上海交通大学流体力学第一章课件复习课程.ppt
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1、上海交通大学流体力学第一章上海交通大学流体力学第一章课件件C1.2 流体平衡微分方程流体平衡微分方程C1.2.1 欧拉平衡方程欧拉平衡方程由由N-S 方程方程 可得可得欧拉平衡方程欧拉平衡方程常数时,直接求解常数时,直接求解,联立求解,联立求解压强分布压强分布体积力体积力压强梯度压强梯度00C1.2.1 1.2.1 欧拉平衡方程欧拉平衡方程(2-1)(2-1)u=v=w=0 ,对静止流体对静止流体 C1.1 1.1 引言引言(工程背景工程背景)C1.2.1 1.2.1 欧拉平衡方程欧拉平衡方程(2-2)(2-2)由欧拉平衡方程由欧拉平衡方程称为称为压强全微分式压强全微分式,表示体积力在任何方向
2、,表示体积力在任何方向 的投影的投影为该方向的压强增量。为该方向的压强增量。设密度分别为设密度分别为1 和和2 的两种互不相混的液体放在同一容器中,试证明当的两种互不相混的液体放在同一容器中,试证明当它们处于平衡状态时其分界面必为等压面。它们处于平衡状态时其分界面必为等压面。例例C1.2.2C1.2.2 两种液体的分界面:等压面两种液体的分界面:等压面 解:解:在分界面上任取相邻在分界面上任取相邻 d r 的两点的两点 A 和和 B,dp=pA-pB 。对液体对液体1 1d p=1(fx d x+fy d y+fz d z)d p=2(fx d x+fy d y+fz d z)对液体对液体2
3、2两式分别除以两式分别除以1 和和2,再相减可得,再相减可得 由于由于12,要使上式成立,要使上式成立,只有只有dp=0,证明分界面必为等压面。,证明分界面必为等压面。讨论:讨论:当容器以恒角速度绕中轴旋转,两种液体均处于相对平衡状态当容器以恒角速度绕中轴旋转,两种液体均处于相对平衡状态时其分界面也是等压面。时其分界面也是等压面。ABC1.2.2 等压面等压面沿等压面沿等压面 压强增量为零,即压强增量为零,即 。或。或称为称为等压面微分方程式等压面微分方程式,上式表明,上式表明体积力处处与等压面垂直。体积力处处与等压面垂直。静止流体中等压面为水平面静止流体中等压面为水平面;绕垂直轴旋转的流体中
4、,等绕垂直轴旋转的流体中,等压面为旋转抛物面。压面为旋转抛物面。C1.2.2 C1.2.2 等压面等压面C1.2.3 流体平衡的条件流体平衡的条件 即即体积力必须有势体积力必须有势:为势函数为势函数上式成立的充分必要条件是上式成立的充分必要条件是1.对均质流体,对均质流体,=常数常数,压强全微分式化为压强全微分式化为重力是有势力重力是有势力 因此均质流体在重力场中能保持平衡状态。因此均质流体在重力场中能保持平衡状态。C1.2.3 流体平衡的条件流体平衡的条件(2-1)C1.2.3 流体平衡的条件流体平衡的条件(2-2)2.对正压流体,对正压流体,=(p)引入一个压强函数引入一个压强函数 上式成
5、立的充要条件也是上式成立的充要条件也是体积力必须有势体积力必须有势。因此正压流体在。因此正压流体在重力场中也能保持平衡状态。重力场中也能保持平衡状态。3.对斜压流体对斜压流体=(p,T),可以证明不能在重力场中保持平,可以证明不能在重力场中保持平衡。如赤道和极地的大气,大范围的海水等。衡。如赤道和极地的大气,大范围的海水等。均质流体(如淡水)和正压流体(如等温的空气)在平均质流体(如淡水)和正压流体(如等温的空气)在平衡时,等压面、等势面、等密度面三者重合:衡时,等压面、等势面、等密度面三者重合:例例C1.2.3 C1.2.3 贸易风:流体平衡条件贸易风:流体平衡条件 大气满足完全气体状态方程
