空气动力学chap学习.pptx
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1、问题:为什么需要把微分方程线性化?问题:为什么需要把微分方程线性化?线性化有什么好处?线性化有什么好处?当微分方程为线性方程,边界条件也是线性时,方程的解满足叠加原理。即,可以将一个复杂的问题,分解成若干简单的问题,分别求解,然后将解叠加。这样问题大大简化。如:绕翼型的流动=有攻角的平板+无厚度无攻角的弯度+无攻角无弯度的厚度+=第1页/共111页11.1 Introduction第四章学习了低速不可压流动流过翼型的问题。第四章学习了低速不可压流动流过翼型的问题。1 1)如果高亚音速流动流过翼型会发生什么)如果高亚音速流动流过翼型会发生什么?2 2)压缩性如何影响翼型的气动特性?)压缩性如何影
2、响翼型的气动特性?3 3)如何分析和计算压缩性的影响?)如何分析和计算压缩性的影响?本章的目的是研究本章的目的是研究0.3M1时二维翼型的流动特性时二维翼型的流动特性,这时这时不可压假设不再成立不可压假设不再成立.第2页/共111页Figure 11.1 Road Map for Chap.11.velocity potential equation Linearized velocity potential equation Prandtl-GlauetCompressibilty correction Improved compressibilty Correction Critical
3、Mach umber The area rule for transonic flow Supercritical airfoils Drag-Divergence Mach number:Sound Barrier 第3页/共111页 速度势方程速度势方程 线性化的速度势方程线性化的速度势方程 Prandtl-Glauet压缩性修正压缩性修正改进的压缩性修正改进的压缩性修正 临界马赫数临界马赫数跨音速面积律跨音速面积律 超临界翼型超临界翼型 Figure 11.1 11章路线图阻力发散马赫数阻力发散马赫数:音障音障亚音速气动特性跨音速气动特性第4页/共111页REVIEWContinuity
4、 EquationTrue for all flows:Steady or Unsteady,Viscous or Inviscid,Rotational or Irrotational2-D Incompressible Flows(Steady,Inviscid and Irrotational)2-D Compressible Flows(Steady,Inviscid and Irrotational)steadyirrotationalLaplaces Equation(linear equation)Does a similar expression exist for compr
5、essible flows?Yes,but it is non-linear第5页/共111页11.2 11.2 The Velocity Potential Equation(速度势方程速度势方程)STEP 1:VELOCITY POTENTIAL CONTINUITYFlow is irrotationalx-component y-componentContinuity for 2-Dcompressible flowSubstitute velocityinto continuity equationGrouping like termsExpressions for dr?第6页/共
6、111页STEP 2:MOMENTUM+ENERGYEulers(Momentum)EquationSubstitute velocity potentialFlow is isentropic:Change in pressure,dp,is relatedto change in density,dr,via a2Substitute into momentum equationChanges in x-directionChanges in y-direction第7页/共111页RESULTVelocity Potential Equation:Nonlinear EquationCo
7、mpressible,Steady,Inviscid and Irrotational FlowsNote:This is one equation,with one unknown,fa0(as well as T0,P0,r0,h0)are known constants of the flowReview:Incompressible,Steady,Inviscid and Irrotational FlowsVelocity Potential Equation:Linear EquationIn this equation,the speed of sound is also the
8、 function of (from 8.34):第8页/共111页结论:1)速度势方程是只有一个未知变量的偏微分方程(PDE);2)11.12式是连续方程、动量方程和能量方程的综合。3)理论上,给出远场边界条件和物面边界条件,就可以通过上式求解出绕二维外形的流动参数。infinite boundary condition:wall boundary condition :第9页/共111页4)How to use?Once is known,all the other value flow variables are directly obtained as follows:(a0,T0,P
