C语言常用算法归纳27533.pdf
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1、C 语言常用算法归纳 应当掌握的一般算法 一、基本算法:交换、累加、累乘 二、非数值计算常用经典算法:穷举、排序(冒泡,选择)、查找(顺序即线性)三、数值计算常用经典算法:级数计算(直接、简接即递推)、一元非线性方程求根(牛顿迭代法、二分法)、定积分计算(矩形法、梯形法)四、其他:迭代、进制转换、矩阵转置、字符处理(统计、数字串、字母大小写转换、加密等)、整数各数位上数字的获取、辗转相除法求最大公约数(最小公倍数)、求最值、判断素数(各种变形)、数组元素的插入(删除)、二维数组的其他典型问题(方阵的特点、杨辉三角形)详细讲解 一、基本算法 1交换(两量交换借助第三者)例 1、任意读入两个整数,
2、将二者的值交换后输出。main()inta,b,t;scanf(%d%d,&a,&b);printf(%d,%dn,a,b);t=a;a=b;b=t;printf(%d,%dn,a,b);【解析】程序中加粗部分为算法的核心,如同交换两个杯子里的饮料,必须借助第三个空杯子。假设输入的值分别为 3、7,则第一行输出为 3,7;第二行输出为 7,3。其中 t 为中间变量,起到“空杯子”的作用。注意:三句赋值语句赋值号左右的各量之间的关系!【应用】例 2、任意读入三个整数,然后按从小到大的顺序输出。main()inta,b,c,t;scanf(%d%d%d,&a,&b,&c);/*以下两个 if 语句
3、使得 a 中存放的数最小*/if(ab)t=a;a=b;b=t;if(ac)t=a;a=c;c=t;/*以下 if 语句使得 b 中存放的数次小*/if(bc)t=b;b=c;c=t;printf(%d,%d,%dn,a,b,c);2累加 累加算法的要领是形如“s=s+A”的累加式,此式必须出现在循环中才能被反复执行,从而实现累加功能。“A”通常是有规律变化的表达式,s 在进入循环前必须获得合适的初值,通常为 0。例 1、求 1+2+3+100 的和。main()inti,s;s=0;i=1;while(i=100)s=s+i;/*累加式*/i=i+1;/*特殊的累加式*/printf(1+2
4、+3+.+100=%dn,s);【解析】程序中加粗部分为累加式的典型形式,赋值号左右都出现的变量称为累加器,其中“i=i+1”为特殊的累加式,每次累加的值为 1,这样的累加器又称为计数器。3累乘 累乘算法的要领是形如“s=s*A”的累乘式,此式必须出现在循环中才能被反复执行,从而实现累乘功能。“A”通常是有规律变化的表达式,s 在进入循环前必须获得合适的初值,通常为 1。例 1、求 10!分析 10!=12310 main()inti;longc;c=1;i=1;while(i=10)c=c*i;/*累乘式*/i=i+1;printf(1*2*3*.*10=%ldn,c);二、非数值计算常用经
5、典算法 1穷举 也称为“枚举法”,即将可能出现的每一种情况一一测试,判断是否满足条件,一般采用循环来实现。例 1、用穷举法输出所有的水仙花数(即这样的三位正整数:其每位数位上的数字的立方和与该数相等,比如:1*1*1+5*5*5+3*3*3=153)。法一 main()intx,g,s,b;for(x=100;x=999;x+)g=x%10;s=x/10%10;b=x/100;if(b*b*b+s*s*s+g*g*g=x)printf(%dn,x);【解析】此方法是将 100 到 999 所有的三位正整数一一考察,即将每一个三位正整数的个位数、十位数、百位数一一求出(各数位上的数字的提取算法见
