圆的整章节复习.ppt
《圆的整章节复习.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《圆的整章节复习.ppt(134页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、知识体系知识体系圆圆基本性质基本性质直线与圆的直线与圆的位置关系位置关系圆与圆的圆与圆的位置关系位置关系概概念念对对称称性性垂垂径径定定理理圆心角、圆心角、弧、弦之弧、弦之间的关系间的关系定理定理圆周角与圆周角与圆心角的圆心角的关系关系切切线线的的性性质质切切线线的的判判定定切切线线的的作作图图弧长、扇形面积和圆锥弧长、扇形面积和圆锥的侧面积相关计算的侧面积相关计算正多边形正多边形和圆和圆位位置置分分类类性性质质公公切切线线的的作作图图关关系系定定理理有有关关计计算算圆的定义(运动观点)l在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。l固定的端点O
2、叫做圆心,线段OA叫做半径,以点O为圆心的圆,记作O,读作“圆O”圆的定义辨析篮球是圆吗?圆必须在一个平面内以3cm为半径画圆,能画多少个?以点O为圆心画圆,能画多少个?由此,你发现半径和圆心分别有什么作用?半径确定圆的大小;圆心确定圆的位置圆是“圆周”还是“圆面”?圆是一条封闭曲线圆周上的点与圆心有什么关系?圆的定义(集合观点)圆是到定点的距离等于定长的点的集合。圆上各点到定点(圆心)的距离都等于定长(半径);到定点的距离等于定长的点都在圆上。一个圆把平面内的所有点分成了多少类?你能模仿圆的集合定义思想,说说什么是圆的内部和圆的外部吗?点与圆的位置关系圆是到定点(圆心)的距离等于定长(半径)
3、的点的集合。圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。由此,你发现点与圆的位置关系是由什么来决定的呢?如果圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则:点在圆上 d=r 点在圆内 dr与圆有关的概念弦和直径什么是弦?什么是直径?直径是弦吗?弦是直径吗?弧与半圆什么是圆弧(弧)?怎样表示?弧分成哪几类?半圆是弧吗?弧是半圆吗?弓形是什么?同心圆、同圆、等圆和等弧怎样的两个圆叫同心圆?怎样的两个圆叫等圆?同圆和等圆有什么性质?什么叫等弧?思考思考:确定一条直线的条件是什么?:确定一条直线的条件是什么?类比联想类比联想:是否也存在由几个点确定一个圆呢?:是否也存在由
4、几个点确定一个圆呢?讨论讨论:经过一个点,能作出多少个圆?:经过一个点,能作出多少个圆?经过两个点,如何作圆,能作多少个?经过两个点,如何作圆,能作多少个?经过三个点,如何作圆,能作多少个?经过三个点,如何作圆,能作多少个?经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆外接圆,外接圆的圆心叫做三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心外心,三角形叫做圆的三角形叫做圆的内接三角形内接三角形。问题问题1:如何作三角形的外接圆?:如何作三角形的外接圆?如何找三角形的外心?如何找三角形的外心?问题问题2:三角形的外心一定:三角形的外心一定 在三角形内吗?在三角形内吗?C90A
5、BC是锐角三角形是锐角三角形ABC是钝角三角形是钝角三角形想一想想一想:将一个圆沿着任一条直径对折,两:将一个圆沿着任一条直径对折,两侧半圆会有什么关系?侧半圆会有什么关系?性质:性质:圆是圆是轴对称图形轴对称图形,任何一条,任何一条直径直径所在所在的直线都是它的的直线都是它的对称轴对称轴。观察右图,有什么等量关系?观察右图,有什么等量关系?垂直于垂直于弦的直弦的直径径AO=BO=CO=DO,弧AD弧BC,弧AC弧BD。AO=BO=CO=DO,弧AD弧BC=弧AC弧BD。AO=BO=CO=DO,弧AD弧BD,弧AC弧BC,AEBE。垂径定理垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条
6、弧。判断下列图形,能否使用垂径定理?判断下列图形,能否使用垂径定理?注意:定理中的两个条件注意:定理中的两个条件(直径,垂直于弦)缺一不(直径,垂直于弦)缺一不可!可!OABE若圆心到弦的距离用若圆心到弦的距离用d表示,表示,半径用半径用r表示,弦长用表示,弦长用a表示,表示,这三者之间有怎样的关系?这三者之间有怎样的关系?变式变式1 1:AC、BD有什么关系?有什么关系?变式变式2 2:ACBD依然成依然成立吗立吗?变式变式3 3:EA_,EC=_。FDFB变式变式4 4:_ AC=BD.OA=OB变式变式5 5:_ AC=BD.OC=OD如图,P为O的弦BA延长线上一点,PAAB2,PO5
