欧几里德算法扩展33131.pdf
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1、欧几里德算法扩展 欧几里德算法又叫辗转相除法,它是一种计算最大公约数的计算方法,也是大学数学中最基本的算法之一。它由古希腊数学家欧几里得提出,相传欧几里得在认识该算法的过程中付出了极大的努力,最终便继而成功了。此算法有着较高的普遍适用性,因此其实非常有价值,用于计算两个以上的数字的最大公约数,或多个多项式的最大公因子等等。欧几里得算法是根据两个正整数 a 和 b 的辗转相除运算,它决定了最大公约数是 a 和b 的最小公倍数。换言之,欧几里得算法可以解决以下问题:求解两个正整数有多少个公约数,也可以给出两个正整数的最大公因子,即最大公约数。欧几里得算法是一种以递归的形式来解决最大公约数问题的算法
2、。它的基本思想是,从 a,b 中选择一个小的数,将其作为商,另一个数作为结果;如果该结果正好等于 1,则a 和 b 的最大公约数就是 a 或 b,否则,就将 a 和 b 通过经过简单的加减乘除运算得到新的一对数,并以此重复上述过程,直到总能将结果缩小到 1,此时最大公约数就是 1 前面的那个数。欧几里得算法扩展也就是对欧几里得算法的改进,有弗洛伊德算法、仲普勒算法和拉格朗日算法,它们都是将欧几里得算法和其他算法进行整合,使之更加完善。弗洛伊德算法是以欧几里得算法的基础上继续往后发展的,它可以将两个数的同余方程、基数转换等作为前提条件,将两个模长相等的数字的最大公约数求解。它允许多项式求解模长,
3、而不需求解线性同余式。它称为弗洛伊德算法,因为它是由著名的德国数学家弗洛伊德发明的。仲普勒算法是以弗洛伊德算法为基础而开发出来的一种新算法,也是一种改进欧几里得算法。它解决了弗洛伊德算法找不出数学最小公倍数的单位的问题,使最小公倍数的运算变成比较容易的除法形式,以及通过引入扩展余因数来改进耗时。此外还有拉格朗日算法,它是弗洛伊德算法前身之一,也是改进欧几里得算法的一种算法。它采用了拉格朗日变换的方法,寻找出两个数最大公约数的最小倍数,并将最大公约数的求解变为余式的计算,以提高计算效率。欧几里得算法改进的三个算法,弗洛伊德算法、仲普勒算法和拉格朗日算法,从不同的角度来改进欧几里得算法,推进计算智能的发展,并带来实用性价比更高的方法。对于弗洛伊德算法而言,它通过改进模运算和同余方程来减少运算量;对于仲普勒算法而言,它可以提高计算和减少线性同余式的求解耗时;对于拉格朗日算法而言,它采用了拉格朗日变换的方法,将最大公约数的求解变为余式的计算,以提高计算效率。
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