量,则 ab0a 与 b 共线,若 a 与 b 不共线,则 ab00.考点一考点一 平面向量的概念及运算平面向量的概念及运算例 1 【2017 课标 1,理 13】已知向量 a,b 的夹角为 60,|a|=2,|b|=1,则| a +2 b |= .【答案】2 3所以.|2 |122 3ab【变式探究】(2016高考全国甲卷)已知向量 a(m,4),b(3,2),且 ab,则 m_.解析:基本法:ab,ab即(m,4)(3,2)(3,2)Error!故 m
5、6.速解法:根据向量平行的坐标运算求解:a(m,4),b(3,2),abm(2)4302m120,m6.答案:6【变式探究】(1)已知点 A(0,1),B(3,2),向量(4,3),则向量( )ACBCA(7,4) B(7,4)C(1,4) D(1,4)答案:A【举一反三】向量的三角形法则要保证各向量“首尾相接”;平行四边形法则要保证两向量“共起点”,结合几何法、代数法(坐标)求解(2)设 D,E,F 分别为ABC 的三边 BC,CA,AB 的中点,则( )EBFCA. B.AD12ADC. D.BC12BC解析:基本法一:设a,b,则 ba, ab,从而ABACEB12FC12EBFC(12
6、ba) (ab),故选 A.(12ab)12AD基本法二:如图, ()EBFCECCBFBBCECFB12ACAB 2.12ADAD答案:A考点二考点二 平面向量数量积的计算与应用平面向量数量积的计算与应用例 2 【2017 天津,理 13】在中,.若,ABC60A 3AB 2AC 2BDDC ,且,则的值为_.()AEACABR 4AD AE 【答案】 3 11【变式探究】(2016高考全国丙卷)已知向量,则ABC( )BA(12,32)BC(32,12)A30 B45C60 D120解析:基本法:根据向量的夹角公式求解,|1,|1, ,BA(12,32)BC(32,12)BABCBABC1
7、232321232cosABCcos, .BABCBABC|BA|BC|320, 180,ABC, 30.BABCBABC速解法:如图,B 为原点,则 A(12,32)ABx60,CCBx30,ABC30.(32,12)答案:A【变式探究】(1)向量 a(1,1),b(1,2),则(2ab)a( )A1 B0C1 D2答案:C【举一反三】当向量以几何图形的形式(有向线段)出现时,其数量积的计算可利用定义法;当向量以坐标形式出现时,其数量积的计算用坐标法;如果建立坐标系,表示向量的有向线段可用坐标表示,计算向量较简单(2)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则_.AEBD解
8、析:基本法:以、为基底表示和后直接计算数量积ABADAEBD,AEAD12ABBDADAB()AEBD(AD12AB)ADAB|2 |222 222.AD12AB12速解法:(坐标法)先建立平面直角坐标系,结合向量数量积的坐标运算求解如图,以 A 为坐标原点,AB 所在的直线为 x 轴,AD 所在的直线为 y 轴,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),D(0,2),E(1,2),(1,2),(2,2),AEBD1(2)222.AEBD答案:2考点三考点三 平面向量的综合应用平面向量的综合应用例 3、 【2017 课标 3,理 12】在矩形 ABCD 中,AB=1,AD=2,动点 P
9、 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上.若= +,则+的最大值为AP AB ADA3B2CD225【答案】A【解析】如图所示,建立平面直角坐标系【举一反三】 【2017 江苏,16】 已知向量(cos ,sin ),(3,3),0,.xxxab(1)若 ab,求 x 的值;(2)记,求的最大值和最小值以及对应的的值.( )f x a b( )f xx【答案】 (1)(2)时,取得最大值,为 3; 时,取得最小值,为5 6x 0x f x5 6x f x.2 3(2). cos ,sin3,33cos3sin2 3cos6f xa bxxxxx因为,所以,0,x 7,666x从而.31cos
10、62x 于是,当,即时, 取到最大值 3; 66x0x f x当,即时, 取到最小值.学科#网 6x5 6x f x2 31.【2017 课标 3,理 12】在矩形 ABCD 中,AB=1,AD=2,动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上.若= +,则+的最大值为AP AB ADA3B2CD225【答案】A【解析】如图所示,建立平面直角坐标系设 0,1 ,0,0 ,2,1 ,ABDP x y根据等面积公式可得圆的半径是,即圆的方程是 2 522425xy,若满足,1 ,0, 1 ,2,0APx yABAD APABAD 即 , ,所以,设 ,即,2 1x y ,12xy 12xy1