7、,求O的半径。MAPBO关于弦的问题,常常关于弦的问题,常常需要需要过圆心作弦的垂线过圆心作弦的垂线段段,这是一条非常重要,这是一条非常重要的的辅助线辅助线。圆心到弦的距离、半圆心到弦的距离、半径、弦长径、弦长构成构成直角三角直角三角形形,便将问题转化为直,便将问题转化为直角三角形的问题。角三角形的问题。画图叙述垂径定理,并说出画图叙述垂径定理,并说出定理的题设和结论。定理的题设和结论。题设题设结论结论直线直线CD经过圆心经过圆心O直线直线CD垂直弦垂直弦AB直线直线CD平分弦平分弦AB直线直线CD平分弧平分弧ACB直线直线CD平分弧平分弧AB想一想:如果将题设和想一想:如果将题设和结论中的结
8、论中的5 5个条件适当互个条件适当互换,情况会怎样?换,情况会怎样?(1)平分弦平分弦(不是直径)(不是直径)的直径的直径垂直垂直于弦于弦,并且,并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧;(2 2)弦的垂直平分线弦的垂直平分线经过圆心经过圆心,并且,并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧;(3 3)平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径,垂垂直平分弦直平分弦并且并且平分弦所对的另一条弧平分弦所对的另一条弧。如图如图,CD为为O的直径的直径,ABCD,EFCD,你你能得到什么结论?能得到什么结论?弧弧AE弧弧BF圆的两条圆的两条平行弦平行弦所夹的弧相等所夹的弧相等。FOBAECD圆的
9、性质圆是轴对称图形,每一条直径所在的直线都是对称轴。圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。圆还具有旋转不变性,即圆绕圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合。圆心角:顶点在圆心的角。:顶点在圆心的角。(如:(如:AOB)C弦心距:从圆心到弦的距离。:从圆心到弦的距离。(如:(如:OC)OAB如图如图,AOBAOB,OCAB,OCAB。猜想:猜想:弧弧AB与弧与弧AB,AB与与AB,OC与OC之间的关系,并证明你的猜想。之间的关系,并证明你的猜想。定理定理 相等的圆心角相等的圆心角所对的所对的弧弧相等,相等,所对的所对的弦弦相等,所对的弦的相等,所对的弦的弦心距弦心距相等。相等。在同圆或等圆中,
10、在同圆或等圆中,OABCABC圆心角所对的弧相等,圆心角所对的弧相等,圆心角圆心角所对的弦相等,所对的弦相等,圆心角圆心角所对弦的弦心距相等。所对弦的弦心距相等。推论推论在同圆或等圆中,在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等的其余各组量都分别相等。题设题设结论结论在在同同圆圆或或等等圆圆中中(前前提提)圆圆心心角角相相等等(条条件件)圆周角圆周角CDF圆心角:如圆心角:如 BOA圆内角:如圆内角:如 BCA圆周角:如圆周角:如 BDA圆外角:如
11、圆外角:如 BFA角的顶点角的顶点在圆心在圆心角的顶点在圆周上角的顶点在圆周上是否顶点在圆周上是否顶点在圆周上的角就是圆周角呢的角就是圆周角呢?圆周角:圆周角:顶点在圆上顶点在圆上,并且,并且两边都和圆相两边都和圆相交交的角。的角。圆心角圆心角:顶点在圆心顶点在圆心的角的角.画图:同一条弧所对的圆周角和圆心角之间可能出现哪几种不同的位置关系?回顾:圆心角等于它所对的弧的度数的一半。回顾:圆心角等于它所对的弧的度数的一半。猜想:圆周角和圆心角都是与圆有关的角,猜想:圆周角和圆心角都是与圆有关的角,它们之间有什么关系?它们之间有什么关系?一条弧所对的圆周角等于它所对一条弧所对的圆周角等于它所对的圆
12、心角的一半的圆心角的一半化化归归化化归归圆周角定理分类讨论分类讨论完全归纳法完全归纳法1、已知已知 AOB75,求求:ACB2、已知已知 AOB120,求求:ACB3、已知已知 ACD30,求求:AOB4、已知已知 AOB110,求求:ACBOBADEC如图,比较如图,比较ACBACB、ADBADB、AEBAEB的大小的大小同弧所对的圆周角相等如图,如果弧如图,如果弧ABAB弧弧CDCD,那么那么E E和和F F是什么关系?反过来呢?是什么关系?反过来呢?DCEBFAO等弧所对的圆周角相等;在同圆中,相等的圆周角所对的弧也相等DCEO1BFAO2如图,如图,O O1 1和和O O2 2是等圆,
