1996年考研数学二试题.及其答案.doc
《1996年考研数学二试题.及其答案.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《1996年考研数学二试题.及其答案.doc(16页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、19961996 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分. .把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上.).)(1) 设,则.2 32()x yxe0xy(2) .1221(1)xxdx (3) 微分方程的通解为.250yyy(4) .31limsinln(1)sinln(1) xxxx(5) 由曲线及所围图形的面积.1,2yxxx2y S 二、选择题二、选择题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满
2、分 1515 分分. .每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中, ,只有一项符只有一项符 合题目要求合题目要求, ,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内.).)(1) 设当时,是比高阶的无穷小,则 ( )0x 2(1)xeaxbx2x(A) (B) 1,12ab1,1ab(C) (D) 1,12ab 1,1ab (2) 设函数在区间内有定义,若当时,恒有,则 ( )f x(, ) (, )x 2|( )|f xx0x 必是的 ( )( )f x(A) 间断点 (B) 连续而不可导的点(C) 可导的点,且 (D) 可导的点,且(0)0f (0)0f (3) 设处
3、处可导,则 ( )( )f x(A) 当,必有lim( ) xf x lim( ) xfx (B) 当,必有lim( ) xfx lim( ) xf x (C) 当,必有lim( ) xf x lim( ) xfx (D) 当,必有lim( ) xfx lim( ) xf x (4) 在区间内,方程 ( )(,) 11 42|cos0xxx(A) 无实根 (B) 有且仅有一个实根(C) 有且仅有两个实根 (D) 有无穷多个实根(5) 设在区间上连续,且(为常数),由曲线( ), ( )f x g x , a b( )( )g xf xmm( ),yg x及所围平面图形绕直线旋转而成的旋转体体积
4、为 ( )( ),yf x xaxbym(A) 2( )( )( )( )bamf xg xf xg xdx(B) 2( )( )( )( )bamf xg xf xg xdx(C) ( )( )( )( )bamf xg xf xg xdx(D) ( )( )( )( )bamf xg xf xg xdx三、三、( (本题共本题共 6 6 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,满分满分 3030 分分.).)(1) 计算.ln2201xedx(2) 求.1 sindx x(3) 设其中具有二阶导数,且,求.2022(), ( ) ,txf uduyf t ( )f u( )0f u
5、22d y dx(4) 求函数在点处带拉格朗日型余项的阶泰勒展开式.1( )1xf xx0x n(5) 求微分方程的通解.2yyx(6) 设有一正椭圆柱体,其底面的长、短轴分别为,用过此柱体底面的短轴与底面成22ab、角()的平面截此柱体,得一锲形体(如图),求此锲形体的体积.02V四、四、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )计算不定积分.22arctan (1)xdxxx五、五、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )设函数231 2,1,( ),12,1216,2.xxf xxxxx (1) 写出的反函数的表达式;( )f x( )g x(2) 是否有间断点、不可导点,若有,指出这
6、些点.( )g x六、六、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )设函数由方程所确定,试求的驻点,并判别( )yy x3222221yyxyx( )yy x它是否为极值点.七、七、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )设在区间上具有二阶导数,且,试证明:( )f x , a b( )( )0f af b( )( )0fa f b存在和,使及.( , )a b( , )a b( )0f( )0f八、八、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )设为连续函数,( )f x(1) 求初值问题的解,其中为正的常数;0( ),0xyayf xy( )y xa(2) 若(为常数),证明:当时,有.|
7、( )|f xkk0x | ( )|(1)axky xea2121yxxxyO19961996 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).)(1)【答案】1 3【解析】.1 3 2221132xx yxee, 02111323xy(2)【答案】2 【解析】注意到对称区间上奇偶函数的积分性质,有原式.11222211211211022xxxxdxxxdx 【相关知识点】对称区间上奇偶函数的积分性质:若在上连续且为奇函数,则;( )f
8、 x, a a( )0aaf x dx 若在上连续且为偶函数,则.( )f x, a a 0( )2( )aaaf x dxf x dx (3)【答案】12cos2sin2xyecxcx【解析】因为是常系数的线性齐次方程,其特征方程250yyy有一对共轭复根故通解为.2250rr1212r ,ri. 12cos2sin2xyecxcx(4)【答案】2【解析】因为时,(为常数),所以,x sinln 1ln 1kkk xxx:k原式.3131lim sinln 1lim sinln 1limlim3 12 xxxxxxxxxxxx (5)【答案】1ln22【解析】曲线的交点是,当时1yx,x2y