6、大气满足完全气体状态方程 p=RT(B1.4.5)差悬殊,由(差悬殊,由(B1.4.5)式相应的密度不相同,因此大气密度除了沿高度)式相应的密度不相同,因此大气密度除了沿高度变化外还随地球纬度改变而改变,等压面与等密度面(虚线)不重合变化外还随地球纬度改变而改变,等压面与等密度面(虚线)不重合(见右图),造成大气层的非正压性,不满足流体平衡条件。见右图),造成大气层的非正压性,不满足流体平衡条件。设在赤道和北极地区离地面相同高度处压强相设在赤道和北极地区离地面相同高度处压强相同,但由于太阳光照射强度不同,两处温度相同,但由于太阳光照射强度不同,两处温度相 形成在赤道处大气自下向上,然后在高空自
7、赤道流向北极;在北形成在赤道处大气自下向上,然后在高空自赤道流向北极;在北极大气自上向下,最后沿洋面自北向南吹的大气环流。通常将沿洋面极大气自上向下,最后沿洋面自北向南吹的大气环流。通常将沿洋面自北向南吹的风称为贸易风。自北向南吹的风称为贸易风。用于静止流体用于静止流体上式适用于全流场,表示总势能守恒。若写成上式适用于全流场,表示总势能守恒。若写成表示总水头保持不变。表示总水头保持不变。(a),(b)式均称为式均称为流体静力学基本方程流体静力学基本方程。适用条件:连通的。适用条件:连通的同种均质重力流体。同种均质重力流体。将伯努利方程将伯努利方程C1.3 流体静力学基本方程流体静力学基本方程(
8、a)(b)C1.3 1.3 流体静力学基本方程流体静力学基本方程(2-1)(2-1)流体静力学基本方程的常用形式为流体静力学基本方程的常用形式为 说明两点的说明两点的测压管水头相等测压管水头相等。C1.3 1.3 流体静力学基本方程流体静力学基本方程(2-2)(2-2)当当 保持不变时,保持不变时,改变引起改变引起 同时改变,这就是帕斯卡原理同时改变,这就是帕斯卡原理.C1.4 均质液体相对平衡均质液体相对平衡当液体以等加速度当液体以等加速度a 作直线运动或以等角速度(向心加速度作直线运动或以等角速度(向心加速度 )旋转并达到稳定时,液体象刚体一样运动,旋转并达到稳定时,液体象刚体一样运动,N
9、-S方程方程 fg 为重力。上式与欧拉平衡方程形式相同,为重力。上式与欧拉平衡方程形式相同,f=fg a 也是有势也是有势力。符合平衡条件,称为液体的力。符合平衡条件,称为液体的相对平衡相对平衡。C1.4.1 等加速直线运动等加速直线运动设液体以等加速度设液体以等加速度a 沿水平方向作直线运动沿水平方向作直线运动 1.体积力分量体积力分量f x=-a,f y=0,fz=-g C1.4 C1.4 均质液体相对平衡均质液体相对平衡(3-1)(3-1)C1.4.1 1.4.1 等加速直线运动等加速直线运动(3-2)(3-2)由压强全微分式积分得压强分布式由压强全微分式积分得压强分布式 设坐标原点在液
10、罐底部中点,设坐标原点在液罐底部中点,静静止时的液位为止时的液位为z 0,即即 x=0,z=z 0,p=p 0,,可得可得C=p 0+g z 0 压强分布式为压强分布式为2.压强分布压强分布C1.4.1 1.4.1 等加速直线运动等加速直线运动(3-3)(3-3)由由dp=(adx+gdz)=0,等压面方程为等压面方程为C不同时不同时得得一簇平行斜平面,自由液面一簇平行斜平面,自由液面(x=0,z=z 0)上上C=g z 0。设自由液面垂直坐标为设自由液面垂直坐标为z s,方程为,方程为3.等压面等压面a x+g z=C 或或代入代入压强分布式压强分布式,令,令h=zsz,可得,可得 证明在垂
11、直方向压强分布规律与静止液体一样。证明在垂直方向压强分布规律与静止液体一样。设液体以等角速度设液体以等角速度绕中心轴绕中心轴z 轴旋转轴旋转 1.体积力体积力 2.压强分布压强分布积分得积分得 设坐标原点在底部中点,自由液面最低点的坐设坐标原点在底部中点,自由液面最低点的坐 标标r=0,z=z0,压强,压强p=p0 ,可得可得C=p0+g z0 .压强分布式为压强分布式为 C1.4.2 等角速度旋转运动等角速度旋转运动 fx=2x,fy=2y,fz=g C1.4.2 1.4.2 等角速度旋转运动等角速度旋转运动(2-1)(2-1)C1.4.2 1.4.2 等角速度旋转运动等角速度旋转运动(2-