9、0,r0,h0 are known quantities)1.Calculate u and v:and2.Calculate a:4.Calculate T,p,:3.Calculate M:第10页/共111页WHAT DOES THIS MEAN,WHAT DO WE DO NOW?线性偏微分方程:偏微分方程分为线性和非线性线性偏微分方程:方程未知数 以及未知数的所有导数只以线性形式存在,不存在交叉乘及平方等等可压缩流动非线性速度势的偏微分方程不存在解析解借助于数值求解方法是否可以将非线性方程在一定的条件下,简化为线性方程(easy to solve)?1.Slender bodies
10、细长体2.Small angles of attack 小攻角如果可以,就可以应用于翼型的研究中,并提供在亚音速可压缩流中的定性和定量的特性Next steps:介绍小扰动理论(finite and small)在1、2的条件下线化速度势方程。第11页/共111页11.3 THE LINEARIZED VELOCITY POTENTIAL EQUATION 线化速度势方程 对二维、无旋、等熵流动:第12页/共111页perturbation velocity potential equation(扰动速度势方程扰动速度势方程).).(11.14)Perturbation velocity po
11、tential:same equation,still nonlinear第13页/共111页(11.14a)(11.15)为了加深理解,我们将(11.14)用扰动速度表示:用扰动速度表示的能量方程为:将(11.15a)代入到(11.14a),并重新整理可得:即:(11.15a)第14页/共111页(11.16)方程(11.16)仍然是无旋、等熵流动的精确方程。这时扰动速度 、的值可大、可小,即对于大扰动、小扰动都成立。线性非线性第15页/共111页 slender body at small angle of attack(假设物体是细长的,迎角为小迎角).在这种情况下,有:small pe
12、rturbation(小扰动小扰动)situation:同时 、与它们的导数也非常小。第16页/共111页Compare terms(coefficients of like derivatives)across equal signCompare C and A:If 0 M 0.8 or M 1.2C ANeglect CCompare D and B:If M 5D 5(or so)terms C,D and E may be large even if perturbations are smallA ABCDEHOW TO LINEARIZE第17页/共111页RESULTAfter
13、 order of magnitude analysis,we have following resultsMay also be written in terms of perturbation velocity potentialEquation is a linear PDE and is rather easy to solveRecall:Equation is no longer exactValid situation:Slender bodiesSmall angles of attackSubsonic and Supersonic Mach numbersKeeping i
14、n mind these assumptions equation is good approximation(11.18)(11.17)第18页/共111页Summary of commonly-used equations and the correspondingassumption(常用控制方程及其相应假设小结):第19页/共111页求解速度势方程的目的在于得到物体表面的压强分布,进而得到气动力。下面我们推导用速度势表示的压强系数的表达式:(11.19)(11.21)(11.22)第20页/共111页回忆:(11.27)第21页/共111页(11.27)(11.27)仍然是一个精确表达
15、式。仍然是一个精确表达式。忽略第22页/共111页(11.32)式(式(11.32)11.32)是亚音速或超音速小扰动线化压力系数公式,是亚音速或超音速小扰动线化压力系数公式,只适用只适用于小扰动情况;压强系数只依赖于于小扰动情况;压强系数只依赖于x x方向的扰动速度方向的扰动速度。远场边界条件:物面:(11.34)VVuv第23页/共111页(11.34)物面流动相切条件的近似表达式物面流动相切条件的近似表达式(11.18)(11.32)小结:本节推导的三个重要公式亚音速或超音速小扰动速度势方程亚音速或超音速小扰动速度势方程亚音速或超音速小扰动线化压力系数公式亚音速或超音速小扰动线化压力系数
16、公式第24页/共111页 速度势方程速度势方程 线性化的速度势方程线性化的速度势方程 Prandtl-Glauet压缩性修正压缩性修正改进的压缩性修正改进的压缩性修正 临界马赫数临界马赫数跨音速面积律跨音速面积律 超临界翼型超临界翼型 Figure 11.1 11章路线图阻力发散马赫数阻力发散马赫数:音障音障第25页/共111页(11.18)HOW DO WE USE EQUATION(11.18)?第26页/共111页11.4 PRANDTL-GLAUERT COMPRESSIBILITY CORRECTION(PRANDTL-GLAUERT压缩性修正)通过修正不可压缩流的结果来近似考虑压缩
17、性影响的方法称为压缩性修正。我们考虑绕某翼型的无粘、亚音速流动问题:第27页/共111页HOW DO WE SOLVE EQUATIONNote behavior of sign of leading term for subsonic and supersonic flowsEquation is almost Laplaces equation,if we could get rid of b coefficientStrategyCoordinate transformationTransform into new space governed by and In transformed
