2013年辽宁省高考数学试卷(理科).pdf
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1、 第1页(共22页)2013 年辽宁省高考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1(5 分)复数的模长为()A B C D2 2(5 分)已知集合 A=x0log4x1,B=x|x2,则 AB=()A(0,1)B(0,2 C(1,2)D(1,2 3(5 分)已知点 A(1,3),B(4,1),则与向量同方向的单位向量为()A B C D 4(5 分)下列关于公差 d0 的等差数列an的四个命题:p1:数列an是递增数列;p2:数列nan是递增数列;p3:数列是递增数列;p4:数列an+3nd是递增数列
2、;其中真命题是()Ap1,p2 Bp3,p4 Cp2,p3 Dp1,p4 5(5 分)某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为20,40),40,60),60,80),80,100)若低于 60 分的人数是 15人,则该班的学生人数是()A45 B50 C55 D60 6(5分)在ABC,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c asinBcosC+csinBcosA=b,第2页(共22页)且 ab,则B=()A B C D 7(5 分)使得(3x+)n(nN+)的展开式中含有常数项的最小的 n 为()A4 B5 C6 D7 8(5 分)执行如图所示的程序框图,若
3、输入 n=10,则输出的 S=()A B C D 9(5 分)已知点 O(0,0),A(0,b),B(a,a3),若OAB 为直角三角形,则必有()Ab=a3 B C D 10(5 分)已知三棱柱 ABCA1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上,若 AB=3,AC=4,ABAC,AA1=12,则球 O 的半径为()A B C D 11(5 分)已知函数 f(x)=x22(a+2)x+a2,g(x)=x2+2(a2)xa2+8设H1(x)=maxf(x),g(x),H2(x)=minf(x),g(x),(maxp,q)表示p,q 中的较大值,minp,q表示 p,q 中的较小值),记 H1
4、(x)的最小值为 A,H2(x)的最大值为 B,则 AB=()A16 B16 C16a22a16 D16a2+2a16 12(5 分)设函数 f(x)满足 x2f(x)+2xf(x)=,f(2)=,则 x0 时,f(x)第3页(共22页)()A有极大值,无极小值 B有极小值,无极大值 C既有极大值又有极小值 D既无极大值也无极小值 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.13(5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 14(5 分)已知等比数列an是递增数列,Sn是an的前 n 项和若 a1,a3是方程 x25x+4=0 的两个根,则 S6=15(5 分)已知椭圆的左焦点为
5、 F,C 与过原点的直线相交于 A,B 两点,连接 AF、BF,若AB=10,AF|=6,cosABF=,则 C 的离心率 e=16(5 分)为了考察某校各班参加课外小组的人数,从全校随机抽取 5 个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据,已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值为 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17(12 分)设向量,,(1)若,求 x 的值;(2)设函数,求 f(x)的最大值 第4页(共22页)18(12 分)如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点()求证:平面 PAC平面 PBC;()若
6、 AB=2,AC=1,PA=1,求证:二面角 CPBA 的余弦值 19(12 分)现有 10 道题,其中 6 道甲类题,4 道乙类题,张同学从中任取 3道题解答()求张同学至少取到 1 道乙类题的概率;()已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题,1 道乙类题设张同学答对甲类题的概率都是,答对每道乙类题的概率都是,且各题答对与否相互独立用 X 表示张同学答对题的个数,求 X 的分布列和数学期望 20(12 分)如图,抛物线 C1:x2=4y,C2:x2=2py(p0),点 M(x0,y0)在抛物线C2上,过 M 作 C1的切线,切点为 A,B(M 为原点 O 时,A,B 重合于 O),当 x0=
7、1时,切线 MA 的斜率为()求 P 的值;()当 M 在 C2上运动时,求线段 AB 中点 N 的轨迹方程(A,B 重合于 O 时,中点为 O)21(12 分)已知函数 f(x)=(1+x)e2x,g(x)=ax+1+2xcosx,当 x0,1时,第5页(共22页)(I)求证:;(II)若 f(x)g(x)恒成立,求实数 a 的取值范围 请考生在 21、22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。22(10 分)选修 41:几何证明选讲 如图,AB 为O 直径,直线 CD 与O 相切与 E,AD 垂直于 CD 于 D,BC 垂直于 CD于 C,EF 垂直于 F,连接 AE,
