概率论与数理统计预习复习资料要点总结分析.doc
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1、概率论与数理统计概率论与数理统计复习提要复习提要 第一章随机事件与概率1事件的关系 ABABAABBABA 2运算规则 (1) BAABABBA (2))()( )()(BCACABCBACBA(3))()( )()()(CBCACABBCACCBA(4)BAABBABA 3概率满足的三条公理及性质:)(AP(1) (2)1)(0AP1)(P(3)对互不相容的事件,有 (可以取)nAAA,21 nkknkkAPAP11)()(n(4) (5) 0)(P)(1)(APAP(6),若,则,)()()(ABPAPBAPBA )()()(APBPABP)()(BPAP(7))()()()(ABPBPA
2、PBAP(8))()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP4古典概型:基本事件有限且等可能 5几何概率 6条件概率(1)定义:若,则0)(BP)()()|(BPABPBAP(2)乘法公式:)|()()(BAPBPABP若为完备事件组,则有nBBB,210)(iBP(3)全概率公式: niiiBAPBPAP1)|()()((4)Bayes 公式: niiikk k BAPBPBAPBPABP1)|()()|()()|(7事件的独立性: 独立 (注意独立性的应用)BA ,)()()(BPAPABP第二章 随机变量与概率分布1 离散随机变量:取有限或可列个值,满足(
3、1), (2)iipxXP)(0ip=1 iip(3)对任意,RD DxiiipDXP:)(2 连续随机变量:具有概率密度函数,满足(1);)(xf1)( , 0)( -dxxfxf(2);(3)对任意,badxxfbXaP)()(Ra0)( aXP3 几个常用随机变量名称与记号分布列或密度数学期望方差两点分布), 1 (pB,pXP ) 1(pqXP1)0(ppq二项式分布),(pnB,nkqpCkXPknkk n, 2 , 1 , 0,)(npnpqPoisson 分布)(P, 2 , 1 , 0,!)(kkekXPk几何分布)(pG, 2 , 1 ,)(1kpqkXPk p12pq均匀分
4、布),(baU,bxaabxf ,1)(2ba 12)(2ab 指数分布)(E0 ,)(xexfx121 正态分布),(2N222)(21)(x exf24 分布函数 ,具有以下性质)()(xXPxF(1);(2)单调非降;(3)右连续;1)( , 0)(FF(4),特别;)()()(aFbFbXaP)(1)(aFaXP(5)对离散随机变量,; xxiiipxF:)((6)对连续随机变量,为连续函数,且在连续点上,xdttfxF)()()(xf)()(xfxF5 正态分布的概率计算 以记标准正态分布的分布函数,则有)(x) 1 , 0(N(1);(2);(3)若,则5 . 0)0()(1)(x
5、x),(2NX;)()(xxF(4)以记标准正态分布的上侧分位数,则u) 1 , 0(N)(1)(uuXP6 随机变量的函数 )(XgY (1)离散时,求的值,将相同的概率相加;Y(2)连续,在的取值范围内严格单调,且有一阶连续导数,则X)(xgX,若不单调,先求分布函数,再求导。|)( |)()(11ygygfyfXY第四章 随机变量的数字特征 1期望(1) 离散时 , ;iiipxXE)(iiipxgXgE)()(2) 连续时,;dxxxfXE)()(dxxfxgXgE)()()(3) 二维时,jiijjipyxgYXgE,),(),(dydxyxfyxgYXgE ),(),(),(4);
6、(5);CCE)()()(XCECXE(6);)()()(YEXEYXE(7)独立时,YX,)()()(YEXEXYE2方差(1)方差,标准差;222)()()()(EXXEXEXEXD)()(XDX (2);)()( , 0)(XDCXDCD(3);)()(2XDCCXD(4)独立时,YX,)()()(YDXDYXD3协方差(1);)()()()()(),(YEXEXYEYEYXEXEYXCov(2);),(),( ),(),(YXabCovbYaXCovXYCovYXCov(3);),(),(),(2121YXCovYXCovYXXCov(4)时,称不相关,独立不相关,反之不成立,但正态时
7、等价;0),(YXCovYX,(5)),(2)()()(YXCovYDXDYXD4相关系数 ;有,)()(),( YXYXCovXY1|XY1)( ,1|baXYPbaXY5 阶原点矩, 阶中心矩k)(k kXEkk kXEXE)(第五章 大数定律与中心极限定理1Chebyshev 不等式 或2)(| )(|XDXEXP2)(1| )(|XDXEXP2大数定律 3中心极限定理 (1)设随机变量独立同分布,则nXXX,212)( ,)(iiXDXE, 或 或,) ,(21nnNXnii 近似) ,(121nNXnnii 近似)0,1(1NnnXnii近似 (2)设是次独立重复试验中发生的次数,则
