西北工业大学2005至2006学年第一学期线性代数考试试题.pdf
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1、西北工业大学西北工业大学 20052005 至至 20062006 学年第一学期线性代数考试试题学年第一学期线性代数考试试题(2005.11 2005.11)一、选择填空、计算填空、回答问题(21 分):1 设 2 不是方阵的特征值,则齐次线性方程组()(1)有非零解;(2)没有非零解;(3)不能确定是否有非零解2 设(1)是实对称矩阵,则()的特征值不一定是实数;(2)使得的特征值一定是正数;(3)存在可逆矩阵3 设方阵满足为对角矩阵,则()4 已知线性方程组取值为()5 设6 将为矩阵实矩阵,且的第 列的有两个不同的解向量,则数的为对称正定矩阵,则倍加到的第 3 列()得到矩阵,那么,其中
2、矩阵7 设(1)(2)(3)为阶方阵,则为不可逆矩阵的 3 个充分必要条件分别是:二、(9 分)计算行列式三、(10 分)设其中表示单位矩阵,求矩阵使满足,四、(10 分)根据数的取值情况,求向量组,的秩和最大无关组(每种情况求一个最大无关组即可)(每种情况求一个最大无关组即可)五、(10 分)设向量组证明向量组,线性无关线性无关,令六、(15 分)设程组表示)表示),,讨论 取何值时线性方有解、无解,并在有无穷多解时求其通解(要求用向量形式(要求用向量形式七、(10 分)在向量空间中,基(),;基(),设,在基()和基(),且;下的坐标分别为(1)求由基()改变为基()的过渡矩阵(2)求基(
3、);(3)判断是否存在非零向量,使得的坐标满足八、(15 分)已知二次型化为 标准形经过正交变换(1)求参数(2)求方程的值及所用的正交变换;(要求写出正交变换的矩阵)(要求写出正交变换的矩阵)的解西北工业大学西北工业大学 2005-20062005-2006 学年第一学期线性代数考试试题答案学年第一学期线性代数考试试题答案一、1.(2)2.(3)3.4.5.6.二、7.三、方程,于是右乘得,即。可求得故四、当当五、设因为,时,时,。,令,即线性无关,所以,向量组的秩为 2,最大无关组为,向量组的秩为 3,最大无关组为;,则有(*),从而,故线性无关。,由此可得(*)只有零由此可得 注注 齐次方程组(*)的系数行列式解。证法证法 2 2 可导出也即六、当当时,线性无关。与等价,从而秩,时,方程组有惟一解;,方程组有无穷多解,且通解为当时,方程组无解。七、(1)坐标变换公式为,从而基变换公式为故由基()到基()的过渡矩阵为(2)由得,(3)由于零向量。,又有,从而,所以,故,即,;但的非,即不存在 坐标满足八、(1)二次型的矩阵,于是 4,0,b是的特征值。利用,(正交)相似于解得于是特征向量分别为,。可求得对应特征值 4,0,9 的,故正交变换的矩阵为(2)由得,故
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