电磁场与电磁波(第四版)谢处方_课后答案5811.pdf
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1、电磁场与电磁波(第四版)谢处方 课后答案 第一章习题解答 给定三个矢量A、B和C如下:23xyzAeee 4yz Bee 52xzCee 求:(1)Aa;(2)AB;(3)A B;(4)AB;(5)A在B上的分量;(6)A C;(7)()A BC和()AB C;(8)()ABC和()ABC。解(1)2222312314141412(3)xyzAxyz eeeAaeeeA(2)AB(23)(4)xyzyz eeeee6453xyzeee(3)A B(23)xyzeee(4)yzee11(4)由 cosAB11111417238 A BA B,得 1cosAB11()135.5238(5)A在B上
2、的分量 BA AcosAB1117 A BB(6)A C123502xyzeee41310 xyzeee(7)由于B C041502xyzeee8520 xyzeee A B123041xyzeee1014xyzeee 所以 ()A BC(23)xyzeee(8520)42xyz eee ()AB C(1014)xyzeee(52)42xz ee(8)()ABC1014502xyzeee2405xyzeee()ABC1238520 xyzeee554411xyzeee 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P、2(4,1,3)P和3(6,2,5)P。(1)判断123PP P是否为一直角三角形;(2
3、)求三角形的面积。解(1)三个顶点1(0,1,2)P、2(4,1,3)P和3(6,2,5)P的位置矢量分别为 12yzree,243xyzreee,3625xyzreee 则 12214xzRrree,233228xyzRrreee,311367xyz Rrreee 由此可见 1223(4)(28)0 xzxyzRReeeee 故123PP P为一直角三角形。(2)三角形的面积 12231223111176917.13222S RRRR 求(3,1,4)P 点到(2,2,3)P点的距离矢量R及R的方向。解 34Pxyz reee,223Pxyzreee,则 53P PPPxyzRrreee 且
4、P PR与x、y、z轴的夹角分别为 115cos()cos()32.3135xP PxP Pe RR 113cos()cos()120.4735yP PyP PeRR 111cos()cos()99.7335zP PzP Pe RR 给定两矢量234xyzAeee和456xyzBeee,求它们之间的夹角和A在B上的分量。解 A与B之间的夹角为 1131cos()cos()1312977ABA BA B A在B上的分量为 313.53277BA BAB 给定两矢量234xyzAeee和64xyz Beee,求A B在xyzCeee上的分量。解 A B234641xyzeee132210 xyze
5、ee 所以A B在C上的分量为 ()CAB()2514.433 A B CC 证明:如果A B A C和A BA C,则BC;解 由A BA C,则有()()AABAA C,即()()()()A B AA A BA C AA A C 由于A B A C,于是得到 ()()A A BA A C 故 BC 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积,那么便可以确定该未知矢量。设A为一已知矢量,p A X而PAX,p和P已知,试求X。解 由PAX,有()()()()pAPAAXA X AA A XAA A X 故得 pAAPXA A 在圆柱坐标中,一点的位置由2(4,3)3定出,求该点在:(1)
6、直角坐标中的坐标;(2)球坐标中的坐标。解(1)在直角坐标系中 4cos(23)2x、4sin(23)23y、3z 故该点的直角坐标为(2,2 3,3)。(2)在球坐标系中 22435r、1tan(4 3)53.1、23120 故该点的球坐标为(5,53.1,120)用球坐标表示的场225rrEe,(1)求在直角坐标中点(3,4,5)处的E和xE;(2)求在直角坐标中点(3,4,5)处E与矢量22xyzBeee构成的夹角。解(1)在直角坐标中点(3,4,5)处,2222(3)4(5)50r ,故 22512rrEe 133 2cos2205 2xxrxE e EE(2)在直角坐标中点(3,4,
