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1、数学建模论文飞行计划模型摘 要 本文讨论了甲方如何安排飞行计划的问题。针对该问题,运用线性规划思想建立了两个约束最优化模型,模型一根据题中要求,确定求解目标为在满足供给的前提下,使花费总量最低的最优解;由于题中所给变量及约束条件较多,解决该问题可分为三步,首先,根据题目中的约束条件建立相应的约束函数,其次再根据题目要求写出对应的目标函数,最后运用LINGO软件输入相应的代码,求出约束条件下目标函数的最优解。本题中两个问题的唯一不同点是问题一中每名熟练飞行员作为教练每个月指导20名飞行员(包括自己在内)进行训练,而问题二中是每名熟练飞行员作为教练每个月指导不超过20名飞行员(包括他自己在内)进行
2、训练。这样使得两个问题中的教练和新飞行员的总报酬不同,从而影响到最后的总费用不相同通过运用LINGO软件求解,得出两个问题的的约束最优解为:问题一的约束最优解为:每个月开始时甲方购买的新飞机的数量分别为60,30,80,0;每个月甲方闲置的飞机的数量为10,0,0,0;每个月甲方闲置的熟练飞行员数目为7,0,0,0;每个月教练和新飞行员的数量为455,232,240,0;每月执行任务的飞行员数目分别为300,450,450,600;每个月休假的熟练飞行员数目为0,240,360,360,则最后求得总消费为63855.40.问题二的约束最优解为:4个月开始时甲方购买的新飞机的数量分别为60,30
3、,80,0;每个月甲方闲置的飞机的数量为10,0,0,0;每个月甲方闲置的熟练飞行员数目为7,0,0,0;每个月教练的数量为23,12,12,0;每个月的新飞行员数目为432,210,228,0;每月执行任务的飞行员数目分别为300,450,450,600;每个月休假的熟练飞行员数目为0,240,360,360,则最后求得总消费最低为63729.80。关键词 飞行员数量 飞机数量 教练数目 约束最优化模型一 问题重述这个问题是以第二次世界大战中的一个实际问题为背景,经过简化而提出来的。在甲、乙双方的一场战争中,一部分甲方部队被乙方部队包围长达4个月。由于乙方封锁了所有水陆交通通道,被包围的甲方
4、部队只能依靠空中交通维持供给。运送4个月的供给分别需要2次,3次,3次,4次飞行,每次飞行编队由50架飞机组成(每架飞机需要3名飞行员),可以运送10万t物资。每架飞机每个月只能飞行一次,每名飞行员每个月也只能飞行一次。在执行完运输任务后的返回途中有20的飞机会被乙方部队击落,相应的飞行员也因此牺牲或失踪。在第1个月开始时,甲方拥有110架飞机和330名熟练的飞行员。在每个月开始时,甲方可以招聘新飞行员和购买新飞机。新飞机必须经过一个月的检查后才可以投入使用,新飞行员必须在熟练飞行员的指导下经过一个月的训练才能投入飞行。每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导20名飞行员(包括他自己在内)进行训练
5、。每名飞行员在完成一个月的飞行任务后,必须有一个月的带薪假期,假期结束后才能再投入飞行。已知各项费用(单位略去)如下表所示,请为甲方安排一个飞行计划。第1个月第2个月第3个月第4个月新飞机价格200.0195.0190.0185.0闲置的熟练飞行员报酬7.06.96.86.7教练和飞行员报酬(包括培训费用)10.09.99.89.7执行飞行任务的熟练飞行员报酬9.08.99.89.7休假期间的熟练飞行员报酬5.04.94.84.7如果每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导不超过20名飞行员(包括他自己在内)进行训练,模型和结果有哪些改变?二 问题分析对于该问题,根据题目所述要求,将要建立一个约束
6、最优化模型,进而为甲方安排一个最优飞行计划。通过分析,该约束最优化模型建立与求解可分为三步,首先根据题目要求及各方面影响因素确定模型的约束条件;接着,根剧已知条件确定目标函数,由题目可以看出,执行飞行任务以及执行飞行任务后休假的熟练飞行员数量已确定,故这部分报酬是固定的,在优化目标中可以直接算出,而购买新飞机费用、闲置熟练飞行员报酬、教练和新飞行员报酬均由每月新飞机数目和新飞行员决定,由此可确定模型的决策变量为新飞机数目与新飞行员数目最后运用LINGO软件输入相应的代码,求出约束条件下目标函数的最优解。根据题目要求分析得出的定量有以下三个方面:其一,每月参与飞行任务的飞机数量依次为100,15
