线性代数特征值和特征向量矩阵的对角化.pptx
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1、会计学1线性代数特征值和特征向量矩阵的对角化线性代数特征值和特征向量矩阵的对角化5.1 5.1 5.1 5.1 特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量特征值与特征向量 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 1.特征值和特征向量的概念2.特征值和特征向量的计算方法3.特征值和特征向量的性质4.相似矩阵的概念和性质第1页/共43页一、特征值和特征向量的概念一、特征值和特征向量的概念一、特征值和特征向量的概念一、特征值和特征向量的概念定义 设A为n阶方阵,如果存在数及非零向量X,使得AX=X.则称为A的特征值,非零向量X称为A的对应于特征值的特征向量.注:特征向量非零.AX=X(IA)X=0其
2、有非零解的充要条件是:|IA|=0 (1)方程|IA|=0称为A的特征方程.|IA|=n+k1n1+kn1+kn是的n次多项式,称为A的特征多项式.第2页/共43页设n阶方阵A=(aij)的特征值为1,2,n,则有(1)1+2+n=a11+a22+ann(2)12n=|A|称为A的特征矩阵.226页定理5.2第3页/共43页(1)为A的特征值为特征方程|IA|=0的根二、特征值和特征向量的计算方法二、特征值和特征向量的计算方法二、特征值和特征向量的计算方法二、特征值和特征向量的计算方法AX=X(IA)X=0(2)在复数范围内,n阶方阵有n个特征值.(3)若=i为A的一个特征值,则由方程组(iI
3、A)X=0的非零解X=Pi就是A的对应于i的特征向量.(4)若Pi为A的对应于i的特征向量,则kPi(k0)也是对应于i的特征向量.第4页/共43页求n阶方阵A的特征值与特征向量的步骤:(1)求A的特征方程|IA|=0的所有解1,2,n,即为A的全部特征值(2)对每一个特征值i(i=1,2,n),求出齐次线性方程组(iIA)X=0的基础解系,便是A的对应于i的线性无关的特征向量,而对应于i的全部特征向量就是此基础解系的所有非零线性组合.第5页/共43页例1 求对角方阵=的特征值.解:的特征多项式:|I|=(1)(1)(n)的特征值为:1,2,n 第6页/共43页例2 求矩阵 的特征值和特征向量
4、.解:|IA|=(5)(+1)2A的特征值为:1=5,2=3=1第7页/共43页5IA=基础解系:对应于1=5的全部特征向量为:k1P1(k10)1=5:解方程组(5IA)X=0第8页/共43页IA=基础解系:对应于2=3=1的全部特征向量为:k2P2+k3P3 (k2,k3不全为0)2=3=1:解方程组(IA)X=0第9页/共43页定理:若是矩阵A的特征值,X是A的对应于的特征向量,则(1)k是kA的特征值;(2)m是Am的特征值(m是正整数);(3)是AT的特征值;(4)当A可逆时,1是A1的特征值,1|A|是A*的特征值;(5)若f(x)是x的多项式,则f()是f(A)的特征值特征向量保
5、持不变第10页/共43页m是矩阵Am的特征值,且X是Am的对应于m的特征向量.证:(2)再继续施行上述步骤m2次,就得AX=XA(AX)=A(X)=(AX)=(X)A2X=2XAmX=mX第11页/共43页(4)当A可逆时,0AX=XA1(AX)=A1(X)=A1XX=A1X1X=A1X1是矩阵A1的特征值,且X是A1的对应于1的特征向量.第12页/共43页定理 设矩阵A,如果,是A的对应于两个不同特征值的特征向量,则与线性无关.三、特征值和特征向量的性质三、特征值和特征向量的性质三、特征值和特征向量的性质三、特征值和特征向量的性质证 设,分别是特征值1,2(12)所对应的特征向量,则有A=1
6、,A=2 假设有数k1,k2,使得 k1+k2=0 (1)同时左乘A,得:k1(A)+k2(A)=0k11+k22=0 (2)(2)2(1)k1(12)=012,0k1=0同理可得k2=0与线性无关第13页/共43页定理 如果1,2,r是矩阵A的不同特征值,而i1,i2,是A的对应于特征值i(i=1,2,r)的线性无关的特征向量,则向量组11,12,21,22,r1,r2,也线性无关.推广 设1,2,r是矩阵A的对应于不同特征值1,2,r的特征向量,则1,2,r线性无关.第14页/共43页注:(1)对应于不同特征值的特征向量是线性无关的(2)对应于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是对应于这
7、个特征值的特征向量.(3)矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的,一个特征值具有的特征向量不唯一;一个特征向量不能对应于不同的特征值第15页/共43页定义 设A、B都是n阶方阵,如果存在可逆矩阵P,使得P1AP=B,则称B是A的相似矩阵,或者说A与B相似,记为AB.可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.(2)对称性:若AB,则BA四、相似矩阵的概念和性质四、相似矩阵的概念和性质四、相似矩阵的概念和性质四、相似矩阵的概念和性质相似满足:(1)反身性:AA(3)传递性:若AB,BC,则AC第16页/共43页定理 若A与B相似,则 (1)A与B有相同的特征多项式;(2)A与B有相同的特征方程;
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