9、 1 2 ,2211,xyxxx 1x (单调上升)在上方,于是1yxx2y 212 211211ln2ln2.22Sxdxxxxx二、选择题二、选择题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).) (1)【答案】(A) 【解析】方法方法 1 1:用带皮亚诺余项泰勒公式.由 21xeaxbx 2 22112!xxxaxbx, 222112b xa xxx令可得 应选(A).10111202b, a,b.a,方法方法 2 2:用洛必达法则.由2200(1)2limlim0,2xxxxeaxbxeaxb xx洛有 0lim2101.xxe
10、axbbb 又由 . 00221 21limlim02222xxxxeaxbeaaax应选(A). (2)【答案】(C)【解析】方法一:方法一:首先,当时,.0x |(0)| 0(0)0ff而按照可导定义我们考察,2( )(0)( )00(0)f xff xxxxxxx由夹逼准则, ,故应选(C). 0( )(0)(0)lim0 xf xffx方法二:方法二:显然,由,得,即(0)0f2|( )|f xx(, )x 2( )1(,0)(0, )f xxx ,有界,且2( )f x x.200( )(0)( )(0)limlim0 xxf xff xfxxx故应选(C). 方法三:方法三:排除法
11、.令故(A)、(B)、(D)均不对,应选(C).3( ),(0)0,f xxf 【相关知识点】定理:有界函数与无穷小的乘积是无穷小. (3)【答案】(D)【解析】方法一:方法一:排除法.例如,则(A),(C)不对;又令,则(B)不对.故( )f xx( )xf xe应选择(D).方法二:方法二:由,对于,存在,使得当时,.lim( ) xfx 0M 0x0xx( )fxM由此,当时,由拉格朗日中值定理,0xx,0000( )()( )()()()()f xf xfxxf xM xxx 从而有,故应选择(D).lim( ) xf x 【相关知识点】拉格朗日中值定理:如果函数满足( )f x(1)
12、 在闭区间上连续; , a b(2) 在开区间内可导,( , )a b那么在内至少有一点(),使等式( , )a bab( )( )( )()f bf afba成立. (4)【答案】(C)【解析】令,则,故是偶函数,考察11 42( ) |cosf xxxx()( )fxf x( )f x在内的实数个数:( )f x(0,)().11 42( )cosf xxxx0x 首先注意到,当时,由零值定(0)10f 1142()()()10,222f 02x理,函数必有零点,且由( )f x,31 4211( )sin042fxxxx在单调递增,故有唯一零点.( )f x(0,)2( )f x当时,没
13、有零点;2x11114242( )cos()()10,22f xxxx 因此,在有一个零点.又由于是偶函数,在有两个零点.( )f x(0,)( )f x( )f x(,) a x xdxx( )yg x( )yf xOymb故应选(C).【相关知识点】零点定理:设函数在闭区间上连续,且与异号(即( )f x , a b( )f a( )f b),那么在开区间内至少有一点,使.( )( )0f af b( , )a b( )0f(5)【答案】(B) 【解析】见上图,作垂直分割,相应于的小竖条的体积微元, x xdx22( )( )dVmg xdxmf xdx( )( )( )( )mg xmf
14、 xmg xmf xdx,2( )( )( )( )mg xf xf xg xdx于是 ,2( )( )( )( )baVmg xf xf xg xdx故选择(B).三、三、( (本题共本题共 6 6 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,满分满分 3030 分分.).) (1)【解析】方法一:方法一:换元法.令,则,21xeu2 21ln(1),21uxudxduu 所以 3332ln22222 22000011111(1)(2)11211xuedxdududuuuuu.3 201133lnln(23)2122u u方法二:方法二:换元法.令,则,sinxetcoslnsin ,si
15、ntxt dxdtt :0ln2:26xtln2262 026cos11cossinsinsinxtedxtdtt dttt .22663ln(csccot )cosln(23)2ttt方法三:方法三:分部积分法和换元法结合.原式ln2ln2220011 ()xxxxeedxede2ln2ln222001 1x xxxxeeeedx e 令,则,xet:0ln2:12xt原式.22221133ln(1)221dttt t 3ln(23)2 【相关知识点】1.,1cscln csccotsinxdxdxxxCx2. 时,.0a 2222lndxxxaC xa (2)【解析】方法一:方法一:2(1
16、 sin )1 sin 1 sin(1 sin )(1 sin )cosdxx dxxdx xxxx2 2221sincosseccoscoscosxdxdxdxxdxxxx.1tancosxCx方法二:方法二: 21 sin(cossin)22dxdx xxx.222(1tan)sec222 (1tan)(1tan)1tan222xdxdxCxxx 方法三:方法三:换元法.令,则,tan2xt22222tan22arctan ,sin11tan1ttxt dxxttt原式.2221222221(1)111tan12dtdtCCtxttt t (3)【解析】这是由参数方程所确定的函数,其导数为
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 1996 考研 数学 试题 及其 答案
限制150内