7、0,150和200架,这些飞机最后能返回甲方,参与下个月的飞行任务的数量依次为80,120和120;其二,每月参与飞行任务的飞行员数量依次为300,450,450和600人,这些飞行员最后能返回甲方的人数依次为240,360和360,但是这些飞行员紧接着的一个月是休假的,这些因素都会影响下个月飞行任务的飞机和飞行员的安排;其三,为使总费用最低,第四个月新飞机数量、新飞行员数目、教练数目均为零。三 模型假设1、假设闲置的飞行人员均无伤亡,闲置的飞机均无损坏。2、假设执行任务的飞机只能在执行完任务的返回途中被击落,相应的飞行人员牺牲或失踪。3、假设安全返回的飞行人员的受伤情况均不影响下次飞行任务。
8、4、假设新飞机经一个月检查后均可投入使用,新飞行员经一个月训练后均可投入飞行,而且被训练后的新飞行员便成为了熟练飞行员。5、假设新飞行员训练时不占用可以执行任务的飞机,新飞机检查时不占用可以执行任务的飞行员。四 符号说明问题一的符号说明 : 第个月购买的新飞机数目(=1,2,3); :第个月招聘的新飞行员数目(=1,2,3); :第个月培训新飞行员的教练数目(=1,2,3); : 第个月购买的飞机数量, =1、2、3、4; :购买新飞机的总费用; :闲置的熟练飞行员总报酬; :教练和新飞行员的总报酬; :执行飞行任务的熟练飞行员总报酬; :休假期间的熟练飞行员总报酬; :飞行计划的总费用; :
9、推广模型中第个月闲置的熟练飞行员数目(=1,2,3,4问题二的符号说明 : 第个月可以使用的飞机数目, =1、2、3、4; : 第个月可以使用的飞行员数目, =1、2、3、4; : 第个月购买的飞机数量, =1、2、3、4; : 第个月的教练数量, =1、2、3、4; : 第个月招聘的新飞行员数量, =1、2、3、4; : 购买新飞机的总费用; : 闲置的熟练飞行员的总报酬; : 教练和新飞行员的总报酬(包括培训费用); : 执行任务的熟练飞行员的总报酬; : 休假期间的熟练飞行员的总报酬; : 此次战斗中空投的花费;五 模型的建立 本模型的目标在于,结合表格中的数据和对应的各个变量,用线性规
10、划的方法,建立一个优化模型,用LINGO软件求得在满足供给的约束条件下费用最低的最优解,从而得到最佳的飞行计划。问题一模型的建立5.1 建立约束条件为使费用最低,只在前3个月购买飞机,招聘新飞行员,每个月的情况如下:(1)第1个月可以使用的飞机数目是110,可以使用的飞行员数目为330,由于招聘的新飞行员数目为,教练数目为,故为确保新飞行员都能被培训且教练数目足够,有: ; (2)第2个月可以使用的飞机包括第一个月结束后尚存的和第一个月新买的,即为;可以使用的飞行员有第1个月剩下的和新培训的,除去教练,即为,要使供给充足,有: 同样为确保新飞行员都能被培训且教练数目足够,有:(3) 第3个月可
11、以使用的飞机包括第2个月结束后尚存的和第2个月新买的,即为;可以使用的飞行员有第2个月剩下的和新培训的,除去教练,即为,故要使供给充足,化简得: 同样为确保新飞行员都能被培训且教练数目足够,有: (4)第4个月可以使用的飞机包括第3个月结束后尚存的和第3个月新买的,即为;可以使用的飞行员有第2个月剩下的和新培训的,即为,故要使供给充足,有:5.2 建立目标函数分析题目可得,飞行计划的费用包括五个部分:(1)购买新飞机的总费用: (2)闲置的熟练飞行员总报酬:(3)教练和新飞行员的总报酬:(4)执行飞行任务的熟练飞行员总报酬:(5)休假期间的熟练飞行员总报酬: 故该飞行计划的总费用为,使花费最低
12、,可得目标函数为 。5.3 建立优化模型综上可得,此约束的优化模型为: 问题二模型的建立每名熟练飞行员作为教练每个月指导不超过20名飞行员情况下。 分析题目可得,总的花费包括了: 购买新飞机的总费用; 闲置的熟练飞行员的总报酬; 教练和新飞行员的总报酬(包括培训费用); 执行飞行任务的熟练飞行员总报酬; 休假期间的熟练飞行员总报酬; 各项花费分别为: 购买新飞机的总费用: 闲置的熟练飞行员的总报酬: 教练和新飞行员的总报酬(包括培训费用): 执行飞行任务的熟练飞行员总报酬: 休假期间的熟练飞行员总报酬: 所以,总的花费可表示为: 5.1.2建立约束条件从题中很容易得到: 由题知,第1个月可以使
13、用的飞机总数等于110。第1个月可以使用的飞行员总数等于330。即: 第2个月可以使用的飞机总数等于第1个月的飞机总数,减去第1个月被击落的架,加上第一个购买的新飞机数。第2个月可以使用的飞行员总数等于第1个月可以使用飞机数目,减去第1个月执行过任务的人,加上第1月新招募的个。即: 第3个月可以使用的飞机总数等于第2个月的飞机总数减去第2个月被击落的架加上第2个购买的新飞机数。第2个月可以使用的飞行员总数等于第2个月可以使用飞机数目,减去第2个月执行过任务的人,加上第2月新招募的个,再加上第2个月休假后归队的个。即: 第4月同第3个月的情况一样,即: 5.1.2目标函数使总的花费最低,即: 5
