实对称矩阵的标准形.pptx
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1、9.6 实对称矩阵的标准形实对称矩阵的标准形一、实对称矩阵的一些性质一、实对称矩阵的一些性质二、对称变换二、对称变换三、实对称矩阵可正交相似于实对角矩阵三、实对称矩阵可正交相似于实对角矩阵四、实二次型的主轴问题四、实二次型的主轴问题第1页/共47页一、一、实对称矩阵的一些性质实对称矩阵的一些性质引理引理1 1 设A是实对称矩阵,则A的特征值皆为实数证:设 是A的任意一个特征值,则有非零向量满足第2页/共47页其中 为 的共轭复数,又由A实对称,有令第3页/共47页第4页/共47页由于是非零复向量,必有故 第5页/共47页引理引理2 2 设A是实对称矩阵,在 n 维欧氏空间 上定义一个线性变换如
2、下:则对任意有 或第6页/共47页证:取 的一组标准正交基,则在基 下的矩阵为A,即第7页/共47页任取即第8页/共47页于是又 是标准正交基,第9页/共47页二、二、对称变换对称变换1 1、定义、定义则称为对称变换(对称变换(symmetric transformation)设为欧氏空间V中的线性变换,如果满足 2 2、基本性质、基本性质第10页/共47页(1)n维欧氏空间V的对称变换与n级实对称矩阵在标准正交基下是相互确定的:1 1)实对称矩阵可确定一个对称变换 正交基正交基证:设证:设为V的一组标准一组标准定义定义V的线性变换:的线性变换:则即为则即为V的对称变换的对称变换第11页/共4
3、7页2 2)对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵为为V的一组标准正交基,的一组标准正交基,证:设证:设 为为n维欧氏空间维欧氏空间V上的对称变换,上的对称变换,为为在这组基下的矩阵,即在这组基下的矩阵,即或或第12页/共47页于是于是第13页/共47页即即所以所以A为对称矩阵为对称矩阵由是对称变换,有由是对称变换,有第14页/共47页(2)(引理(引理(引理(引理3 3 3 3)对称变换的不变子空间的正交补也是它的不变子空间对 任取即 证:设 是对称变换,W为 的不变子空间 由W是 子空间,有因此故 也为的不变子空间第15页/共47页1 1、(引理(引理(引理(引理4 4 4 4)实对称矩
4、阵属于不同特征值的特征向量 分别是属于 的特征向量 则 三、三、实对称矩阵的正交相似对角化实对称矩阵的正交相似对角化是正交的 基下的矩阵,证:设实对称矩阵A为 上对称变换的在标准正交是A的两个不同特征值,第16页/共47页又即 正交有即由第17页/共47页(定理(定理(定理(定理7 7 7 7)对 总有正交矩阵T,使、证:设A为 上对称变换在标准正交基下的矩阵由实对称矩阵和对称变换互相确定的关系,只需证有n个特征向量作成的标准正交基即可第18页/共47页n=1时,结论是显然的 对 的维数n用归纳法 有一单位特征向量 ,其相应的特征值为 ,即假设n1时结论成立,对 设其上的对称变换设子空间显然W
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- 对称 矩阵 标准
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