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1、第第11章章 多元函数微分法多元函数微分法11-0 平面及其方程平面及其方程.二次曲面二次曲面知识逻辑关系图二次曲面曲面方程定义曲面交线为空间曲线一般式方程几种常见曲面方程空间曲线投影截痕法空间曲线参数式方程曲面围成的空间区域在坐标面投影二次曲面定义柱面坐标如何表示空间区域球面坐标如何表示空间区域重点:常见曲面方程难点:曲面围成的空间区域在坐标面投影复习:复习:1、平面一般式方程、平面一般式方程 2、直线方程一般式方程、直线方程一般式方程求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的化简得即引例引例:解解:设轨迹上的动点为轨迹方程.一、二次曲面一、二次曲面定义定义.如果曲面 S 与
2、方程 F(x,y,z)=0 有下述关系:(1)曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;则 F(x,y,z)=0 叫做曲面曲面 S 的的方程方程,曲面 S 叫做方程 F(x,y,z)=0 的图形图形.(2)不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,故所求方程为 求动点到定点特别,当M0在原点时,球面方程为 设轨迹上动点为即依题意距离为 R 的轨迹表示上(下)球面.(一)球面(一)球面例例.研究方程解解:配方得此方程表示:说明说明:如下形式的三元二次方程(A 0)都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面.表示怎样半径为的球面.球心为 一个球面球面,或点点,或虚轨迹虚轨迹.P(x,y,z)如果定直
3、线为如果定直线为z轴,讨论此柱面的方程?轴,讨论此柱面的方程?柱面上任取一点柱面上任取一点P(x,y,z)沿母线与沿母线与xoy平面交点平面交点P(x,y,0)P(x,y,0)P(x,y,0)在准线上,从而柱面上在准线上,从而柱面上任一点任一点P的坐标均满足方程的坐标均满足方程F(x,y)=0.准线准线C方程方程柱面方程:柱面方程:F(x,y)=0定义定义.平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面柱面.C 叫做准线准线,l 叫做母线母线.(二)柱面(二)柱面一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于 x 轴;平行于 y 轴;平行于 z 轴;准线 xoz 面上的曲线 l3.母线柱面
4、,准线 xoy 面上的曲线 l1.母线准线 yoz 面上的曲线 l2.母线例例.分析方程表示怎样的曲面.解解:,表示准线为xoy面的圆C,圆柱面圆柱面.母线平行于z轴 表示抛物柱面抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xoy 面上的抛物线.z 轴的平面平面.表示母线平行于(且 z 轴在平面上)MM0定义定义.一条平面曲线(三)旋转曲面(三)旋转曲面 绕其平面上一条定直线定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面旋转曲面.该定直线称为旋转旋转轴轴 .例如例如:建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为当绕 z 轴旋转时,若点给定 yoz 面上曲线 C:则有则有该点转到思考:思
5、考:当曲线 C 绕 y 轴旋转时,方程如何?例例1.试建立顶点在原点,旋转轴为z 轴,半顶角为的圆锥面方程.解解:在yoz面上直线L 的方程为绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方例例2.求 xoz面上的双曲线分别绕 x轴和 z 轴旋转一周所生成旋转曲面方程.解解:绕 x 轴旋转绕 z 轴旋转叫做单叶旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为叫做双叶旋转双曲面.例例3 3解解由于高度不变由于高度不变,故所求旋转曲面方程为故所求旋转曲面方程为空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程1、空间曲线的一般方程、空间曲线的一般方程空间曲线空间曲线C可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线.二、空间曲线的一
6、般方程二、空间曲线的一般方程注:表示同一条曲线的方程不唯一。注:表示同一条曲线的方程不唯一。例例2 2 方程组方程组 表示怎样的曲线?表示怎样的曲线?解解表示圆柱面,表示圆柱面,表示平面,表示平面,交线为椭圆交线为椭圆.例例1 1 柱面柱面 f(x,y)=0的准线方程:的准线方程:例例3 3 方程组方程组 表示怎样的曲线表示怎样的曲线?解解上半球面上半球面,圆柱面圆柱面,交线如图交线如图.(2)(1)练习空间曲线的向量函数表示空间曲线的向量函数表示空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程取时间取时间t为参数,为参数,解解例例.将下列曲线化为参数方程表示:解解:(1)