7、5)处,345xyz reee,所以 23345252510 2xyzrreeerE 故E与B构成的夹角为 1119(10 2)cos()cos()153.63 2EBE BE B 球坐标中两个点111(,)r 和222(,)r 定出两个位置矢量1R和2R。证明1R和2R间夹角的余弦为 121212coscoscossinsincos()解 由 111111111sincossinsincosxyzrrrReee 222222222sincossinsincosxyzrrrReee 得到 1212cosR RR R 1122112212sincossincossinsinsinsincosco
8、s 121211212sinsin(coscossinsin)coscos 121212sinsincos()coscos 一球面S的半径为5,球心在原点上,计算:(3sin)drSeS的值。解 (3sin)d(3sin)drrrSSSeSee22200d3sin5 sind75 在由5r、0z 和4z 围成的圆柱形区域,对矢量22rzrzAee验证散度定理。解 在圆柱坐标系中 21()(2)32rrzrr rzA 所以 425000ddd(32)d1200zrrrA 又 2d(2)(ddd)rzrrzzSSrzSSSASeeeee 4 25 220 00 055dd2 4 d d1200zr
9、r 故有 d1200AdSAS 求(1)矢量22222324xyzxx yx y zAeee的散度;(2)求 A对中心在原点的一个单位立方体的积分;(3)求A对此立方体表面的积分,验证散度定理。解(1)2222232222()()(24)2272xx yx y zxx yx y zxyzA(2)A对中心在原点的一个单位立方体的积分为 1 21 21 222221 21 21 21d(2272)d dd24xx yx y zxy z A (3)A对此立方体表面的积分 1 21 21 21 2221 21 21 21 211d()dd()dd22Sy zy z AS 1 21 21 21 2222
10、21 21 21 21 2112()d d2()d d22xx zxx z 1 2 1 21 2 1 22232231 2 1 21 2 1 211124()d d24()d d2224x yx yx yx y 故有 1d24AdSAS 计算矢量r对一个球心在原点、半径为a的球表面的积分,并求 r对球体积的积分。解 22300dddsind4rSSSaaa rSr e 又在球坐标系中,221()3r rrrr,所以 2230 0 0d3sind dd4arra r 求矢量22xyzxxy zAeee沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分,此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。再求 A对
11、此回路所包围的曲面积分,验证斯托克斯定理。解 222220000ddd2 d0d8CxxxxyyAl 又 2222xyzxzyzxxyzxxy zeeeAee 所以 2 20 0d(22)d d8xzzSyzxxyASeee 故有 d8CAldS AS 求矢量2xyxxyAee沿圆周222xya的线积分,再计算 A对此圆面积的积分。解 2dddCCxxxyyAl2424220(cossincossin)d4aaa d()dyxzzSSAASxyASee242220 0dsindd4aSaySrrr 证明:(1)3R;(2)R0;(3)()A RA。其中xyzxyzReee,A为一常矢量。解(1
12、)3xyzxyzR(2)xyzxyzxyyeeeR0(3)设xxyyzzAAAAeee,则xyzA xA yA zA R,故()()()xxyzyxyzA xA yA zA xA yA zxyA Ree()zxyzA xA yA zzexxyyzzAAAeeeA 一径向矢量场()rf rFe表示,如果0F,那么函数()f r会有什么特点呢 解 在圆柱坐标系中,由 1 d()0drf rrrF 可得到()Cf rr C为任意常数。在球坐标系中,由 221 d()0dr f rrrF 可得到 2()Cf rr 给定矢量函数xyyxEee,试求从点1(2,1,1)P到点2(8,2,1)P的线积分dE
