全国近年高考数学一轮复习第8章平面解析几何第1讲直线的倾斜角与斜率学案(2021-2022学年)8542.pdf
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1、第 1 讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 板块一 知识梳理自主学习 必备知识 考点 1 直线的倾斜角与斜率。直线的倾斜角(1)定义:x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角.当直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 0。(2)倾斜角的范围为 08.2。直线的斜率()定义:一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母表示,即kt,倾斜角是 90的直线斜率不存在.(2)过两点的直线的斜率公式 经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)()的直线的斜率公式为错误!未定义书签。.考点 直线方程的几种形式 必会结论 直线的斜率与倾斜角之间的关系 牢记口诀:“斜率变化分
2、两段,90是分界线;遇到斜率要谨记,存在与否要讨论”考点自测 1.判断下列结论的正误.(正确的打“”,错误的打“”)(1)直线的倾斜角越大,其斜率越大()()斜率公式k=错误!,不适用于垂直于x轴和平行于轴的直线.()(3)当直线的斜率不存在时,其倾斜角存在()(4)过点P(x,y1)的直线方程一定可设为y-y1k(xx1)()(5)直线方程的截距式错误!未定义书签。错误!1 中,a,b均应大于 0。()答案(1)(2)(3)(4)(5)2.课本改编过点(-1,),N(m1,4)的直线的斜率等于 1,则m的值为()A。1 B.错误!C.错误!未定义书签。答案 A 解析 由错误!1,得m.故选
3、A.3。课本改编倾斜角为 15,在轴上的截距为1 的直线方程是()。x-10 .x-y10 C.x-1=0 Dy+1=答案 D 解析 直线的斜率为k=an15=-,所以直线方程为=-x1,即xy+1=0.4.课本改编过两点(,3),(2,)的直线方程为()A。x-y-30 B.xy。+y0 Dxy=0 答案 B 解析 所求直线的斜率k=f(3-1,2)1,又过点(0,3),所以直线方程为x,即+y30.已知直线l:a+y-2-a0 在轴和y轴上的截距相等,则的值是()。1 .1 C。或1 D.-2 或 1 答案 D 解析 由题意可知0.当x=0 时,ya+2;当时,=错误!,错误!=+2,解得
4、a-或a1.。218长春模拟直线l:(a2)(a1)=,则直线l恒过定点_ 答案(2,)解析 直线l的方程变形为a(x+y)-2x+6=0,由错误!解得x2,y=2,所以直线l恒过定点(2,-2).板块二 典例探究考向突破 考向 直线的倾斜角与斜率 例 1 直线l过点P(,0),且与以A(2,1),B(0,错误!未定义书签。)为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为_ 答案(-,-错误!1,)解析 如图,kAP错误!未定义书签。,kBP错误!未定义书签。错误!未定义书签。,k(-,错误!1,+).若将题中P(1,0)改为P(-,),其他条件不变,求直线斜率的取值范围 解 P(-1,),A
5、(2,),(0,错误!),kAP=错误!错误!未定义书签。,P=错误!错误!未定义书签。如图可知,直线l斜率的取值范围为错误!。若将题中条件改为“经过P(,1)作直线,若直线与连接A(1,-),B(2,1)的线段总有公共点”,求直线l的倾斜角的范围.解 如图所示,kPA错误!未定义书签。=1,kP=f(1-(1),0)1,由图可观察出:直线l倾斜角的范围是错误!错误!未定义书签。触类旁通 直线的斜率与倾斜角的区别与联系 【变式训练】(1)8重庆巴蜀中学诊断直线x+(a2+1)y10 的倾斜角的取值范围是()A.错误!B.错误!未定义书签。C。错误!错误!D.错误!未定义书签。错误!答案 B 解
6、析 依题意,直线的斜率k=-错误!未定义书签。1,),因此其倾斜角的取值范围是错误!未定义书签。(2)若经过两点A(4,2),(2,-3)的直线的倾斜角为错误!,则y等于()1 B C0 D.答案 B 解析 由错误!未定义书签。tn错误!未定义书签。=,得-4-y=2,所以y-3。考向 求直线的方程 例 2 根据所给条件求直线的方程:(1)直线过点(4,0),倾斜角的正弦值为错误!;(2)直线过点(3,4),且在两坐标轴上的截距之和为 12;(3)与直线 3x-4y5=0 关于y轴对称.解()由题设知该直线的斜率存在,故可采用点斜式.设倾斜角为,则 sin错误!(0),从而 cos错误!未定义
