第三章第九节.pptx
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1、1.三角形中常用的面积公式(1)S=ah(h表示边a上的高).(2)(3)S=r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).第1页/共75页2.实际问题中的有关概念(1)仰角和俯角:在视线和水平线所成的角中,视线在水平线_ 的角叫仰角,在水平线_ 的角叫俯角(如图).上方下方第2页/共75页(2)方位角:从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为(如图).(3)方向角:相对于某一正方向的水平角(如图)(i)北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向;(ii)北偏西即由指北方向逆时针旋转到达目标方向;(iii)南偏西等其他方向角类似.第3页/共75页(4)坡角与坡比:()坡角:坡面与水
2、平面所成的二面角的度数(如图,角为坡角);()坡比:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图,i为坡度).第4页/共75页(5)视角:观测点与观测目标两端点的连线所成的角叫做视角(如图).第5页/共75页判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)面积公式中 其实质就是面积公式 (h为相应边上的高)的变形.()(2)俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为 ()(3)方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关系.()(4)方位角大小的范围是0,2),方向角大小的范围一般是 ()第6页/共75页【解析】(1)正确.如 即为边a上的高.(2)错误.俯角是视线与水平线所构成的角
3、.(3)正确.方位角与方向角均是确定观察点与目标点之间的位置关系的.(4)正确.方位角是由正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,故大小的范围为0,2),而方向角大小的范围由定义可知为答案:(1)(2)(3)(4)第7页/共75页1.在ABC中,AB=1,AC=2,则三角形面积SABC=_.【解析】由已知得 AB=c=1,AC=b=2,答案:第8页/共75页2.在ABC中,则cos A等于_.【解析】由已知得 得,即 故答案:第9页/共75页3.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C的北偏东40,灯塔B在观察站C的南偏东60,则灯塔A在灯塔B的方向为_.【解析】由
4、已知ACB180406080,又ACBC,AABC50,605010.灯塔A位于灯塔B的北偏西10.答案:北偏西10第10页/共75页4.已知A,B两地的距离为10 km,B,C两地的距离为20 km,现测得ABC=120,则A,C两地的距离为_km.【解析】如图所示,由余弦定理可得:AC2=100+400-21020cos 120=700,AC=(km).答案:第11页/共75页5.海上有A,B,C三个小岛,测得A,B两岛的距离为10海里,BAC=60,ABC=75,则B,C间的距离为_ 海里.【解析】连结A,B,C岛,得ABC,则C=180-BAC-ABC=45,则由正弦定理得:所以 (海
5、里).答案:第12页/共75页考向 1 与三角形面积有关的问题【典例1】(1)(2013南京模拟)已知O为ABC内一点,满足 且 则SOBC=_.(2)(2013扬州模拟)在ABC中,若A=30,b=2,且 则SABC=_.第13页/共75页(3)(2013镇江模拟)ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2bcos A=ccos A+acos C,求A的值;若 求ABC的面积.第14页/共75页【思路点拨】(1)先确定O点的位置,可知O为ABC的重心,再利用向量关系求得ABC面积即可求得SOBC.(2)利用已知条件求边a,b,角C即可求得面积.(3)利用正弦定理得角A,再利用余弦定理
6、得bc,从而可求面积.第15页/共75页【规范解答】(1)由 可知O为ABC的重心,故由 得cbcosBAC=2,又故bc=4,故答案:第16页/共75页(2)由 得2cacos B=c2,即2acos B=c,方法一:故2sin Acos B=sin C=sin(A+B),得2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B,故sin Acos B-cos Asin B=0,即sin(A-B)=0,第17页/共75页又A,B是ABC的内角,故A-B=0,A=B,a=b=2.A=30,B=30,C=120.由 得第18页/共75页方法二:由2acos B=c得,即a2+c2-b
7、2=c2,a2=b2,即a=b=2,A=B.又A=30,B=30,C=120.答案:第19页/共75页(3)从已知条件得2cos Asin B=sin Acos C+cos Asin C=sin(A+C)=sin B.sin B0,又0A180,A=60.由余弦定理得,7=a2=b2+c2-2bccos 60=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,代入b+c=4,得bc=3.故ABC的面积为第20页/共75页【互动探究】若将本例(1)中“”修改为“O为ABC中线AD的中点”.其他条件不变,则OBC的面积又该如何求解?第21页/共75页【解析】由 得cbcosBAC=2,又又O为ABC中线AD
8、的中点,故第22页/共75页【拓展提升】三角形的面积公式(1)已知一边和这边上的高:(2)已知两边及其夹角:第23页/共75页(3)已知三边:其中(4)已知两角及两角的共同边:(5)已知三边和外接圆半径R,则第24页/共75页【变式备选】在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知(1)求 的值.(2)若 求ABC的面积S.第25页/共75页【解析】(1)方法一:在ABC中,由及正弦定理可得即cos Asin B-2cos Csin B=2sin Ccos B-sin Acos B,则cos Asin B+sin Acos B=2sin Ccos B+2cos Csin B,sin(
9、A+B)=2sin(C+B),而A+B+C=,则sin C=2sin A,即第26页/共75页方法二:在ABC中,由 可得,bcos A-2bcos C=2ccos B-acos B,由余弦定理可得整理可得c=2a.由正弦定理可得第27页/共75页(2)由c=2a及 可得则a=1,c=2,即第28页/共75页考向 2 测量距离问题【典例2】(1)如图,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离是50 m,ACB=45,CAB=105 后,就可以计算出A,B两点的距离为_.第29页/共75页(2)在相距2千米的A,B两点处测量目标点C,若CAB=75,C
10、BA=60,则A,C两点之间的距离为_ 千米.(3)某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处,观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶.公路的走向是M站的北偏东40.开始时,汽车到A的距离为31千米,汽车前进20千米后,到A的距离缩短了10千米.此时汽车离汽车站的距离是_.第30页/共75页【思路点拨】(1)利用三角形的内角和定理得ABC,再利用正弦定理可解.(2)利用已知角求得ACB,再利用正弦定理求解.(3)先画出图形,利用已知条件及余弦定理求角C的余弦值,再利用正弦定理求解即可.第31页/共75页【规范解答】(1)由ACB=45,CAB=105,得ABC=30,由正弦定理得答案:m第32页
11、/共75页(2)由CAB=75,CBA=60,得ACB=180-75-60=45.由正弦定理得即 (千米).答案:第33页/共75页(3)由题设,画出示意图,设汽车前进20千米后到达B处.在ABC中,AC=31,BC=20,AB=21,由余弦定理得则第34页/共75页所以sinMAC=sin(120-C)=sin 120cos C-cos 120sin C=在MAC中,由正弦定理得从而有MB=MC-BC=15(千米),所以汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站.答案:15千米第35页/共75页【互动探究】若将本例(1)中A,B两点放到河岸的同侧,但不能到达,在对岸的岸边选取相距 km的C,D两
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