12、2)(2-2)3.等压面等压面代入压强分布式,令代入压强分布式,令h=zs-z,可得,可得 由由积分得积分得 证明在垂直方向的压强分布规律仍与静止液体中一样。证明在垂直方向的压强分布规律仍与静止液体中一样。C不同值时得一簇不同值时得一簇旋转抛物面旋转抛物面。自由液面。自由液面(r=0,z=z0)上上C=g z0。设自由液面垂直坐标为。设自由液面垂直坐标为s ,方程为方程为 例例C1.4.2 C1.4.2 匀角速度旋转运动液体的相对平衡匀角速度旋转运动液体的相对平衡(3-1)(3-1)已知已知:一封闭圆筒,高一封闭圆筒,高H=2m,半径,半径R=0.5m,注水高,注水高H0=1.5 m,压强为,
13、压强为p0=1000 N/m2。圆筒开始旋转并逐渐加速。圆筒开始旋转并逐渐加速 求求:(1)当水面刚接触圆筒顶部时的)当水面刚接触圆筒顶部时的1、pc1(中心中心)及及pw1(边缘边缘);(1)当边缘水位刚达顶部时,当边缘水位刚达顶部时,由自由面方程式由自由面方程式(2)当气体刚接触圆筒底部的当气体刚接触圆筒底部的2、pc 2 及及pw 2。解:解:建立坐标系建立坐标系Oxyz,原点原点O在底部中心,静止时在底部中心,静止时 z 0=H 0。取取 r=0.5 m,zs=2 m,z0=1 m 例例C1.4.2 C1.4.2 匀角速度旋转运动液体的相对平衡匀角速度旋转运动液体的相对平衡(3-2)(
14、3-2)pc1=p 0+g z0=1000+98071=10806 N/m2 p w1=p 0+g H=1000+98072=20612 N/m2(2)当气体接触圆筒底部时,设顶部液面线的半径为当气体接触圆筒底部时,设顶部液面线的半径为r2,由空气容积不变,由空气容积不变 例例C1.4.2 C1.4.2 匀角速度旋转运动液体的相对平衡匀角速度旋转运动液体的相对平衡(3-3)(3-3)讨讨论论:在在第第二二种种情情况况中中,若若没没有有顶盖限制,边缘水位将上升至顶盖限制,边缘水位将上升至在自由面方程中在自由面方程中z 0=0,z s=2 m,r=0.53 m C1.5 均质液体对平壁的总压力均质
15、液体对平壁的总压力1.工程工程 背景:压力容器,水坝,潜艇,活塞等;背景:压力容器,水坝,潜艇,活塞等;结构强度,安全性能,运动规律等。结构强度,安全性能,运动规律等。2.条件:均质液体,体积力为重力。条件:均质液体,体积力为重力。图示斜平壁和坐标系图示斜平壁和坐标系Oxy,O点在点在自由液面上,自由液面上,y轴沿斜平壁向下。轴沿斜平壁向下。在面积在面积A上取面元上取面元dA,纵坐标,纵坐标y,淹深为,淹深为C1.5.1 平壁总压力大小平壁总压力大小C1.5 1.5 均质流体对平壁的压力均质流体对平壁的压力(2-1)(2-1)作用在作用在dA 和和A上的总压力上的总压力 在几何上面积在几何上面
16、积A 对对x 轴的面积矩轴的面积矩 pc 为为形心压强形心压强。表明作用在面积。表明作用在面积A上上的总压力大小等于形心的总压力大小等于形心压强乘以面积压强乘以面积。yc 为面积为面积A形心的纵坐标形心的纵坐标,为淹深。为淹深。C1.5.1 C1.5.1 平壁总压力大小平壁总压力大小(2-2)(2-2)设压强中心为设压强中心为D,由力矩合成法则由力矩合成法则 C1.5.2 平壁总压力作用点平壁总压力作用点 1、积分法、积分法 总压力总压力 设面积惯性矩设面积惯性矩 可得可得C1.5.2 1.5.2 平壁总压力作用点平壁总压力作用点(4-1)(4-1)C1.5.2 1.5.2 平壁总压力作用点平
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- 上海交通大学 流体力学 第一章 课件 复习 课程
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