晶体中电子的平均速和加速金属半导体和绝缘体杨.pptx
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1、Page 11 1、电子平均速度、电子平均速度由量子力学,电子的速度算符为由量子力学,电子的速度算符为由于晶体哈密顿算符中的势场项与动量算符由于晶体哈密顿算符中的势场项与动量算符p p不对易不对易 波函数并非是速度算符的本征函数波函数并非是速度算符的本征函数表明处于表明处于 状态的电子没有确定的速度,只能计算其平均速度状态的电子没有确定的速度,只能计算其平均速度第1页/共61页Page 2 将算符作用到薛定谔方程的两端,分别得到:将梯度算符作用到布洛赫函数:第2页/共61页Page 3 上式两边相等,得到 上式整理得上式整理得方程方程左边左边方程右边H H中不显含中不显含k k第3页/共61页
2、 上式乘以并对晶体积分,上式乘以并对晶体积分,积分结果等式右边为零:积分结果等式右边为零:根据算符的厄米性质根据算符的厄米性质厄米算符的定义:厄米算符的定义:第4页/共61页Page 5所以等式左边也为零:所以等式左边也为零:与(1)式比较,得到电子的平均速度电子的平均速度:第5页/共61页Page 62 2、能量和速度的关系、能量和速度的关系由(由(5 5)式,可知,电子的平均速度公与)式,可知,电子的平均速度公与能量和状态(能量和状态(k k)有关,由于)有关,由于速度是波矢的奇函数速度是波矢的奇函数:在在能带的底部和顶部,斜率dE/dk=0,所以在带顶和带底电子的速度为零。第6页/共61
3、页Page 7这种情况和自由粒子速度总是随能量增加这种情况和自由粒子速度总是随能量增加而单调增加是显然不同的。而单调增加是显然不同的。在能带中处,速度的数处,速度的数值最大,如图拐点值最大,如图拐点C C。C第7页/共61页Page 8因能量与波矢由色散关系相联系,能量因能量与波矢由色散关系相联系,能量E E变化意味着电子波矢变化意味着电子波矢k k改变,故改变,故二、电子在外场作用下的加速度,有效质量二、电子在外场作用下的加速度,有效质量当对一维电子施加外场时,电子受到外场力的作用。当对一维电子施加外场时,电子受到外场力的作用。单位时间内外力所作的功等于电子能量的改变量:单位时间内外力所作的
4、功等于电子能量的改变量:K K的变化率正比于电子所受的外力,并有相同的方向,具有牛顿第二定律的的变化率正比于电子所受的外力,并有相同的方向,具有牛顿第二定律的形式。但形式。但f f是外力。是外力。第8页/共61页Page 9令(8)式化为上式表明在外力作用下,晶体中的电子犹如一个质量为表明在外力作用下,晶体中的电子犹如一个质量为的自由粒子的自由粒子的运动的运动次准经典运动。次准经典运动。为有效质量。因此称因此称第9页/共61页Page 10在三维情况下,晶体中电子的有效质量是二阶张量,其分量为在三维情况下,晶体中电子的有效质量是二阶张量,其分量为由于由于有效质量是张量有效质量是张量,所以电子的
5、加速度一般与外力方向不一致。这是因,所以电子的加速度一般与外力方向不一致。这是因为除了外力作用外,电子还受到晶格周期场的作用,这个作用由有效质量所概括。为除了外力作用外,电子还受到晶格周期场的作用,这个作用由有效质量所概括。有效质量取决于电子的状态,因为不同的状态能带的曲率不同。有效质量取决于电子的状态,因为不同的状态能带的曲率不同。一般而言,对于宽能带,一般而言,对于宽能带,E E(k k)随)随k k的变化较大,有效质量小,而对于窄能的变化较大,有效质量小,而对于窄能带,有较质量较大。带,有较质量较大。紧束缚观点:原子外层电子波函数交叠较多,能带较宽,有较质量较小,而紧束缚观点:原子外层电
6、子波函数交叠较多,能带较宽,有较质量较小,而内层电子波函数交叠甚少,能带较窄,有较质量较大,定域性更强一些。内层电子波函数交叠甚少,能带较窄,有较质量较大,定域性更强一些。第10页/共61页Page 11以简立方为例,计算紧束缚近似下电子的有效质量:以简立方为例,计算紧束缚近似下电子的有效质量:紧束缚近似下,简立方的紧束缚近似下,简立方的s s态电子的能量为:态电子的能量为:其它交叉项的倒数全为零。其它交叉项的倒数全为零。在能带底处在能带底处:第11页/共61页Page 12在能带顶处在能带顶处:在能带在能带:上面讨论表明:上面讨论表明:在带底及带顶在带底及带顶,m m*=常数常数,与自由粒子
7、在实空间中的运动相似与自由粒子在实空间中的运动相似.随随着着E E的增大(见第一布里渊区的约化能带图)的增大(见第一布里渊区的约化能带图),能能带展宽越大带展宽越大,也越大也越大,m m*就越小就越小.此时电子越容易加速此时电子越容易加速,共有化运动的特征越明显。共有化运动的特征越明显。第12页/共61页晶体中电子的有效质量不同于自由电子的质量,是因为计入晶体中电子的有效质量不同于自由电子的质量,是因为计入了周期场的影响,而这种影响主要通过布拉格反射的形式在电子了周期场的影响,而这种影响主要通过布拉格反射的形式在电子和晶格之间交换动量:和晶格之间交换动量:有效质量大于零的情况,电子从外力场获得