13、是等圆,如果弧如果弧ABAB弧弧CDCD,那么那么E E和和F F是什么关系?反过来是什么关系?反过来呢?呢?等圆也成立推论推论1 1同弧或等弧所对的圆周角相等;同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等。同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等。思考:思考:1 1、“同圆或等圆同圆或等圆”的条件能否去掉?的条件能否去掉?2 2、判断正误:在同圆或等圆中,如果两个、判断正误:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中有一组量相等,那么它们所对应的圆周角中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量也相等。其
14、余各组量也相等。FED关于等积式的证明如图,已知如图,已知ABAB是是O O的弦,半径的弦,半径OPABOPAB,弦,弦PDPD交交ABAB于于C C,求证:求证:PAPA2 2PCPDPCPDCDPBAO经验:经验:证明等积式,通常利证明等积式,通常利用相似;用相似;找角相等,要有找同找角相等,要有找同弧或等弧所对的圆周角弧或等弧所对的圆周角的意识;的意识;推论推论2 2半圆(或直径)所对的圆周角是半圆(或直径)所对的圆周角是9090;9090的圆周角所对的弦是直径。的圆周角所对的弦是直径。推论推论3 3如果三角形一边上的中线等于这条边如果三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是
15、直角三角形。的一半,那么这个三角形是直角三角形。什么时候圆周角是直角?反过来呢?什么时候圆周角是直角?反过来呢?什么时候圆周角是直角?反过来呢?什么时候圆周角是直角?反过来呢?直角三角形斜边中线有什么性质?反过来呢?直角三角形斜边中线有什么性质?反过来呢?直角三角形斜边中线有什么性质?反过来呢?直角三角形斜边中线有什么性质?反过来呢?已知:点已知:点O是是ABC的外心,的外心,BOC130,求求 A的度数。的度数。直线和圆的位置关系位置关系相交相切相离公共点个数d与r的关系公共点名称直线名称2个1个无drdrdr交点切点割线切线有且仅有有且仅有注意:注意:“”,即,即“等价于等价于”熟记直线和
16、圆的位置关系d与r的关系 位置关系 交点个数图形2个1个无drdrdr相交相离相切熟记判断一条直线是不是圆的切线使用定义:直线和圆有唯一的公共点圆心到直线的距离d等于半径r时,直线和圆相切说说看:以上两种判断办法是否方便应用呢?操作:画操作:画O O,在在O O上任取一点上任取一点A A,连结连结OAOA,过过A A点作直线点作直线lOAlOA直线l l是否与O O相切呢?从作图过程看,这条切线l l满足哪些条件?l l 经过半径外端 l l垂直于这条半径穷则思变证明一条直线是圆的切线,常常需要作辅助线。若直线过圆上某一点,则连结圆心和公共点,再证明直线与半径垂直若直线与圆的公共点没有确定,则
17、过圆心向直线作垂线,再证明圆心到直线的距离等于半径。OBA练兵切线判定的方法利用切线定义利用圆心到直线的距离等于半径利用切线判断定理辅助线技巧:若直线过圆上某一点,则连结圆心和公共点,再证明直线与半径垂直若直线与圆的公共点没有确定,则过圆心向直线作垂线,再证明圆心到直线的距离等于半径。Review切线判定:直线l l:过半径外端垂直于半径切线性质:切线l l,A为切点:OAl l理解记忆类比猜想类比猜想切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径。推论:推论:1 1、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点2 2、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心、经过切点
18、且垂直于切线的直线必经过圆心切线判定与性质典型例题已知:AB是O的直径,BC是O的切线,切点为B,OC平行于弦AD。求证:DC是O的切线。体会规律如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB和CD相等,且AB与小圆相切于点E,求证:CD与小圆相切。DCOBAFDCBAEO切线性质定理的推广性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径推1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心浓缩提炼你能用一个定理把圆的切线的性质及它的两个推论概括出来吗?如果一条直线具备下列三个条件中如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可以推出第三个的任意两个,就可以推出第三个:(1