8、对任意,有mnApAP)(x或理解为若,则)(limxxnpqnpmP n),(pnBX),(npqnpNX 近似第六章 样本及抽样分布 1总体、样本 (1)简单随机样本:即独立同分布于总体的分布(注意样本分布的求法) ; (2)样本数字特征:样本均值(,) ; niiXnX11)(XEnXD2 )(样本方差()样本标准差 niiXXnS122)(1122)(SE niiXXnS12)(11样本阶原点矩,样本阶中心矩k nik ikXn11k nik ikXXn1)(12统计量:样本的函数且不包含任何未知数 3三个常用分布(注意它们的密度函数形状及分位点定义)(1)分布 ,其中独立同分布于2)
9、(222 22 12nXXXnnXXX,21标准正态分布,若且独立,则;) 1 , 0(N)( ),(22 12nYnX)(212nnYX(2) 分布 ,其中且独立;t)(/ntnYXt )( ),1 , 0(2nYNX(3)分布 ,其中且独立,有下面F),(/21 21nnFnYnXF )(),(22 12nYnX的性质 ),(1),( ),(11221112nnFnnFnnFF4正态总体的抽样分布(1); (2);)/,(2nNX)()(1122 2nXnii (3)且与独立; (4);) 1() 1(2 22 nSnX) 1(/ntnSXt(5),)2()()(21 212121nntn
10、nnn SYXt 2) 1() 1(212 222 112 nnSnSnS(6)) 1, 1(/212 22 22 12 1nnFSSF第七章 参数估计 1矩估计: (1)根据参数个数求总体的矩;(2)令总体的矩等于样本的矩;(3)解方程求出矩估计 2极大似然估计: (1)写出极大似然函数;(2)求对数极大似然函数(3)求导数或偏导数;(4)令导数或偏导数为 0,解出极大似然估计(如无解回到(1)直接求最大值,一般为 min或ixmax)ix3估计量的评选原则(1)无偏性:若,则为无偏; (2) 有效性:两个无偏估计中方差小的有效;)(E4参数的区间估计(正态)参数条件估计函数置信区间已知2n
11、xu/2nux未知2nsxt/) 1(2nsntx2未知22 2) 1( sn ) 1() 1(,) 1() 1(2212222 nsn nsn复习资料复习资料 1、填空题(填空题(15 分)分) 题型一:概率分布的考察题型一:概率分布的考察 【相关公式相关公式】 (P379)分布分布参数参数分布律或概率密度分布律或概率密度数学期望数学期望 (E)方差(方差(D)(01)分)分 布布01p1(1),0,1kkP Xkppkp(1)pp二项分布二项分布1 01n p (1),0,1,kn knP Xkppkkn np(1)npp负二项分布负二项分布1 01r p 1(1)1,1,rk rkP X
12、kpprkr r r p2(1)rp p几何分布几何分布01p1(1)1,2,kPXkppk 1 p21p p超几何分布超几何分布, () ()N M a MN nN ,max0,min ,MNMknkP XkNkknNMkn M 为整数nM N11nMMNn NNN泊松分布泊松分布0! 0,1,2,ke P Xkk k 均匀分布均匀分布ab1,axbba2ab2() 12ba( )f x 0,其他【相关例题相关例题】1、设,则求 a,b 的值。( , )XU a b:()2E X 1( )3D Z 21( , ),()2,(),3 ()12,2123 1,3.XU a b E XD Xabb
13、aabab:解:根据性质:解得:2、已知,则求 n,p 的值。( , ),()0.5,()0.45Xb n p E XD X:0.5,(1)0.450.1.npnppp解:由题意得:解得:题型二:正态总体均值与方差的区间估计题型二:正态总体均值与方差的区间估计 【相关公式相关公式】 (P163)2/2,1-/X nXzn 为已知由枢轴量,得到的一个置信水平为的置信区间:【相关例题相关例题】 1、 (样本容量已知)1225( ,0.81),5,0.99XNXXXX已知总体 为样本且则的置信度的置信区间为: /20.0250.9550.18 1.964.6472,5.35285Xzzn解:代入公式
