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1、垂径定理的应用垂径定理的应用垂径定理垂径定理三种语言三种语言l定理定理 垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分弦平分弦,并且并且平分弦所的两条弧平分弦所的两条弧.老师提示老师提示:垂径定理是垂径定理是圆中一个重要圆中一个重要的结论的结论,三种三种语言要相互转语言要相互转化化,形成整体形成整体,才能运用自如才能运用自如.OABCDMCDAB,CDAB,如图如图 CDCD是直径是直径,AM=BM,AM=BM,AC=BC,AD=BD.AD=BD.条件条件CD为直径为直径CDABCD平分弧平分弧ADBCD平分弦平分弦ABCD平分弧平分弧ACB结论结论垂径定理的逆定理垂径定理的逆定理l如图如图,根据垂径定理与
2、推论可知对于一个圆和一条直线来说。根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果在下列五个条件中如果在下列五个条件中:只要具备其中只要具备其中两个两个条件条件,就可推出其余就可推出其余三个三个结论结论.OABCDM CD CD是直径是直径,AM=BM,AM=BM,CDAB,CDAB,平分弦(平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧.CDAB,CDAB,n由由 CDCD是直径是直径 AM=BM AM=BM可推可推得得AC=BC,AC=BC,AD=BD.AD=BD.AD=BD.AD=BD.AC=BC,AC=BC,垂径定理及逆定理垂
3、径定理及逆定理OABCDM条件条件结论结论定理及逆定理定理及逆定理垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧.平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所对的并且平分弦所对的另一条弧另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧.垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平并且平分弦和所对的另一
4、条弧分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦.垂径定理的应用垂径定理的应用 例例1 1 如图,一条公路的转变处是一段圆弧如图,一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧即图中弧CD,CD,点点O O是弧是弧CDCD的圆心的圆心),),其中其中CD=600m,ECD=600m,E为弧为弧CDCD上的一点上的一点,且且OECDOECD垂足为垂足为F,EF=90m.F,EF=90
5、m.求这段弯路的半径求这段弯路的半径.解解:连接连接OC.OC.O OC CD DE EF F赵州石拱桥赵州石拱桥 1.1300 1.1300多年前多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥我国隋朝建造的赵州石拱桥(如如图图)的桥拱是圆弧形的桥拱是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对是弦的长弧所对是弦的长)为为37.4m,37.4m,拱高拱高(弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离,也叫弓形高也叫弓形高)为为7.2m,7.2m,求桥拱的半径求桥拱的半径(精确到精确到0.1m).0.1m).解:如图,用解:如图,用 表示桥拱,表示桥拱,所在圆的圆心为所在圆的圆心为O,半径为,半径为Rm,经过圆心经过圆心O作弦作
6、弦AB的垂线的垂线OD,D为垂足,与为垂足,与 相交于点相交于点C.根根据垂径定理,据垂径定理,D是是AB的中点,的中点,C是是 的中点,的中点,CD就是拱高就是拱高.由题设由题设在在RtOAD中,由勾股定理,得中,由勾股定理,得解得解得 R27.9(m).答:赵州石拱桥的桥拱半径约为答:赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.RD37.47.2船能过拱桥吗船能过拱桥吗 2.2.如图如图,某地有一圆弧形拱桥某地有一圆弧形拱桥,桥下水面桥下水面宽为宽为7.27.2米米,拱顶高出水面拱顶高出水面2.42.4米米.现有一艘宽现有一艘宽3 3米、米、船舱顶部为长方形并高出水面船舱顶部为长方形并高出水面2
7、2米的货船要经过米的货船要经过这里这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗?此货船能顺利通过这座拱桥吗?l解解:如图如图,用用 表示桥拱表示桥拱,所在圆的圆心为所在圆的圆心为O,半径为半径为Rm,经过圆心经过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OD,D为垂足为垂足,与与 相交于点相交于点C.根根据垂径定理据垂径定理,D是是AB的中点的中点,C是是 的中点的中点,CD就是拱高就是拱高.由题设得由题设得在在RtOAD中,由勾股定理,得中,由勾股定理,得解得解得 R3.9(m).在在RtONH中,由勾股定理,得中,由勾股定理,得此货船能顺利通过这座拱桥此货船能顺利通过这座拱桥.垂径定理的应用垂径定理的应用在在a,