6、下面的“数字处理”),算出三者的立方和,一旦与原数相等就输出。共考虑了900 个三位正整数。法二 main()intg,s,b;for(b=1;b=9;b+)for(s=0;s=9;s+)for(g=0;g=9;g+)if(b*b*b+s*s*s+g*g*g=b*100+s*10+g)printf(%dn,b*100+s*10+g);【解析】此方法是用 1 到 9 做百位数字、0 到 9 做十位和个位数字,将组成的三位正整数与每一组的三个数的立方和进行比较,一旦相等就输出。共考虑了 900 个组合(外循环单独执行的次数为 9,两个内循环单独执行的次数分别为 10 次,故 if 语句被执行的次数
7、为91010=900),即 900 个三位正整数。与法一判断的次数一样。2排序(1)冒泡排序(起泡排序)假设要对含有 n 个数的序列进行升序排列,冒泡排序算法步骤是:从存放序列的数组中的第一个元素开始到最后一个元素,依次对相邻两数进行比较,若前者大后者小,则交换两数的位置;第趟结束后,最大数就存放到数组的最后一个元素里了,然后从第一个元素开始到倒数第二个元素,依次对相邻两数进行比较,若前者大后者小,则交换两数的位置;重复步骤n-1 趟,每趟比前一趟少比较一次,即可完成所求。例 1、任意读入 10 个整数,将其用冒泡法按升序排列后输出。#definen10 main()intan,i,j,t;f
8、or(i=0;in;i+)scanf(%d,&ai);for(j=1;j=n-1;j+)/*n 个数处理 n-1 趟*/for(i=0;iai+1)t=ai;ai=ai+1;ai+1=t;for(i=0;in;i+)printf(%dn,ai);(2)选择法排序 选择法排序是相对好理解的排序算法。假设要对含有 n 个数的序列进行升序排列,算法步骤是:从数组存放的 n 个数中找出最小数的下标(算法见下面的“求最值”),然后将最小数与第 1 个数交换位置;除第 1 个数以外,再从其余 n-1 个数中找出最小数(即 n 个数中的次小数)的下标,将此数与第 2 个数交换位置;重复步骤n-1 趟,即可完
9、成所求。例 1、任意读入 10 个整数,将其用选择法按升序排列后输出。#definen10 main()intan,i,j,k,t;for(i=0;in;i+)scanf(%d,&ai);for(i=0;in-1;i+)/*处理 n-1 趟*/k=i;/*总是假设此趟处理的第一个(即全部数的第 i 个)数最小,k 记录其下标*/for(j=i+1;jn;j+)if(ajak)k=j;if(k!=i)t=ai;ai=ak;ak=t;for(i=0;ian-2)an-1=x;/*比最后一个数还大就往最后一个元素中存放*/else /*查找待插位置*/j=0;while(jaj)j+;for(k=n
10、-2;k=j;k-)/*从最后一个数开始直到待插位置上的数依次后移一位*/ak+1=ak;aj=x;/*插入待插数*/for(j=0;j=n-1;j+)printf(%d,aj);插入法排序的要领就是每读入一个数立即插入到最终存放的数组中,每次插入都使得该数组有序。例 2、任意读入 10 个整数,将其用插入法按降序排列后输出。(提示:将第 2 至第 10 个数一一有序插入到数组 a 中)#definen10 main()intan,i,j,k,x;scanf(%d,&a0);/*读入第一个数,直接存到 a0中*/for(j=1;jn;j+)/*将第 2 至第 10 个数一一有序插入到数组 a
11、中*/scanf(%d,&x);if(xaj-1)aj=x;/*比原数列最后一个数还小就往最后一个元素之后存放新读的数*/else /*以下查找待插位置*/i=0;while(xai&i=i;k-)ak+1=ak;ai=x;/*插入待插数*/for(i=0;in;i+)printf(%dn,ai);(4)归并排序 即将两个都升序(或降序)排列的数据序列合并成一个仍按原序排列的序列。例 1、有一个含有 6 个数据的升序序列和一个含有 4 个数据的升序序列,将二者合并成一个含有 10 个数据的升序序列。#definem6#definen4 main()intam=-3,6,19,26,68,100