7、书签。,则ktan=错误!,故所求直线方程为y错误!(x4),即x+y+4=0 或-340。()由题设知截距不为 0,设直线方程为错误!未定义书签。y12-a,又直线过点(3,4),从而a+1a=1,解得a-4 或a 9.故所求直线方程为 4xy1=0 或x3y-9=0。()直线 3x-y0 与轴的交点为A错误!未定义书签。,所求直线过A错误!未定义书签。,且斜率k错误!,所求直线方程为y-错误!x错误!,即 3+4y5=0。触类旁通 求直线方程的两种方法(1)直接法:根据已知条件,选择适当的直线方程形式,直接写出直线方程,选择时,应注意各种形式的方程的适用范围,必要时要分类讨论.(2)待定系
8、数法,即设定含有参数的直线方程,由条件列出方程(组),再求出参数,最后将其代入直线方程。【变式训练 2】已知BC的三个顶点分别为A(3,0),(2,1),C(-2,3),求:(1)B边所在直线的方程;(2)B边上中线AD所在直线的方程;(3)BC边的垂直平分线DE的方程 解(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(2,3)两点,由两点式得BC的方程为错误!=错误!未定义书签。,即x2y-0.(2)设BC边的中点D的坐标为(x,),则f(2-,2)0,错误!=2。BC边的中线AD过点(,0),D(,2)两点,由截距式得A所在直线方程为x3+错误!未定义书签。=1,即x60.(3)由(1)知直线C的
9、斜率1-错误!未定义书签。,则直线的垂直平分线DE的斜率k=。由(2)知点D的坐标为(0,)可求出直线的点斜式方程为y-2=2(x-),即 2x-y+=0 考向 直线方程的应用 例 3 2018无锡检测已知直线l:kxy1+2=(kR)(1)证明:直线l过定点;(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,为坐标原点,设AB的面积为,求S的最小值及此时直线l的方程 解(1)证明:直线l的方程可化为yk(x2)1,故无论k取何值,直线l总过定点(2,1)(2)直线l的方程为x+2k1,则直线l在y轴上的截距为k+1,要使直线l不经过第四象限,
10、则错误!未定义书签。解得k的取值范围是0,).()依题意,直线在x轴上的截距为-错误!未定义书签。,在y轴上的截距为 1+2,A错误!,B(0,+2k)又1+2kk,b0).设直线l的方程为错误!错误!,则错误!错误!=,所以|OA|+|OB|=a+=(+)错误!2错误!未定义书签。错误!2错误!未定义书签。,当且仅当“=b=”时取等号,此时直线l的方程为y2=0(2)设直线l的斜率为k,则0,直线l的方程为y-1=k(x1),则A错误!,B(0,-),所以|M|+M|错误!未定义书签。2+12(11+k)2=2+错误!未定义书签。2k2f(1k2)=4.当且仅当k212,即k1 时取等号,此
11、时直线l的方程为y1=(),即+y2=0。核心规律 1.明确直线方程各种形式的适用条件 点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线;两点式方程不能表示垂直于x、轴的直线;截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线 2.求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程,再求直线方程中的系数,这种方法叫待定系数法 满分策略 1。求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在;每条直线都有倾斜角,但不一定每条直线都存在斜率.2根据斜率求倾斜角,一是要注意倾斜角的范围;二是要考虑正切函数的单调性 3。截距为一个实数,既可以为正数,也可以为负数,还可以为,这是解题时容易忽略的一点 板块三 启智培优破译高考 易错警示
12、系列 1都是漏掉“过原点”情况惹的祸 208济南检测求经过点P(,3),并且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程.错因分析 利用截距式方程求解时,忘记过原点的情况,而漏掉直线方程 3-2y=。解 解法一:(1)当截距为 0 时,直线l过点(0,0),(,3),则直线l的斜率为k错误!=错误!未定义书签。,因此,直线l的方程为y=2x,即 3y。(2)当截距不为 0 时,可设直线l的方程为xa错误!直线l过点P(2,3),(2,a)错误!未定义书签。=1,=,直线l的方程为xy-0.综上可知,直线l的方程为 32y0 或-0。解法二:由题意可知所求直线斜率存在,则可设y-3=(x2),且k0。令x
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