《向量间的线性关系》PPT课件.ppt
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1、1第二节第二节 向量间的线性关系向量间的线性关系一、一、n维向量维向量二、向量的线性关系二、向量的线性关系三、线性相关性三、线性相关性四、特殊向量组的几何意义四、特殊向量组的几何意义2一、一、n维向量维向量数域数域F上的上的n个数个数 定义定义组成的有序数组组成的有序数组,称为数域称为数域F上的一个上的一个n维向量维向量,其中其中 称为向量的第称为向量的第i个分量个分量(i=1,2,n)=a1,a2,an或或=a1,a2,anT行向量行向量列向量列向量本节中,本节中,n维向量均指维向量均指n维列向量维列向量 3 数域数域F上的全体上的全体n维列向量构成的集合记作维列向量构成的集合记作 Fn分量
2、都是分量都是0的的n维向量称为维向量称为零向量零向量,记作,记作0 向量向量称为称为n维向量维向量 的的负向量负向量,记作记作 分量全是实数分量全是实数(复数复数)的的n维向量称为维向量称为实实(复复)向量向量 向量可以看作是特殊的矩阵向量可以看作是特殊的矩阵 4例例1矩阵矩阵有有3个行向量个行向量 有有4个列向量个列向量 5 若干个维数相同的列向量若干个维数相同的列向量(或维数相同的行向量或维数相同的行向量)所构成的集合叫做所构成的集合叫做向量组向量组 由一个向量组的部分向量构成的向量组称为该由一个向量组的部分向量构成的向量组称为该 向量组的向量组的部分组部分组例如例如向量组在本课程中的重要
3、性向量组在本课程中的重要性向量组向量组 ,,称为矩阵称为矩阵A的行向量组的行向量组8设有两个设有两个n n 维向量维向量和一个实数和一个实数 k k R,R,则定义则定义 =a1,a2,anT =b1,b2,bnT(1)=ai=bi,i=1,2,n(2)+=a1+b1,a2+b2,an+bn T(3)k =ka1,ka2,kanT(4)-=(-1)=-a1,-a2,-anT(5)-=+(-1)二、向量的线性运算二、向量的线性运算9 对任何的对任何的n维向量维向量 ,及任意实数及任意实数k,l,向量向量的加法及数乘运算统称为向量的的加法及数乘运算统称为向量的线性运算线性运算.满足满足下列的八条性
4、质下列的八条性质(1)+=+(2)(+)+=+(+)(3)+0=(4)+(-)=0(5)1 =(6)k(l )=(kl)(7)k(+)=k +k (8)(k+l)=k +l 10例例2 设设 若若3维向量维向量 满足满足 试求向量试求向量 解解 由由 11三、线性相关性三、线性相关性设设 定义定义,则对任意常数则对任意常数 F,向量向量 称为这称为这s个向量的一个个向量的一个线性组合线性组合 设设 若存在常数若存在常数 使得使得 则称向量则称向量 可以表为可以表为 的线性组合的线性组合,或称或称 可由向量组可由向量组 线性表出线性表出(或或线性表示线性表示)12n维零向量维零向量0是任一是任一
5、n维向量组维向量组 例例3的线性组合的线性组合 13例例4 设设 n维单位坐标向量组为维单位坐标向量组为 则则可由可由 线性表出线性表出 14例例5向量组向量组A:1,2,s中的任一向量都可以由中的任一向量都可以由这个向量组线性表示这个向量组线性表示p已知的向量能否由一个已知的向量组线性表示?已知的向量能否由一个已知的向量组线性表示?p或者说:一个已知的向量是否可以表示为已知向量的或者说:一个已知的向量是否可以表示为已知向量的线性组合。线性组合。p如果能是否唯一?如果能是否唯一?综合:综合:26n元线性方程组元线性方程组AX=有解的充分必要条件有解的充分必要条件是向量是向量 可由其系数矩阵可由
6、其系数矩阵A的列向量组的列向量组 线性表出线性表出 定理定理向量向量 可由向量组可由向量组 线性表出线性表出的充分必要条件是的充分必要条件是 推论推论其中其中27设设 =1,1,1T,=1,3,0T,=2,4,1T 例例6试将向量试将向量 用向量用向量 与与 线性表出线性表出28向量组的线性相关与线性无关的概念向量组的线性相关与线性无关的概念对于向量组对于向量组 1 1,2 2,s s如果存在如果存在不全为零的数不全为零的数 k k1 1,k,k2 2,k,ks s,使得使得则称这个则称这个向量组线性相关向量组线性相关 否则称这个否则称这个向量组线性无关向量组线性无关k1 1+k2 2+ks
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