全国高中数学联赛试卷.pdf
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1、全国高中数学联赛试卷(2011)第一试一、填空题(每小题一、填空题(每小题 8 8 分,共分,共 6464 分)分)1 设集合A a,a,a,a,若A中所有三元子集的三个1234元 素 之 和 组 成 的 集 合 为A B 1,3,5,8,则 集 合2函数f(x)x 1x 12的值域为1a1b 223 设a,b为 正 实 数,l o g b a,(a b)2 4(ab)3,则4如果cos5 sin 7(sin cos)533,0,2),那么的取值范围是5 现安排 7 名同学去参加 5 个运动项目,要求甲、乙两同学不能参加同一个项目,每个项目都有人参加,每人只参加一个项目,则满足上述要求的不同安
2、排方案数为(用数字作答)6在四面体AD BD 3A B C D中,已知ADB BDCABCD CDA 60,CD 2,则 四 面 体的 外 接 球 的 半 径交于A,B两点,C为抛C为7直线x 2 y 1 0与抛物线y物 线 上 的 一 点,2 4xACB 90,则 点的 坐 标为8已知aC6n3200 nn2001(n 1,2,95)2n,则数列a 中整数n项的个数为二、解答题(本大题共二、解答题(本大题共 3 3 小题,共小题,共 5656 分)分)9(16 分)设函数f(x)|lg(x 1)|,实数a,b(a b)满足f(a)f(b 1b 2),f(10a 6b 21)4 lg 2,求a
3、,b的值n1n 1n10(20 分)已知数列a 满足:a 2t 3(t R R 且t 1),(2t 3)a 2(t 1)t 1a(n N N)a 2t 1n*n 1nn(1)求数列a 的通项公式;n(2)若t 0,试比较a与a的大小n1n11(本小题满分 20 分)作斜率为1的直线l与椭3圆C:36x2y24 1交于A,B两点(如图所示),yPOAxB且P(32,2)在直线l的左上方(1)证明:PAB的内切圆的圆心在一条定直线上;(2)若APB 60,求PAB的面积解答13,0,2,6.提示:显然,在A的所有三元子集中,每个元素均出现了 3 次,所以3(a故a11 a2 a3 a4)(1)3
4、5 8 15,a2 a3 a4 5,于是集合A的四个元素分别为 5(1)6,532,550,583,因此,集合A 3,0,2,622(1,)2(,.提示:设x tan,22,且4,11cos则f(x)tan1sin cos12 sin(224 设u)2(n is4),则2 u 1,且u 0,所以f(x)1u(,(1,)2ab13-1.提示:由1 22,得a b 2ab(a b)2又 8(ab)2 4ab (a b)2 4ab 4(ab)4 2ab(ab)33,即a b 22aba b 22ab于是再由不等式中等号成立的条件,得ab 1 与联a 立解得b a 或b 2 1,2 1,2 1,2 1
5、,故logab 154 44,54.提示:不等式cos等价于sin3 sin 7(sin cos)533173sin cos175317cos5.54又f(x)xx5是(,)上的增函数,所以sin cos,故2k4 2k(k Z Z)因为 0,2),所以的取值范围是4,54515000.提示:由题设条件可知,满足条件的方案有两种情形:(1)有一个项目有 3 人参加,共有C方案;(2)有 两 个 项 目 各 有 2 人 参 加,共 有12(C7C5)5!C55!11400222375!C55!36001种种方案;15000所以满足题设要求的方案数为3600 1140063.提示:设四面体ABCD
6、的外接球球心为O,则O在过ABD的外心N且垂直于平面ABD的垂线上由题设知,ABD是正三角形,则点N为ABD的中心设P,M分别为AB,CD的中点,则N在DP上,且ON DP,OM CD因为CDA CDB ADB 60,设CD与平面ABD所成角为,可求得cos13,sin2323 DP 23323 3C在DMN中,DM由余弦定理得MN212CD 1,DN DMOBNAP 1(3)2 13 2213 2,故MN 2四边形DMON的外接圆的直径OD MNsin2233故球O的半径R 3,由7(1,2)或(9,6)提示:设A(x,y),B(x,y),C(tx 2 y 1 0,得y 8 y 4 0,则y
7、 y 8,y y 4y 4x,112222,2t)21212又x1 2 y11,x2 2 y21,所以x1 x2 2(y1 y2)2 18,x1 x2 4 y1 y2 2(y1 y2)1 1,因为ACB 90,所以CA CB 0,即有(t x1)(t x2)(2t y1)(2t y2)022即t即t4(x1 x2)t x1 x2 4t 2(y1 y2)t y1 y2 014t16t 3 0222,则点C在直线x 2 y 1 04,即(t2 4t 3)(t 4t 1)02显然t2 4t 1 0,否则t2 2 2t 1 0上,从而点C与点A或点B重合所以tt1 1,t2 32 4t 3 0,解得故
8、所求点C的坐标为(1,2)或(9,6)200 nn200400 5 n815.提示:aCn33 26要使an(1 n 95)为整数,必有2003 n,4006 5n均为整数,从而6|n 4当n 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80 时,200 n3和4006 5n均为非负整数,所以a为整数,共有 14 个n当n 86时,aC8686200338 25,在 C86200200!86!114!中,200!中因数,2 的个数为 200 200 200 200 200 200 200 234567 1972222222同理可计算得86!中因数 2 的个数为 8
9、2,114!中因数 2 的个数为 110,所以 C 中因数 2 的个数为197 82 110 5,故86200a86是整数当n 92时,aC9292200336 210,在 C92200200!92!108!中,同样可求得92!中因数 2 的个数为 88,108!中因数 2 的个数为 105,故 C 中因数 2 的个数为197 88 105 4,故a不是整数8620092因此,整数项的个数为14 1 15 19因为f(a)f(bb),所以2|lg(a 1)|lg(b 1b 2 1)|lg(1b 2)|lg(b 2)|,所以a 1 b 2或(a 1)(b 2)1,又因为a b,所以a 1 b 2
10、,所以(a 1)(b 2)1又由f(a)|lg(a 1)|有意义知0 a 1,从而0 a 1 b 1 b 2,10b 2于是0 a 1 1 b 2 所以(10 a 6b 21)1 10(a 1)6(b 2)6(b 2)b10 1 2从而f(10 a 6b 21)|lg 6(b 2)10b 2|lg 6(b 2)又f(10a 6b 21)4 lg 2,所以lg 6(b 2)b10 4 lg 2,21故6(b 2)b10 16解得b 或b 1(舍去)232把b 1代入(a 1)(b 2)1解得a 所以35a 11,b 53210(1)由原式变形得an 1 1tn 1an 12(tn 1 1)(an
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