泰勒级数与幂级数上.pptx
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1、2.收敛点与收敛域例如:是公比为x的等比级数如果 ,常数项级数 收敛,则称 为级数 的收敛点,否则称为发散点.函数项级数 的所有收敛点的全体称为收敛域,所有发散点的全体称为发散域.当 时,收敛;收敛域:当 时,发散;发散域:第1页/共34页余项3.和函数若函数项级数的部分和例如:在收敛域:其和函数为:注意:级数的收敛域未必等于和函数的定义域在收敛域上,函数项级数的和是 的函数 ,称 为函数项级数的和函数。第2页/共34页2.1、定义(x-x0)的幂级数:x的幂级数:其中 为幂级数系数.称为x1的幂级数 由于收敛域与发散域互补,下面只研究收敛域.第3页/共34页2.2、幂级数的敛散性特点定理2此
2、时幂级数的收敛区间有以下四种可能:如果幂级数 不是仅在 一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数 存在,它具有下列性质:当 时,幂级数绝对收敛;当 时,幂级数发散;当 时,幂级数可能收敛也可能发散.第4页/共34页定义:正数R称为幂级数的收敛半径.幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.规定问题如何求幂级数的收敛半径?要求幂级数的收敛区间,关键求实数R2.3、幂级数的收敛半径与收敛区间第5页/共34页定理3 如果幂级数 的所有系数 ,设 (或 )(1)则当 时,;(2)当 时,;(3)当 时,。第6页/共34页解:所以收敛半径 R=3例1.求 的收敛半径根据系数的表达式,也可以
3、第7页/共34页例2 求下列幂级数的收敛区间:解该级数收敛该级数发散第8页/共34页第9页/共34页是发散的是收敛的故收敛区间为(0,1.,)1,0(级数收敛x第10页/共34页定理3 如果幂级数 的所有系数 ,设 (或 )(1)则当 时,;(2)当 时,;(3)当 时,。注意:如果幂级数 中奇次项或偶次项系数为零,则不能利用该定理确定收敛半径。第11页/共34页解:缺少偶次幂的项级数收敛,例3 求幂级数 的收敛域.第12页/共34页级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛域为为什么?第13页/共34页解:例4练习:收敛区间为-2,2,(-2,2),(-2,2,-2,2)第14页/共34页注
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