12、,bn=8,10,12,22;inti,j,k,cm+n;i=j=k=0;while(im&jn)/*将 a、b 数组中的较小数依次存放到 c 数组中*/if(ai=m&j=n&im)/*若 b 中数据全部存放完毕,将 a 中余下的数全部存放到 c 中*/ck=ai;k+;i+;for(i=0;im+n;i+)printf(%d,ci);3查找(1)顺序查找(即线性查找)顺序查找的思路是:将待查找的量与数组中的每一个元素进行比较,若有一个元素与之相等则找到;若没有一个元素与之相等则找不到。例 1、任意读入 10 个数存放到数组 a 中,然后读入待查找数值,存放到 x 中,判断 a 中有无与 x
13、 等值的数。#defineN10 main()intaN,i,x;for(i=0;iN;i+)scanf(%d,&ai);/*以下读入待查找数值*/scanf(%d,&x);for(i=0;iN;i+)if(ai=x)break;/*一旦找到就跳出循环*/if(iN)printf(Found!n);elseprintf(Notfound!n);(2)折半查找(即二分法)顺序查找的效率较低,当数据很多时,用二分法查找可以提高效率。使用二分法查找的前提是数列必须有序。二分法查找的思路是:要查找的关键值同数组的中间一个元素比较,若相同则查找成功,结束;否则判别关键值落在数组的哪半部分,就在这半部分中
14、按上述方法继续比较,直到找到或数组中没有这样的元素值为止。例 1、任意读入一个整数 x,在升序数组 a 中查找是否有与 x 等值的元素。#definen10 main()intan=2,4,7,9,12,25,36,50,77,90;intx,high,low,mid;/*x 为关键值*/scanf(%d,&x);high=n-1;low=0;mid=(high+low)/2;while(amid!=x&lowhigh)if(xamid)high=mid-1;/*修改区间上界*/elselow=mid+1;/*修改区间下界*/mid=(high+low)/2;if(x=amid)printf(
15、Found%d,%dn,x,mid);elseprintf(Notfoundn);三、数值计算常用经典算法 1级数计算 级数计算的关键是“描述出通项”,而通项的描述法有两种:一为直接法、二为间接法又称递推法。直接法的要领是:利用项次直接写出通项式;递推法的要领是:利用前一个(或多个)通项写出后一个通项。可以用直接法描述通项的级数计算例子有:(1)1+2+3+4+5+(2)1+1/2+1/3+1/4+1/5+等等。可以用间接法描述通项的级数计算例子有:(1)1+1/2+2/3+3/5+5/8+8/13+(2)1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+等等。(1)直接法求通项 例 1、求 1+1
16、/2+1/3+1/4+1/5+1/100 的和。main()floats;inti;s=;for(i=1;i=100;i+)s=s+i;printf(1+1/2+1/3+.+1/100=%fn,s);【解析】程序中加粗部分就是利用项次 i 的倒数直接描述出每一项,并进行累加。注意:因为 i 是整数,故分子必须写成的形式!(2)间接法求通项(即递推法)例 2、计算下列式子前 20 项的和:1+1/2+2/3+3/5+5/8+8/13+。分析此题后项的分子是前项的分母,后项的分母是前项分子分母之和。main()floats,fz,fm,t,fz1;inti;s=1;/*先将第一项的值赋给累加器 s
17、*/fz=1;fm=2;t=fz/fm;/*将待加的第二项存入 t 中*/for(i=2;i=20;i+)s=s+t;/*以下求下一项的分子分母*/fz1=fz;/*将前项分子值保存到 fz1 中*/fz=fm;/*后项分子等于前项分母*/fm=fz1+fm;/*后项分母等于前项分子、分母之和*/t=fz/fm;printf(1+1/2+2/3+.=%fn,s);下面举一个通项的一部分用直接法描述,另一部分用递推法描述的级数计算的例子:例 3、计算级数的值,当通项的绝对值小于eps 时计算停止。#include floatg(floatx,floateps);main()floatx,eps;