8、的动量多于电子交有效质量大于零的情况,电子从外力场获得的动量多于电子交给晶格的动量给晶格的动量 有效质量小于零的情况,电子从外场中得到的动量比它交给晶格有效质量小于零的情况,电子从外场中得到的动量比它交给晶格的动量少。的动量少。有效质量趋于无穷时,电子从外场中获得的能量全部交给晶格,有效质量趋于无穷时,电子从外场中获得的能量全部交给晶格,这时,电子的平均加速度这零。这时,电子的平均加速度这零。第13页/共61页 5.11 5.11 金属、半导体和绝缘体金属、半导体和绝缘体Page 14 一、满带不导电一、满带不导电首先讨论没有外加电场的情形。首先讨论没有外加电场的情形。考虑一维考虑一维布拉菲格
9、子中与原子布拉菲格子中与原子1s1s能级相对应的能带。能级相对应的能带。能带理论的一大贡献即成功地解释了固体为何会具有极不相同的导电本领,能带理论的一大贡献即成功地解释了固体为何会具有极不相同的导电本领,有的表现为导体,有的表现为绝缘体和半导体。有的表现为导体,有的表现为绝缘体和半导体。单位体积晶体中,其中一个波矢为单位体积晶体中,其中一个波矢为的电子对电流密度的贡献为的电子对电流密度的贡献为能带中所有电子对电流的贡献为零。能带中所有电子对电流的贡献为零。第14页/共61页Page 15波矢为波矢为k kx x和和-k-kx x的电子对电流的贡献成对抵消的电子对电流的贡献成对抵消这是因为这是因
10、为因而总电流为零。因而总电流为零。第15页/共61页Page 16现在设加上指向左方的外电场现在设加上指向左方的外电场则则每个电子均受到一电场力,使其波矢在经历每个电子均受到一电场力,使其波矢在经历tt时时间后的增加量可计算如下:间后的增加量可计算如下:有外加电场的情形有外加电场的情形第16页/共61页Page 17于是所有电子均右移使电子在k空间的分布如右图。満带不导电的解释:満带不导电的解释:能量具有倒格子的周期性,图中位于/a右方 k范围内的状态(现在是被电子占有的状态),完全等价于/a左方k范围内的状态(现在是空态),因此两图的电子分布是完全等价的。第17页/共61页Page 18一个
11、电子的代表点越过位于一个电子的代表点越过位于/a/a 的布里渊区的边界相当于又从位于的布里渊区的边界相当于又从位于 /a/a 的边界进入同一布里渊区。的边界进入同一布里渊区。有电场后,満带中电子的状态随时发生变有电场后,満带中电子的状态随时发生变化,但整体上的分布始终没有变化,仍保持对化,但整体上的分布始终没有变化,仍保持对称分布。称分布。所有电子对电流的贡献依然与无外电场时所有电子对电流的贡献依然与无外电场时一样地成对相消,即当有外电场时,満带也不一样地成对相消,即当有外电场时,満带也不导电。导电。第18页/共61页Page 19二、不满能带二、不满能带无外场时,不满能带电子的分布是对称的,
12、总电流为零,当施加外电场经时间t后波矢变化k,破坏了电子在倒空间的对称分布,电子速度不再能全部成对抵消,如图。因而能产生电流。即不满的带能导电。第19页/共61页Page 20(a a)无外电场)无外电场(b b)有外电场)有外电场 不满带电子在不满带电子在k k空间的分布空间的分布第20页/共61页Page 21三、价带填充程度决定导电性导体、绝缘体与半导体三、价带填充程度决定导电性导体、绝缘体与半导体vv原子结合成晶体后,原子的能级转化为相应的能带。由于原子内层电子能级原子结合成晶体后,原子的能级转化为相应的能带。由于原子内层电子能级是充满的,所以相应内层能带也是满带,是不导电的。是充满的
13、,所以相应内层能带也是满带,是不导电的。晶体是否导电取决于与价电子能级对应的价带是否被电子充满晶体是否导电取决于与价电子能级对应的价带是否被电子充满。v如果价带是满带,这种晶体就是绝缘体或半导体,否则就是导体。v由于每个能带可容纳2N个电子,N是晶体原胞数目,因此:价带是否被电子填満取决于每个原胞所含的价电子数目,以及能带是否交叠。第21页/共61页Page 22n n对对Li,Na,KLi,Na,K等等碱金属碱金属,每原子含一个价电子每原子含一个价电子、体心立方布拉菲晶格、每个原胞只、体心立方布拉菲晶格、每个原胞只有一个价电子,整个晶体中的价电子只能填満半个价带,它们是导体;有一个价电子,整
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- 晶体 电子 平均 加速 金属 半导体 绝缘体
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