梅涅劳斯定理的应用练习146676.pdf
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1、 平面几何问题:1.梅涅劳斯定理 一直线分别截ABC 的边BC、CA、AB(或其 延 长线)于D、E、F,则1FBAFEACEDCBD。背景简介:梅涅劳斯(Menelaus)定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。证明:说明:(1)结论的图形应考虑直线与三角形三边交点的位置情况,因而本题图形应该有两个。(2)结论的结构是三角形三边上的6 条线段的比,首尾相连,组成一个比值为1的等式。(3)梅氏定理及其逆定理不仅可以用来证明点共线问题,而且是解决许多比例线段问题的有力工具。用梅氏定理求某个比值的关键,在于恰当地选取梅氏三角形和梅氏线。梅涅劳斯定理的逆定理:如果有三点F、D、E 分别在ABC的三边
2、AB、BC、CA 或其延长线上,且满足1EACEDCBDFBAF,那么 F、D、E 三点共线。利用梅涅劳斯定理的逆定理可判定三点共线。梅涅劳斯定理练习 1设 AD 是ABC的边BC 上的中线,直线CF 交 AD 于 F。求证:FBAF2EDAE。2过ABC的重心G 的直线分别交AB、AC于 E、F,交CB 延长线于D。求证:1FACFEABE。3.在ABC 中,点D 在 BC 上,31DCBD,分别在AB,AD 上,32EBAE,21GDAG,EG 交 AC 于点F,求FCAF。4.在ABCD 中,E,F 分别是AB,BC 的中点,AF 与 CE 相交于G,AF 与 DE 交于H,求 AH:HG:GF 5.设 D 为等腰Rt ABC(C=90)的直角边BC 的中点,E在 AB上,且 AE:EB=2:1,求证:CE AD 6.在ABC 中,点M 和 N 顺次三等分AC,点 X 和 Y 顺次三等分BC,AY 与 BM,BN 分别交于点S,R,求四边形SRNM 与ABC的面积之比。
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