19、 1)垂直于切线;()垂直于切线;(2 2)过切点;)过切点;(3 3)过圆心。)过圆心。如何在一个三角形中剪下一个圆,使得该如何在一个三角形中剪下一个圆,使得该圆的面积尽可能的大?圆的面积尽可能的大?思考和三角形各边都相切的圆叫做和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内三角形的内切圆切圆;内切圆的圆心叫做;内切圆的圆心叫做三角形的内心三角形的内心;这个三角形叫做这个三角形叫做圆的外切三角形圆的外切三角形。三角形的内心是三角形内角平分线的交点。三角形的内心是三角形的内心是否也有在三角形否也有在三角形内、三角形外或内、三角形外或三角形上三种不三角形上三种不同情况。同情况。记忆在ABC中,ABC50,
20、ACB75,求BOC的度数。(1)点O是三角形的内心(2)点O是三角形的外心ABC中,E是内心,A的平分线和ABC的外接圆相交于点D。求证:DEDB。ABCODABCE练习关于三角形内心的辅助线:关于三角形内心的辅助线:连结内心和三角形的顶点,连结内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这一内角。该线平分三角形的这一内角。垂心重心外心内心交点性质位置三条高线三条高线的交点的交点三条角平三条角平分线的交分线的交点点三边垂直三边垂直平分线的平分线的交点交点三条中线三条中线的交点的交点在形内、在形内、形外或直形外或直角顶点角顶点在形内、在形内、形外或斜形外或斜边中点边中点在形内在形内在形内在形内到三角形
21、到三角形各顶点距各顶点距离相等离相等到三角形到三角形三边距离三边距离相等相等把中线分把中线分成了成了2 2:1 1两部分两部分已知ABC的内切圆半径为r,求证:ABC的面积SABCsr。(s为ABC的半周长)A AB BC CO O三角形的外接圆:三角形的内切圆:A AB BC CI IOOI I特殊三角形外接圆、内切圆半径的求法:R=c2 2r=a+b-c2 2A AB BC Ca ab bc c直角三角形外接圆、内切圆半径的求法等边三角形外接圆、内切圆半径的求法基本思路:基本思路:构造三角形构造三角形BODBOD,BOBO为外接为外接圆半径,圆半径,DODO为内切圆半径。为内切圆半径。A
22、AB BC COOD DR Rr r圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。CBADOEFDB180AC180EABBCDFCBBAD对角外角内对角又一种重要的辅助线FEDCBAO2O1如图,O1和O2都经过A、B两点,经过A点的直线CD与O1交于点C,与O2交于点D,经过B点的直线EF与O1交于点E,与O2交于点F。求证:CEDF有两个圆的题目常用的一种辅助线:作公共弦。此图形是一个考试热门图形。思考:若此题条件和结论不变,只是不给出图形,此题还能这样证明吗?ECBAO2O1FD切线长的定义以及定理切线与切线长的区别:切线是直线,不能度量。切线长是线段
23、的长,这条线段的两个端点分别是圆外的一点和切点,可以度量。PAPA、PBPB分别切分别切O O于于A A、B BPA=PBPA=PBOPA=OPBOPA=OPB切线长定理:题设:从圆外一点引圆 的两条切线结论:切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角几何表述:PBAODCPBAO如图,PA、PB是O的两条切线,A、B是切点,直线OP交O于点D,交AB于点C。写出图中所有的垂直关系写出图中所有的全等三角形写出图中所有的相似三角形写出图中所有的等腰三角形若PA4cm,PD2cm,求半径OA的长若O的半径为3cm,点P和圆心O的距离为6cm,求切线长及这两条切线的夹角度数PABOCPO平分平
24、分 AOBPO垂直平分垂直平分ABPO平分弧平分弧ABPAPBPO平分平分 APB圆的外切四边形的重要性质四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和O分别相交相切于点L、M、N、P。观察图并结合切线长定理,你发现了什么结论?并证明之。CBADPLMNO圆的外切四边形的两组对边的和相等圆的外切四边形的两组对边的和相等ABCDADBC弦切角的定义弦切角:顶点在圆上,一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角。要点:顶点在圆上一边和圆相交一边和圆相切判断下列各图形中的判断下列各图形中的A A是不是是不是弦切角,并说明理由。弦切角,并说明理由。还记得什么是分类讨论吗?还记得什么是化归吗?还记得什么是完
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 整章 复习
限制150内