《复变函数》第4章说课讲解.ppt
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1、复变函数第4章1 复数项级数1.复数列的极限复级数也是研究解析函数的一个重要工具.函数的解析性等价于函数能否展成幂级数.复数列11/13/20222复变函数(第四版)第4章(2)绝对收敛与条件收敛.结论:i)ii)Th3模 11/13/20226复变函数(第四版)第4章iii)iv)11/13/20227复变函数(第四版)第4章例1.解:1)下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限.1)2)而11/13/20228复变函数(第四版)第4章解:2)例2.解:1)下列级数是否收敛?是否绝对收敛?11/13/20229复变函数(第四版)第4章解:2)(不易分实部,虚部)对正项级数原级数收敛,且为绝对收
2、敛.11/13/202210复变函数(第四版)第4章解:3)因为(莱布尼兹型交错级数)原级数收敛.条件收敛,原级数不绝对收敛.11/13/202211复变函数(第四版)第4章补例:考察解:1)下列级数的敛散性:原级数发散.而11/13/202212复变函数(第四版)第4章解:2)收敛.(公比|q|1时,显然发散.11/13/202218复变函数(第四版)第4章2.幂级数及其收敛圆一般式:取=0.11/13/202219复变函数(第四版)第4章(有与实函类似的结论)(1)(2)阿贝尔定理z0 xyO11/13/202220复变函数(第四版)第4章证11/13/202221复变函数(第四版)第4章
3、11/13/202222复变函数(第四版)第4章11/13/202223复变函数(第四版)第4章 利用阿贝尔定理,可以定出幂级数的收敛范围,对一个幂级数来说,它的收敛情况不外乎三种:i)对所有的正实数都是收敛的.这时,根据阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛.ii)对所有的正实数除z=0外都是发散的.这时,级数在复平面内除原点外处处发散.iii)既存在使级数收敛的正实数,也存在使级数发散的正实数.设z=a(正实数)时,级数收敛,z=b(正实数)时,级数发散.11/13/202224复变函数(第四版)第4章显然ab,将收敛域染成红色,发散域为蓝色.RCROabCaCbxy11/13/2022
4、25复变函数(第四版)第4章(3)1o 仅在 z=0 收敛;2o 在整个 z 平面收敛;在 1o,2o 两种情形中,称 R 为 0 和,11/13/202226复变函数(第四版)第4章总之:R 为收敛半径,则(收敛圆内部)(收敛圆外部)(收敛圆周上)11/13/202227复变函数(第四版)第4章例:收敛半径均是1.1)其一般项 zn 0,无收敛点.2)在点 z=1 发散,在其它点都收敛.在收敛圆周|z|=1 上11/13/202228复变函数(第四版)第4章3.收敛半径的求法(1)比值法:(2)根值法:例2:(P113)求下列幂级数的收敛半径11/13/202229复变函数(第四版)第4章解
5、:1)在收敛圆周|z|=1 上,R=1(p=3时的 p 原级数在收敛圆周上是处处收敛的.级数)11/13/202230复变函数(第四版)第4章解:2)在收敛圆周|z1|=1 上,解:3)11/13/202231复变函数(第四版)第4章补例:解:用比值审敛法.不能套求半径公式11/13/202236复变函数(第四版)第4章注:故 原级数收敛半径缺项级数的收敛半径时,则其收敛半径若先求出极限11/13/202237复变函数(第四版)第4章4.幂级数的运算及性质(1)加,减,乘法.由绝对收敛性,则在|z|=R 内,两级数可做即书中漏写 zn11/13/202238复变函数(第四版)第4章注意:上两式
6、的意思是|z|R 时,等号成立,而不是说右边级数的收敛半径为 R(可能大于R).(见书P115例13)11/13/202239复变函数(第四版)第4章重要的代换(复合运算)例4.解:11/13/202240复变函数(第四版)第4章从而设|ba|=R,上式右端的收敛半径 R=|b a|(方法和结论以后常用)11/13/202241复变函数(第四版)第4章(2)(3)f(z)在收敛圆可逐项求导.如何解释?而在收敛圆上至少有一个奇点;11/13/202242复变函数(第四版)第4章(4)11/13/202243复变函数(第四版)第4章3 泰勒级数我们已知:一个幂级数的和函数在它的收敛圆的内部是一个解
7、析函数.问题:任何一个解析函数是否能用幂级数表达?1.泰勒定理.设 f(z)在D 内解析,只要圆 k:|z-zo|d含于D.则 f(z)在 k 内能展成幂级数 泰勒级数其中系数 泰勒系数.且展开式唯一.11/13/202244复变函数(第四版)第4章略证:设 z 为 k 内任一点,按柯西积分公式,在圆周 k 上,有11/13/202245复变函数(第四版)第4章代入,得此等号须证(要条件)11/13/202246复变函数(第四版)第4章唯一性,注:1o2o若另有展式即如果 f(z)在zo 解析,那末使 f(z)在zo 的泰勒展开式成立的圆域的半径R就等于从zo到f(z)的距zo最近一个奇点之间
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