8、d,r,ha,d,r,h中,已知其中任意两中,已知其中任意两个量个量,可以求出其它两个量可以求出其它两个量.d+h=rd+h=r已知:如图,直径已知:如图,直径CDABCDAB,垂足为,垂足为E.E.若半径若半径R=2 R=2,AB=,AB=,求求OEOE、DE DE 的长的长.若半径若半径R=2 R=2,OE=1OE=1,求,求ABAB、DE DE 的长的长.由由 、两题的启发,你还能编出什么其他问题?两题的启发,你还能编出什么其他问题?垂径定理的应用垂径定理的应用 在直径为在直径为650mm650mm的圆柱形油槽内装入一些油后,的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图所示截面如图所示.若油面宽
9、若油面宽AB=600mmAB=600mm,求油的最大,求油的最大深度深度.ED 600 在直径为在直径为650mm650mm的圆柱形油槽内装入一些油的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图所示后,截面如图所示.若油面宽若油面宽AB=600mmAB=600mm,求油,求油的最大深度的最大深度.想一想想一想P补补9 9BAO600 650DC1.1.本节我们主要学习了本节我们主要学习了圆的轴对称性圆的轴对称性 和和垂径定理垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧 2.2.垂径定理的证明,是通过垂径定理的证明,是通过“实
10、验实验观察观察猜想猜想证明证明”实现的,体现了实践的观点、运动变化实现的,体现了实践的观点、运动变化的观点和先猜想后证明的观点,定理的引入还应的观点和先猜想后证明的观点,定理的引入还应用了从特殊到一般的思想方法用了从特殊到一般的思想方法 3.3.有关弦的问题,常常需要有关弦的问题,常常需要过圆心作弦的垂线段过圆心作弦的垂线段,这是一条非常重要的这是一条非常重要的辅助线辅助线圆心到弦的距离、圆心到弦的距离、半径、弦长构成半径、弦长构成直角三角形直角三角形,便将问题转化为解,便将问题转化为解直角三角形的问题直角三角形的问题 课堂小结课堂小结1 1、圆是轴对称图形,其对称轴是每一条直径所在、圆是轴对
11、称图形,其对称轴是每一条直径所在的直线或经过圆心的每一条直线。的直线或经过圆心的每一条直线。2 2、垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦弦所对的两条弧。、垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦弦所对的两条弧。CD平分弧平分弧ADBCD平分弦平分弦ABCD平分弧平分弧ACBCD过圆心过圆心CDABCDBAO3 3、在、在 O O中,若中,若 O O的半径的半径r r、圆心到弦的距离、圆心到弦的距离d d、弦长弦长a a中,任意知道两个量,可根据中,任意知道两个量,可根据垂径垂径定理求定理求出第三个量:出第三个量:小结小结:解决有关弦的问题,经常是过圆心作弦的解决有关弦的问题,经常是过圆心作弦的垂线
12、,或作垂直于弦的直径,连结半径等辅助垂线,或作垂直于弦的直径,连结半径等辅助线,为应用垂径定理创造条件。线,为应用垂径定理创造条件。.CDABOMNE.ACDBO.ABOl1、要把实际问题转变成一个数学问题来解决、要把实际问题转变成一个数学问题来解决.l2、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理,并用方、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理,并用方程的思想来解决问题程的思想来解决问题.n3、对于一个圆中的弦长、对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离、圆心到弦的距离d、圆半径、圆半径r、弓形、弓形高高h,这四个量中,只要已知其中任意两个量,就可以求出另外,这四个量中,只要已知其中任意两个量,就可以求
13、出另外两个量,如图有:两个量,如图有:d+h=r 1.O 1.O在中,弦在中,弦ABAB垂直平分半径垂直平分半径OCOC,垂足为,垂足为D D,已知,已知O O的半径为的半径为6 6,则弦,则弦ABAB长为多少长为多少?提高练习2.2.已知已知o o的半径为的半径为5 5,ABAB为弦,为弦,P P是直线是直线ABAB上的一点,则上的一点,则tanOPAtanOPA的值为多少的值为多少?3.3.如图如图A A是半径为是半径为5 5的的o o内一点,且内一点,且OA=3,OA=3,过点过点A A且小于且小于8 8的弦有多少的弦有多少 条?条?已知已知:过过O O内一点内一点M M的最长弦长为的最长弦长为10cm10cm,最短弦长为最短弦长为8cm 8cm,求,求OMOM的长为多少?的长为多少?CDABOM解:根据题意得:解:根据题意得:最长弦最长弦AB为直径,最短弦为为直径,最短弦为CD且且CD AB 如图所示如图所示AB为直径为直径CD ABCD=8CM=4AB=10OC=5在在Rt CMO中中OM=3cm 例例3
限制150内