13、l:(1)沿抛物线2xy;(2)沿连接该两点的直线。这个E是保守场吗 解(1)dddxyCCExEyElddCyxxy 2221d(2)2dyyyy2216d14yy (2)连接点1(2,1,1)P到点2(8,2,1)P直线方程为 2812xxyy 即 640 xy 故 21dddd(64)(64)dxyCCExEyyyyyEl21(124)d14yy 由此可见积分与路径无关,故是保守场。求 标 量 函 数2x yz的 梯 度 及在 一 个 指 定 方 向 的 方 向 导 数,此 方 向 由 单 位 矢 量345505050 xyzeee定出;求(2,3,1)点的方向导数值。解 222()()
14、()xyzx yzx yzx yzxyzeee 222xyzxyzx zx yeee 故沿方向345505050lxyzeeee的方向导数为 22645505050lxyzx zx yle 点(2,3,1)处沿le的方向导数值为 36166011250505050l 试采用与推导直角坐标中yxzAAAxyzA相似的方法推导圆柱坐标下的公式 1()zrAArAr rrzA。解 在圆柱坐标中,取小体积元如题图所示。矢量场A沿re方向穿出该六面体的表面的通量为()d dd dzzzzrrrrrrzzArrrArr ()(,)(,)rrrr A rrzrA rzz ()()1rrrArArzrrr 同
15、理 d dd drr zzrr zzrzrzArzArz (,)(,)A rzA rzr z AArzr d dd drrrrzzzzzzrrArrArr (,)(,)zzA rzzA rz r rz zzAAr rzzz 因此,矢量场A穿出该六面体的表面的通量为()1rzrzArAArrrz 故得到圆柱坐标下的散度表达式 0()1limrzArAArrrz A 方程222222xyzuabc给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向矢量。解 由于 222222xyzxyzuabc eee 2222222()()()xyzuabc 故椭球表面上任意点的单位法向矢量为 222222222()()
16、()()xyzuxyzxyzabcabcuneee 现有三个矢量A、B、C为 r r z o x y r z z 题图 sincoscoscossinrAeee 22sincos2sinrzzzrzBeee 22(32)2xyzyxxzCeee(1)哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示(2)求出这些矢量的源分布。解(1)在球坐标系中 22111()(sin)sinsinrAr AArrrr A 22111(sincos)(sincoscos)(sin)sinsinrrrrr 2cos2sincoscossincos0sinsinrrrr 2sin1sinsi
17、nrrrrrrArArAeeeA 2sin10sinsincoscos cossinsinrrrrrrreee 故矢量A既可以由一个标量函数的梯度表示,也可以由一个矢量函数的旋度表示;在圆柱坐标系中 11()zrBBrBr rrzB=2211(sin)(cos)(2sin)rzzrzrrrz 22sinsin2 sin2 sinzzrrrr 22110sincos2sinrzrzrzrrrrzrrzBrBBzrzrzeeeeeeB 故矢量B可以由一个标量函数的梯度表示;直角在坐标系中 yxzCCCxyzC=22(32)()(2)0yxxzxyz 22(26)322xyzzxyxyzyxxzee
18、eCe 故矢量C可以由一个矢量函数的旋度表示。(2)这些矢量的源分布为 0A,0A;2 sinr B=,0B;0C,(26)zxyCe 利用直角坐标,证明()fffAAA 解 在直角坐标中 ()()yxzxyzAAAffffffAAAxyzxyz AA()()()yxzxyzAAAffffAfAfAxxyyzz()()()()xyzfAfAfAfxyz A 证明()AHHAAH 解 根据算子的微分运算性质,有()()()AHAHAHAH 式中A表示只对矢量A作微分运算,H表示只对矢量H作微分运算。由()()a b cc a b,可得()()()AA AHHAHA 同理 ()()()HH AHA
19、HAH 故有 ()AHHAAH 利用直角坐标,证明 ()fff GGG 解 在直角坐标中 ()()()yyxxzzxyzGGGGGGffyzzxxyGeee f G()()()xzyyxzzyxffffffGGGGGGyzzxxyeee 所以 ff GG()()yzxzyGGffGfGfyyzze()()xzyxzGGffGfGfzzxxe()()yxzyxGGffGfGfxxyye()()yzxfGfGyze()()xzyfGfGzxe()()yxzfGfGxye()fG 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明()0u 及()0 A,试证明之。解(1)对于任意闭合曲线C为边界的任