7、根据第一方程引入参数,(2)将第二方程变形为故所求为得所求为例例.求空间曲线:绕 z 轴旋转时的旋转曲面方程.解解:点 M1绕 z 轴旋转,转过角度 后到点 则这就是旋转曲面满足的参数方程.例如例如,直线绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为 消去 t 和 ,得旋转曲面方程为绕 z 轴旋转所得旋转曲面(即球面)方程为 又如又如,xoz 面上的半圆周说明说明:一般曲面的参数方程含两个参数,形如三、画二次曲面的截痕法三、画二次曲面的截痕法 三元二次方程 画二次曲面的基本方法:截痕法截痕法 基本类型:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面二次曲面.(二次项系数不全为 0)例例 方程方程 的图形是
8、怎样的?的图形是怎样的?根据题意有根据题意有图形上不封顶,下封底图形上不封顶,下封底解解最底点(1,2,-1)1.椭圆锥面椭圆锥面椭圆在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的直线.2.椭球面椭球面 椭球面与椭球面与三个坐标面三个坐标面的交线:的交线:图形有界,并且关于坐标面对称。图形有界,并且关于坐标面对称。椭球面的几种特殊情况:椭球面的几种特殊情况:旋转椭球面旋转椭球面由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转而成轴旋转而成方程可写为方程可写为球面球面方程可写为方程可写为3.3.单叶双曲面单叶双曲面椭圆.时,截痕为(实轴平行于x 轴;虚轴平行于z 轴)双曲线:yoz双曲线:3)x4.双叶双曲面双叶双曲面双
9、曲线椭圆双曲线假如将方程中的1换为0,得到椭圆锥面的方程则称双曲面渐近于这个锥面(1)与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.(2)用坐标面)用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得抛物线截得抛物线,与平面与平面 y=k的交线为抛物线的交线为抛物线xyzo5.椭圆抛物面椭圆抛物面(3)用坐标面)用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得抛物线截得抛物线.zxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下:椭圆抛物面的图形如下:特殊地:当特殊地:当 时,方程变为时,方程变为旋转抛物面旋转抛物面6.双曲抛物面(马鞍面)双曲抛物面(马鞍面)xyzo内容小结内容小结1.空间曲面三元方程 球面 旋转曲面如,曲线绕 z 轴的旋转曲面
10、:柱面如,曲面表示母线平行 z 轴的柱面.又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.2.二次曲面三元二次方程 椭球面 抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面 双曲面:单叶双曲面双叶双曲面 椭圆锥面:抛物线平面解析几何中空间解析几何中方 程平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0)半径为 3 的圆以 z 轴为中心轴的圆柱面母线平行 y 轴的抛物柱面练习练习指出下列方程的图形:四、空间曲线在坐标面上的投影四、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线 C 的一般方程为消去 z 得投影柱面则C 在xoy 面上的投影曲线 C为消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程消去y 得C 在zox 面上的投
11、影曲线方程例例,在xoy 面上的投影曲线方程为消Z得过曲线C的投影柱面方程为:如图如图:投影曲线的研究过程投影曲线的研究过程.空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面五、五、空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影.空空间间立立体体曲曲面面所围的立体在 xoy 面上的投影区域:例求上半球面和锥面 xoy 面上的投影曲线解先求二者交线所围圆域:求下列空间区域在坐标面的投影求下列空间区域在坐标面的投影1)所围立体区域区域(2)3):z0,x2+y2+z2=R2 ,x2+y2=z2所围。(5):由曲面:z=x2+y2,z=4 所围六、柱面坐标和球面坐标六、柱面坐标和球面坐标规定:规定:1.柱面坐标柱面坐标 柱面坐标与直角坐柱面坐标与直角坐标的关系为标的关系为如图,三坐标面分别为如图,三坐标面分别为圆柱面;圆柱面;半平面;半平面;平平 面面解解知交线为知交线为2、球面坐标、球面坐标球面坐标与直角坐标的关系为球面坐标与直角坐标的关系为如图,如图,规定:规定:球坐标的三坐标面分别为球坐标的三坐标面分别为圆锥面;圆锥面;球球 面;面;半平面半平面解解
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