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1、高一数学必修 1 各章知识点总结第一章 集合与函数概念一、集合有关概念1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性:(1) 元素的确定性如:世界上最高的山(2) 元素的互异性如:由 HAPPY 的字母组成的集 合H,A,P,Y (3) 元素的无序性: 如:a,b,c和a,c,b是表 示同一个集合3.集合的表示: 如:我校的篮球队员,太平 洋,大西洋,印度洋,北冰洋(1) 用拉丁字母表示集合:A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 (2) 集合的表示方法:列举法与描述法。 注意:常用数集及其记法:非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集
2、R1) 列举法:a,b,c2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来, 写在大括号内表示集合的方法。xR| x-32 ,x| x-323) 语言描述法:例:不是直角三角形的三角形 4) Venn 图:4、集合的分类:(1) 有限集 含有有限个元素的集合(2) 无限集 含有无限个元素的集合 (3) 空集 不含任何元素的集合 例: x|x2=5二、集合间的基本关系 1.“包含”关系子集 注意:有两种可能(1)A 是 B 的一部分,;(2)A 与 B 是同一集合。 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记 作 AB 或 BA 2“相等”关系:A=B (55,且 55,则
3、 5=5) 实例:设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集 合相等” 即: 任何一个集合是它本身的子集。AA 真子集:如果 AB,且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 AB(或 BA) 如果 AB, BC ,那么 AC 如果 AB 同时 BA 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的 真子集。 有 n 个元素的集合,含有 2n 个子集,2n-1 个真子集三、集合的运算运算类型交 集并 集补 集 定 义 由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集记作AB(读作A 交 B)
4、,即 AB=x|xA, 且 xB由所有属于集合A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的并集记作:AB(读作A 并 B),即AB =x|xA, 或 xB)设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集,由 S 中所有不属于 A 的 元素组成的集合,叫 做 S 中子集 A 的补集 (或余集) S A记作,即CSA=韦 恩 图 示S A性性 质质AA=A A= AB=BA ABA ABBAA=A A=A AB=BA AB ABB(CuA) (CuB)= Cu (AB)(CuA) (CuB)= Cu(AB)A (CuA)=UA (CuA)= 例题:1.1.下列四组对象,能构成集合的是下列四
5、组对象,能构成集合的是 ( ) A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身 的实数 2.集合a,b,c 的真子集共有 个 3.若集合 M=y|y=x2-2x+1,xR,N=x|x0,则 M 与 N 的关系是 .4.设集合 A=,B=,若 AB,则的取值范围是 5.50 名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正 确得有 40 人,化学实验做得正确得有 31 人,两种实验都做错得有 4 人,则这两种实验都做对的有 人。 6. 用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合 M= . 7.已知集合 A=x| x2+2x-8=0, B=x| x2-
6、5x+6=0, C=x| x2-mx+m2-19=0, 若 BC,AC=,求 m 的值二、函数的有关概念 1函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确 定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作: y=f(x), xA其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的 定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集 合f(x)| xA 叫做函数的值域 注意: 1定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数 的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主
7、要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的. 那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集 合.(6)指数为零底不可以等于零, (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 相同函数的判断方法:表达式相同(与表示自变 量和函数值的字母无关);定义域一致 (两点必须 同时具备)(见课本 21 页相关例 2) 2值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面
8、直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (xA)中 的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点 P(x,y)的集合 C,叫做函数 y=f(x),(x A)的图象C 上每一点的坐标 (x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在 C 上 . (2) 画法A、 描点法: B、 图象变换法常用变换方法有三种1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换4区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间 (3)区间的数轴表示 5映射 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个 确定的对应法则 f,使对于集合
9、A 中的任意一个元素 x, 在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对 应 f:AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作 “f(对应关系):A(原象)B(象)” 对于映射f:AB来说,则应满足:(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的; (2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一 个; (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取值情况 (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段 值域的并集补充:复合函数 如果 y=f(u)(uM)
10、,u=g(x)(xA),则 y=fg(x)=F(x) (xA) 称为 f、g 的复合函数。二函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的 某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x11,且* 负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作。当是奇数时,当是偶数时,2分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定:, 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意 义3实数指数幂的运算性质(1) ;(2) ;(3) (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数叫做指数函数,其中 x 是自变量,函 数的
11、定义域为 R注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零 和 1 2、指数函数的图象和性质a10100,a0,函数 y=ax 与 y=loga(-x)的图象只能是 ( )2.计算: ;= ;= ; = 3.函数 y=log (2x2-3x+1)的递减区间为 4.若函数在区间上的最大值是最小值的 3 倍,则 a= 5.已知,(1)求的定义域(2)求使的的取值 范围第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念:对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点。 2、函数零点的意义:函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横 坐标。即:方程有实数根函数的图象与轴 有交点函数有零点 3、函数零点的求法:(代数法)求方程的实数根; (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点 4、二次函数的零点:二次函数 (1),方程有两不等实根,二次函 数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点(2),方程有两相等实根,二次函 数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或 二阶零点(3),方程无实根,二次函数的图 象与轴无交点,二次函数无零点 5.函数的模型不符合实际 检验
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