20、意曲面S,由斯托克斯定理有()dddd0SCCCuuululSl 由于曲面S是任意的,故有 ()0u (2)对于任意闭合曲面S为边界的体积,由散度定理有 12()d()d()d()dSSS AASASAS 其中1S和2S如题图所示。由斯托克斯定理,有 11()ddSCASAl,22()ddSCASAl 由题图可知1C和2C是方向相反的同一回路,则有 12ddCC AlAl 所以得到 1222()ddddd0CCCC AAlAlAlAl 由于体积是任意的,故有 ()0 A 1n 1C 2C 2S 1S 2n 题图 第二章习题解答 一个平行板真空二极管内的电荷体密度为4 32 30049U dx,
21、式中阴极板位于0 x,阳极板位于xd,极间电压为0U。如果040VU、1cmd、横截面210cmS,求:(1)0 x 和xd区域内的总电荷量Q;(2)2xd和xd区域内的总电荷量Q。解(1)4 32 30004d()d9dQU dxSx 110044.72 10C3U Sd (2)4 32 30024d()d9ddQU dxSx 1100341(1)0.97 10C32U Sd 一个体密度为732.32 10C m的质子束,通过1000V的电压加速后形成等速的质子束,质子束内的电荷均匀分布,束直径为2mm,束外没有电荷分布,试求电流密度和电流。解 质子的质量271.7 10kgm、电量191.
22、6 10Cq。由 212mvqU 得 621.37 10vmqU m s 故 0.318Jv 2A m 26(2)10IJd A 一个半径为a的球体内均匀分布总电荷量为Q的电荷,球体以匀角速度绕一个直径旋转,求球内的电流密度。解 以球心为坐标原点,转轴(一直径)为z轴。设球内任一点P的位置矢量为r,且r与z轴的夹角为,则P点的线速度为 sinrvre 球内的电荷体密度为 343Qa 故 333sinsin434QQrraaJvee 一个半径为a的导体球带总电荷量为Q,同样以匀角速度绕一个直径旋转,求球表面的面电流密度。解 以球心为坐标原点,转轴(一直径)为z轴。设球面上任一点P的位置矢量为r,
23、且r与z轴的夹角为,则P点的线速度为 sinavre 球面的上电荷面密度为 24Qa 故 2sinsin44SQQaaaJvee 两点电荷18Cq 位于z轴上4z 处,24Cq 位于y轴上4y 处,求(4,0,0)处的电场强度。解 电荷1q在(4,0,0)处产生的电场为 111330014424(4 2)xzqeerrErr 电荷2q在(4,0,0)处产生的电场为 222330024414(4 2)xyq eerrErr 故(4,0,0)处的电场为 120232 2xyzeeeEEE 一个半圆环上均匀分布线电荷l,求垂直于圆平面的轴线上za处的电场强度(0,0,)aE,设半圆环的半径也为a,如
24、题 图所示。解 半圆环上的电荷元ddllla在轴线上za处的电场强度为 30dd4(2)laarrE 0(cossin)d8 2zxylaeee 在半圆环上对上式积分,得到轴线上za处的电场强度为 (0,0,)da EE 220(cossin)d8 2lzxyaeee0(2)8 2lzxaee 三根长度均为L,均匀带电荷密度分别为1 l、2l和3l地线电荷构成等边三角形。设1 l22l32l,计算三角形中心处的电场强度。解 建立题图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为 3tan3026LdL 则 111003(cos30cos150)42llyydLEee 2120033(cos30sin3
25、0)(3)28llxyxyLLEeeee 3130033(cos30sin30)(3)28llxyxyLLEeeee 故等边三角形中心处的电场强度为 123EEEE 题 图 题图 111000333(3)(3)288lllyxyxyLLLeeeee1034lyLe 点电荷q位于(,0,0)a处,另点电荷2q位于(,0,0)a处,空间有没有电场强度0E的点 解 电荷q在(,)x y z处产生的电场为 1222 3 20()4()xyzxayzqxayzeeeE 电荷2q在(,)x y z处产生的电场为 2222 3 20()24()xyzxayzqxayz eeeE(,)x y z处的电场则为1
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