18、scanf(%f%f,&x,&eps);printf(n%f,%fn,x,g(x,eps);floatg(floatx,floateps)intn=1;floats,t;s=1;t=1;dot=t*x/(2*n);s=s+(n*n+1)*t;/*加波浪线的部分为直接法描述部分,t 为递推法描述部分*/n+;while(fabs(t)eps);returns;2一元非线性方程求根(1)牛顿迭代法 牛顿迭代法又称牛顿切线法:先任意设定一个与真实的根接近的值 x0 作为第一次近似根,由 x0 求出 f(x0),过(x0,f(x0)点做 f(x)的切线,交 x 轴于 x1,把它作为第二次近似根,再由
19、x1 求出 f(x1),过(x1,f(x1)点做 f(x)的切线,交 x 轴于 x2,如此继续下去,直到足够接近(比如|x-x0|=1e-5);printf(%fn,x);(2)二分法 算法要领是:先指定一个区间x1,x2,如果函数 f(x)在此区间是单调变化的,则可以根据f(x1)和 f(x2)是否同号来确定方程 f(x)=0 在区间x1,x2内是否有一个实根;如果 f(x1)和 f(x2)同号,则 f(x)在区间x1,x2内无实根,要重新改变 x1 和 x2 的值。当确定 f(x)在区间x1,x2内有一个实根后,可采取二分法将x1,x2一分为二,再判断在哪一个小区间中有实根。如此不断进行下
20、去,直到小区间足够小为止。具体算法如下:(1)输入 x1 和 x2 的值。(2)求 f(x1)和 f(x2)。(3)如果 f(x1)和 f(x2)同号说明在x1,x2内无实根,返回步骤(1),重新输入 x1 和 x2的值;若 f(x1)和 f(x2)不同号,则在区间x1,x2内必有一个实根,执行步骤(4)。(4)求 x1 和 x2 的中点:x0=(x1+x2)/2。(5)求 f(x0)。(6)判断 f(x0)与 f(x1)是否同号。如果同号,则应在x0,x2中寻找根,此时 x1 已不起作用,用 x0 代替 x1,用 f(x0)代替f(x1)。如果不同号,则应在x1,x0中寻找根,此时 x2 已
21、不起作用,用 x0 代替 x2,用 f(x0)代替 f(x2)。(7)判断 f(x0)的绝对值是否小于某一指定的值(例如 10-5)。若不小于 10-5,则返回步骤(4)重复执行步骤(4)、(5)、(6);否则执行步骤(8)。(8)输出 x0 的值,它就是所求出的近似根。例如,用二分法求方程 2x3-4x2+3x-6=0 在(-10,10)之间的根。#include main()floatx1,x2,x0,fx1,fx2,fx0;do printf(Enterx1&x2);scanf(%f%f,&x1,&x2);fx1=2*x1*x1*x1-4*x1*x1+3*x1-6;fx2=2*x2*x2
22、*x2-4*x2*x2+3*x2-6;while(fx1*fx20);do x0=(x1+x2)/2;fx0=2*x0*x0*x0-4*x0*x0+3*x0-6;if(fx0*fx1)1e-5);printf(%fn,x0);3梯形法计算定积分 定积分 的几何意义是求曲线 y=f(x)、x=a、x=b以及 x 轴所围成的面积。可以近似地把面积视为若干小的梯形面积之和。例如,把区间a,b分成 n 个长度相等的小区间,每个小区间的长度为 h=(b-a)/n,第 i 个小梯形的面积为f(a+(i-1)h)+f(a+ih)h/2,将 n 个小梯形面积加起来就得到定积分的近似值:根据以上分析,给出“梯形
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