14、得:2、 (样本容量未知) 123( ,1),0.9510.88,18.92.nXNXXXX:已知为样本容量若关于的置信度的置信区间,求样本容量2227.847.843.9224.XzXzznnnnn解:由题意知:样本长度为,则有:代入数据,得:题型三:方差的性质题型三:方差的性质 【相关公式相关公式】 (P103) 21( )0,2()(),()()3,()()( )D CCD CXC D XD XCD XCX YD XYD XD Y为常数。,为常数。相互独立【相关例题相关例题】 1、12121212(2,4),(0,9),(2).XXXUXNXXD XX:已知,两变量,且相互独立求1221
15、212(2,4),(0,9)()1(2)()4 ()4 936123XUXbaD XXD XD X :解:题型四:题型四:2t分布、分布的定义【相关公式相关公式】 (P140、P138) 21232222 122221(0,1),( ),/ .2,(0,1),.nnXYnX YXtY n nttt nXXXXNXXXnn:设且相互独立,则称随机变量服从自由度为的分布,记为设 是来自总体的样本则称统计量服从自由度为的分布记为【相关例题相关例题】1、2(0,1),(4),/XXYX YY n:若且相互独立?(4)/XtY n:答:2、30 2 12330 1,0,1 ,? i iXXXXNX:若变
16、量 服从则30 221(30). i iX:答:题型五:互不相容问题题型五:互不相容问题 【相关公式相关公式】 (P4),ABAB 若则称事件与事件是互不相容的。【相关例题相关例题】1、( )0.6, ,().P AA BP AB若互不相容求,()( ()()( )0.6A B ABP ABP A SBP AABP A 解:互不相容2、选择题(选择题(15 分)分) 题型一:方差的性质题型一:方差的性质 【相关公式相关公式】 (见上,略)(见上,略) 【相关例题相关例题】 (见上,略)(见上,略) 题型二:考察统计量定义(不能含有未知量)题型二:考察统计量定义(不能含有未知量) 题型三:考察概
17、率密度函数的性质(见下,略)题型三:考察概率密度函数的性质(见下,略) 题型四:和、乘、除以及条件概率密度(见下,略)题型四:和、乘、除以及条件概率密度(见下,略) 题型五:对区间估计的理解(题型五:对区间估计的理解(P161) 题型六:正态分布和的分布题型六:正态分布和的分布 【相关公式相关公式】 (P105) 【相关例题相关例题】 (0,2),(3,9), ?XNYNXY若则(03,29)(3,11).NN答:题型七:概率密度函数的应用题型七:概率密度函数的应用 【相关例题相关例题】2 ,01xx设( )Xf x0,其他已知,P XaP Xaa则求。2 01 12 12|02 02 2aP
18、 XaP XaP Xaaxdxxaa解:由题意,得:即有:又3、解答题(解答题(70 分)分) 题型一:古典概型:全概率公式和贝叶斯公式的应用。题型一:古典概型:全概率公式和贝叶斯公式的应用。 【相关公式相关公式】 全概率公式: n1122SP()=|()|()()(|)( )=( )(|) ( )(|).innESAEBAP A BP BP A BP BP A BP BP ABP B AP AP AP A B P BP A B P B12设实验的样本空间为,为的事件,B,B, ,B为的划分,且0, 则有:P 其中有:。特别地:当n 2时,有:贝叶斯公式: i100(1,2, ),()(|)
19、()(|)( )(|) ()= ()(|) ( )(|)( )(|) ( )(|) ( )iii iniijESAEAP BinP B AP A B P BP BAP AP A B P BP ABP A B P BP B AP AP A B P BP A B P B12n设实验的样本空间为。为的事件, B,B, ,B为S的一个划分,且P, 则有:特别地:当n 2时,有:【相关例题相关例题】 1、P19 例 5 某电子设备制造厂设用的元件是有三家元件制造厂提供的,根据以往的记录有以下的数据:元件制造厂次品率提供原件的份额10.020.1520.010.8030.030.05设这三家工厂的产品在仓
20、库中是均匀混合的,且无区分标志。 问: (1)在仓库中随机取一只元件,求它的次品率;(2)在仓库中随机抽取一只元件,为分析此次品出自何厂,需求出此次品有三家工厂生产 的概率分别是多少,试求这些概率。 (见下) 11223311 121=(1,2,3).1( )( |) ()(|) ()(|) ()0.02 0.150.01 0.800.03 0.050.0125(2)(|) ()0.02 0.15(|)0.24( )0.0125(|ABiiBP AP AB P BP A B P BP A B P BP A B P BP BAP AP BA解:设取到一只次品,在厂取到产品且、B2、B3是S的一个
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