18、 space,new velocity potential may be written第28页/共111页TRANSFORMED VARIABLES(1/2)Definition of new variables(determining a useful transformation is done)Perform chain rule to express in terms of transformed variables第29页/共111页TRANSFORMED VARIABLES(2/2)Differentiate with respect to x a second timeDiff
19、erentiate with respect to y a second timeSubstitute in results and arrive at a Laplace equation for transformed variablesRecall that Laplaces equation governs behavior of incompressible flowsTransformation relates compressible flow over an airfoil in(x,y)space to incompressible flow in(,)space over
20、same airfoil 变换将变换将(x,y)空间的翼型上的可压缩流动和空间的翼型上的可压缩流动和(,)空间内相同翼空间内相同翼型上的不可压流动联系起来型上的不可压流动联系起来第30页/共111页翼型外形翼型外形 小扰动边界条件:精确:物面:(11.42)(11.48)在转换空间的翼型形状与物理空间的翼型形状相同在转换空间的翼型形状与物理空间的翼型形状相同。因此,上述变换将(x,y)空间的可压缩流与绕相同相同翼型的(,)空间的不可压缩流联系起来了。翼型相似第31页/共111页FINAL RESULTSInsert transformation results into linearized
21、CPPrandtl-Glauert rule:If we know the incompressible pressure distribution over an airfoil,the compressible pressure distribution over the same airfoil may be obtainedLift and moment coefficients are integrals of pressure distribution(inviscid flows only)第32页/共111页连续方程动量方程能量方程速度势方程(非线性)扰动速度扰动速度势方程(非
22、线性)小扰动假设小扰动速度势方程(线性)转换空间拉普拉斯方程(线性)(,)结论:满足小扰动假设条件的可压缩流动的压力系数可以通过绕相同外形的不可压缩流动的压力系数,修正而得到。第33页/共111页For M 0.3)is to increaseabsolute magnitude of Cp and M increasesPrandtl-Glauert rule applies for 0.3 M 0.7(Why not M=0.99?)SoundBarrier?MCOMPRESSIBILITY CORRECTION:EFFECT OF M ON CP第34页/共111页Results:1、压
23、缩性修正只改变不可压压力分布的大小,不改变形状;2、随马赫数增加,升力系数和升力系数的斜率增加;3、随马赫数增加,最大升力系数和失速迎角减小;4、翼型阻力基本不随马赫数变化(对无粘流动,达朗贝尔徉谬仍成立);5、翼型的压力中心位置基本保持不变。第35页/共111页例例11.1 11.1 在翼型表面一给定点,已知在绕流速度极低时的在翼型表面一给定点,已知在绕流速度极低时的压强系数为压强系数为-0.3-0.3。如果自由来流马赫数为。如果自由来流马赫数为0.60.6,计算这一点,计算这一点的压强系数。的压强系数。第36页/共111页例例11.2 11.2 由第四章,我们得出绕对称、薄翼型的不可压流由
24、第四章,我们得出绕对称、薄翼型的不可压流动的理论升力系数为动的理论升力系数为 。计算自由来流马赫数为。计算自由来流马赫数为0.70.7时的升力系数。时的升力系数。第37页/共111页11.5 IMPROVED COMPRESSIBILITYCORRECTIONS改进的压缩性修正公式Prandtl-GlauretShortest expressionTends to under-predict experimental resultsTo account for some of nonlinear aspects of flow field1、Karman-TsienMost widely us
25、ed2、LaitoneMost recent第38页/共111页三种修正公式的比较Prandtl-Glauert压缩性修正:压缩性修正:基于线性理论,因此适用于薄基于线性理论,因此适用于薄物体、小迎角、亚音速、不适物体、小迎角、亚音速、不适合高亚音速。合高亚音速。Karmen-Tisen和和Laitone公式公式都试图反映高亚音速时流动的都试图反映高亚音速时流动的非线性特征。非线性特征。第39页/共111页We deal with several aspects of transonic flow from a qualitative point of view.在本节我们定性地讨论一下跨音速
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