11、2xzy102xyz 点在圆上,所以圆心到直线的距离,即 ,解得,,P x y22425xydr221514z 13z所以的最大值是 3,即的最大值是 3,故选 A。z2.【2017 北京,理 6】设 m,n 为非零向量,则“存在负数,使得”是“”的mn0m n(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件【答案】A3.【2017 课标 II,理 12】已知是边长为 2 的等边三角形,P 为平面 ABC 内一点,则ABC的最小是( )()PAPBPC A. B. C. D.23 24 31【答案】B【解析】如图,以为轴, 的垂直平分线为轴, 为坐标
12、原点建立平面直角坐标系,BCxBCDAyD则, , ,设,所以, , 0, 3A1,0B 1,0C,P x y, 3PAxy 1,PBxy ,所以, 1,PCxy 2 , 2PBPCxy 2222322(PAPBPCxyyxy ,当时,所求的最小值为,故选 B2333)222 30,2P 3 24.【2017 课标 1,理 13】已知向量 a,b 的夹角为 60,|a|=2,|b|=1,则| a +2 b |= .【答案】2 35.【2017 天津,理 13】在中,.若,ABC60A 3AB 2AC 2BDDC ,且,则的值为_.()AEACABR 4AD AE 【答案】 3 11【解析】 ,
13、则0123 2 cos603,33AB ACADABAC .1221233493433333311AD AEABACACAB 6.【2017 山东,理 12】已知12,e e是互相垂直的单位向量,若123ee与12ee的夹角为60,则实数的值是 .【答案】3 37【2017 浙江,15】已知向量 a,b 满足则的最小值是_,最大1,2, ababab值是_【答案】4,2 5【解析】设向量的夹角为,由余弦定理有: , a b,22122 1 2 cos54cosab ,则:22122 1 2 cos54cosab ,54cos54cosabab令,则,54cos54cosy22102 25 16
14、cos16,20y据此可得: ,maxmin202 5,164abababab即的最小值是 4,最大值是abab2 58.【2017 浙江,10】如图,已知平面四边形 ABCD,ABBC,ABBCAD2,CD3,AC 与 BD交于点 O,记,则1IOAOB 2IOBOC 3IOC OD A BC D321III231III213III312III【答案】C【解析】因为, , ,所以90AOBCOD OAOCOBOD,故选 C。学科#网0OB OCOA OBOC OD 9.【2017 江苏,12】如图,在同一个平面内,向量,的模分别为 1,1,与的夹角为OA OB OC2 OA OC,且 tan
15、=7,与的夹角为 45.若, 则 .OB OCOCmOAnOB ( ,)m nRmn A C BO(第 12 题) 【答案】3 10.【2017 江苏,16】 已知向量(cos ,sin ),(3,3),0,.xxxab(1)若 ab,求 x 的值;(2)记,求的最大值和最小值以及对应的的值.( )f x a b( )f xx【答案】 (1)(2)时,取得最大值,为 3; 时,取得最小值,为5 6x 0x f x5 6x f x.2 3(2). cos ,sin3,33cos3sin2 3cos6f xa bxxxxx因为,所以,0,x 7,666x从而.31cos62x 于是,当,即时, 取
16、到最大值 3; 66x0x f x当,即时, 取到最小值. 6x5 6x f x2 31.【2016 高考新课标 2 理数】已知向量(1,)(3, 2)am a,=,且()abb+,则m ( )(A)8 (B)6 (C)6 (D)8【答案】D【解析】向量ab(4,m2) ,由(ab)b 得4 3(m2) ( 2)0 ,解得m8,故选 D.2.【2016 高考江苏卷】如图,在ABC中,D是BC的中点,,E F是,A D上的两个三等分点,4BC CA ,1BF CF ,则BE CE 的值是 . 【答案】7 83.【2016 年高考四川理数】在平面内,定点 A,B,C,D 满足DA =DB =DC
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