14、.1.3建立优化模型 ; ; ; ; ; ; 六 模型求解及分析 此优化模型可用LINGO软件求得最优解,代码及运行结果见附录1。问题一的约束最优解为: 目标函数,其中 问题二的约束最优解为: 目标函数,其中 问题一每个月开始时甲方购买的新飞机的数量分别为60,30,80,0;每个月甲方闲置的飞机的数量为10,0,0,0;每个月甲方闲置的熟练飞行员数目为7,0,0,0;每个月教练和新飞行员的数量为455,232,240,0;每月执行任务的飞行员数目分别为300,450,450,600;每个月休假的熟练飞行员数目为0,240,360,360,则最后求得总消费最低为63729.80。问题二每个月开
15、始时甲方购买的新飞机的数量分别为60,30,80,0;每个月甲方闲置的飞机的数量为10,0,0,0;每个月甲方闲置的熟练飞行员数目为7,0,0,0;每个月教练的数量为23,12,12,0;每个月的新飞行员数目为432,210,228,0;每月执行任务的飞行员数目分别为300,450,450,600;每个月休假的熟练飞行员数目为0,240,360,360,则最后求得总消费最低为63729.80。六 模型的推广 在模型一的基础上,考虑到实际军情危机,为了节约经费,假设飞行人员与飞机每隔一次执行飞行任务,同样利用线性规划的方法进行模型的推广,从而得到更加接近实际的模型。八 模型评价优点:建立了约束最
16、优化模型,可以用LINGO软件进行求解,使得求解过程简单方便;优化问题在实际生活中比较常见,所以此模型可以进行一定的推广,从而可以将其运用在其他领域。缺点:模型中的假设过于理想化,与实际情况不太符合。九 参考文献1 姜启源.数学模型.北京:高等教育出版社,20112 谢金星,薛毅.优化模型与LINDO/LINGO软件,北京:清华大学出版社3 卓金武. MATLAB 在数学建模中的应用M.北京:航空航天大学出版社,20114 谢金星,薛毅,优化模型与LINDO/LINGO软件M,北京:清华大学出版社,2006.4 附录1以上两个问题用LINGO软件求解的源代码及运行结果:1、模型一的代码:min
17、=200*x1+195*x2+190*x3+(30-z1)*7+(30+y1-z2-450)*6.9+(240+y1+y2-420-z3-450)*6.8+(360+y1+y2+y3-630-600)*6.7+(z1+y1)*10+(z2+y2)*9.9+(z3+y3)*9.8+300*9+450*8.9+450*9.8+600*9.7+240*4.9+360*4.8+360*4.7;x1=60; x1+x2=90; x1+x2+x3=170;z1=420; y1+y2-z3=630; y1+y2+y3=870;y119*(z1-1); y119*(z2-1); y219*(z3-1); y3
18、=20; x1+x2=50; x1+x2+x3=90;z1=150; y1+y2-z2-z3=150;y1+y2+y3-z2-z3=270; y119*(z1-1); y119*(z2-1); y219*(z3-1); y3=19*z3;gin(x1); gin(x2); gin(x3);gin(y1); gin(y2); gin(y3);gin(z1); gin(z2); gin(z3);end4、推广模型代码的运行结果:Global optimal solution found. Objective value: 33799.20 Extended solver steps: 1 Tota
19、l solver iterations: 40 Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 200.0000 X2 30.00000 195.0000 X3 40.00000 190.0000 Z1 8.000000 1.000000 Y1 151.0000 38.40000 Z2 1.000000 1.000000 Y2 7.000000 29.40000 Z3 7.000000 0.000000 Y3 120.0000 19.50000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 33799.20 -1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 0.000000 4 0.000000 0.000000 5 22.00000 0.000000 6 0.000000 0.000000 7 0.000000 0.000000 8 0.000000 0.000000 9 18.00000 0.000000 10 1.000000 0.000000 11 7.000000 0.000000 12 12.00000 0.000000 13 6.000000 0.000000 14 13.00000 0.00000020
限制150内