同济高等数学.pptx
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1、1.集合v集合 集合是指具有某种特定性质的事物的总体.集合可用大写的字母A,B,C,D 等标识.v元素 组成集合的事物称为集合的元素.集合的元素可用小写的字母a,b,c,d 等标识.a是集合M的元素记为aM,读作a属于M.a不是集合M的元素记为aM,读作a不属于M.一、集合下页第1页/共48页v集合的表示列举法 把集合的全体元素一一列举出来.例如Aa,b,c,d,e,f,g.描述法 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成,则M可表示为 Mx|x具有性质P.例如M(x,y)|x,y为实数,x2y21.下页第2页/共48页v几个数集 所有自然数构成的集合记为N,称为自然数集.所有实数构
2、成的集合记为R,称为实数集.所有整数构成的集合记为Z,称为整数集.所有有理数构成的集合记为Q,称为有理集.v子集 如果集合A的元素都是集合B的元素,则称A是B的子集,记为AB(读作A包含于B).AB若xA,则xB.显然,NZ,ZQ,QR.下页第3页/共48页 设A、B是两个集合,则 ABx|xA或xB称为A与B的并集(简称并).ABx|xA且xB称为A与B的交集(简称交).ABx|xA且xB称为A与B的差集(简称差).ACIAx|xA为称A的余集或补集,其中I为全集.提示:如果研究某个问题限定在一个大的集合I中进行,所研究的其他集合A都是I的子集.则称集合I为全集或基本集.下页第4页/共48页
3、v集合运算的法则 设A、B、C为任意三个集合,则有 (1)交换律 ABBA,ABBA;(2)结合律(AB)CA(BC),(AB)CA(BC);(3)分配律(AB)C(AC)(BC),(AB)C(AC)(BC);(4)对偶律(AB)CACBC,(AB)CACBC.(AB)CACBC的证明下页所以(AB)CACBC.xACBC,xAC且xBCxABxA且xB x(AB)C第5页/共48页v直积(笛卡儿乘积)设A、B是任意两个集合,则有序对集合 AB(x,y)|xA且yB称为集合A与集合B的直积.例如,RR(x,y)|xR且yR 即为xOy面上全体点的集合,RR常记作R2.下页第6页/共48页 数集
4、x|axb称为开区间,记为(a,b),即(a,b)x|axb.a,bx|axb闭区间.a,b)x|axb半开区间,(a,bx|axb半开区间.v有限区间 上述区间都是有限区间,其中a和b称为区间的端点,ba 称为区间的长度.下页3.区间和邻域 第7页/共48页 (,b x|xb,(,)x|x|.a,)x|ax,v无限区间 (,b)x|xb,(a,)x|a0,则称 U(a,)(a,a)x|xa|为点a的邻域,其中点a称为邻域的中心,称为邻域的半径.v去心邻域U(a,)x|0|xa|下页第22页/共48页v单值函数与多值函数 在函数的定义中,对每个xD,对应的函数值y总是唯一的,这样定义的函数称为
5、单值函数.如果给定一个对应法则,按这个法则,对每个xD,总有确定的y值与之对应,但这个y不总是唯一的,我们称这种法则确定了一个多值函数.例如,由方程x2y2r2确定的函数是一个多值函数:下页 此多值函数附加条件“y0”后可得到一个单值分支 第23页/共48页下页 表示函数的主要方法有三种:表格法、图形法、解析法(公式法).用图形法表示函数是基于函数图形的概念,坐标平面上的点集 P(x,y)|yf(x),xD称为函数yf(x),xD的图形.v函数的表示法第24页/共48页 此函数称为绝对值函数,其定义域为D(,+),其值域为Rf 0,+).例6 例5 函数 y2.这是一个常值函数,其定义域为D(
6、,),其值域为Rf 2.下页v函数举例 第25页/共48页 此函数称为符号函数,其定义域为D(,+),其值域为Rf 1,0,1.例8 函数yx.例7 下页注:设x为任上实数,不超过x的最大整数称为x的整数部分,记作x.此函数称为取整函数,其定义域为D(,+),其值域为Rf Z.第26页/共48页 例9 此函数的定义域为D0,1(0,)0,).f(3)134.v分段函数 在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数.下页第27页/共48页 设函数f(x)的定义域为D,数集XD.如果存在数K1,使对任一xX,有f(x)K1,则称函数f(x)在X上有上界.(1)函数的有界性
7、如果存在数K2,使对任一xX,有f(x)K2,则称函数f(x)在X上有下界.如果存在正数M,使对任一xX,有|f(x)|M,则称函数f(x)在X上有界;如果这样的M不存在,则称函数f(x)在X上无界.下页第28页/共48页 f(x)sin x在(,+)上是有界的:|sin x|1.所以函数无上界.下页函数的有界性举例 第29页/共48页 设函数yf(x)在区间I上有定义,x1及x2为区间I上任意两点,且x1x2.如果恒有f(x1)f(x2),则称f(x)在I上是单调减少的.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.下页第30页/共48页 设函数f(x)的定义域D关于原点对称,如果在D上有f(x)
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