8、BE证明:(I)FEB=CEB;(II)EF2=ADBC 23在直角坐标系 xOy 中以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系圆 C1,直线 C2的极坐标方程分别为=4sin,cos()=2()求 C1与 C2交点的极坐标;()设 P 为 C1的圆心,Q 为 C1与 C2交点连线的中点,已知直线 PQ 的参数方程为(tR 为参数),求 a,b 的值 24已知函数 f(x)=|xa|,其中 a1(1)当 a=2 时,求不等式 f(x)4|x4|的解集;(2)已知关于 x 的不等式f(2x+a)2f(x)2 的解集x1x2,求 a的值 第6页(共22页)2013 年辽宁省高考数学试卷(理科)参
9、考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1(5 分)复数的模长为()A B C D2【解答】解:复数,所以=故选 B 2(5 分)已知集合 A=x0log4x1,B=x|x2,则 AB=()A(0,1)B(0,2 C(1,2)D(1,2【解答】解:由 A 中的不等式变形得:log41log4xlog44,解得:1x4,即 A=(1,4),B=(,2,AB=(1,2 故选 D 3(5 分)已知点 A(1,3),B(4,1),则与向量同方向的单位向量为()A B C D【解答】解:已知点 A(1,3),B
10、(4,1),=(4,1)(1,3)=(3,4),|=5,则与向量同方向的单位向量为=,第7页(共22页)故选 A 4(5 分)下列关于公差 d0 的等差数列an的四个命题:p1:数列an是递增数列;p2:数列nan是递增数列;p3:数列是递增数列;p4:数列an+3nd是递增数列;其中真命题是()Ap1,p2 Bp3,p4 Cp2,p3 Dp1,p4【解答】解:对于公差 d0 的等差数列an,an+1an=d0,命题 p1:数列an是递增数列成立,是真命题 对于数列nan,第 n+1 项与第 n 项的差等于(n+1)an+1nan=(n+1)d+an,不一定是正实数,故 p2不正确,是假命题
11、对 于 数 列,第n+1项 与 第n项 的 差 等 于 =,不一定是正实数,故 p3不正确,是假命题 对于数列an+3nd,第 n+1 项与第 n 项的差等于 an+1+3(n+1)dan3nd=4d0,故命题 p4:数列an+3nd是递增数列成立,是真命题 故选 D 5(5 分)某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为20,40),40,60),60,80),80,100)若低于 60 分的人数是 15 人,则该班的学生人数是()第8页(共22页)A45 B50 C55 D60【解答】解:成绩低于 60 分有第一、二组数据,在频率分布直方图中,对应矩形的高分别为
12、 0.005,0.01,每组数据的组距为 20,则成绩低于 60 分的频率 P=(0.005+0。010)20=0。3,又低于 60 分的人数是 15 人,则该班的学生人数是=50 故选:B 6(5分)在ABC,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c asinBcosC+csinBcosA=b,且 ab,则B=()A B C D【解答】解:利用正弦定理化简已知等式得:sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB,sinB0,sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB=,ab,AB,即B 为锐角,则B=故选 A 7(5 分)使得(3x+)n(nN+)的展开式
13、中含有常数项的最小的 n 为()A4 B5 C6 D7【解答】解:设(nN+)的展开式的通项为 Tr+1,第9页(共22页)则:Tr+1=3nrxnr=3nr,令 nr=0 得:n=r,又 nN+,当 r=2 时,n 最小,即 nmin=5 故选 B 8(5 分)执行如图所示的程序框图,若输入 n=10,则输出的 S=()A B C D【解答】解:输入 n 的值为 10,框图首先给累加变量 S 和循环变量 i 分别赋值 0和 2,判断 210 成立,执行,i=2+2=4;判断 410 成立,执行=,i=4+2=6;判断 610 成立,执行,i=6+2=8;判断 810 成立,执行,i=8+2=
14、10;判断 1010 成立,执行,i=10+2=12;判断 1210 不成立,跳出循环,算法结束,输出 S 的值为 故选 A 9(5 分)已知点 O(0,0),A(0,b),B(a,a3),若OAB 为直角三角形,则 第10页(共22页)必有()Ab=a3 B C D【解答】解:=(a,a3b),=(a,a3),且 ab0 若,则=ba3=0,a=0 或 b=0,但是 ab0,应舍去;若,则=b(a3b)=0,b0,b=a30;若,则=a2+a3(a3b)=0,得 1+a4ab=0,即 综上可知:OAB 为直角三角形,则必有 故选 C 10(5 分)已知三棱柱 ABCA1B1C1的 6 个顶点
15、都在球 O 的球面上,若 AB=3,AC=4,ABAC,AA1=12,则球 O 的半径为()A B C D【解答】解:因为三棱柱 ABCA1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上,若AB=3,AC=4,ABAC,AA1=12,所以三棱柱的底面是直角三角形,侧棱与底面垂直,侧面 B1BCC1,经过球的球心,球的直径是其对角线的长,因为 AB=3,AC=4,BC=5,BC1=,所以球的半径为:故选 C 11(5 分)已知函数 f(x)=x22(a+2)x+a2,g(x)=x2+2(a2)xa2+8设H1(x)=maxf(x),g(x),H2(x)=minf(x),g(x),(maxp,q)表示
16、 p,q中的较大值,minp,q表示 p,q 中的较小值),记 H1(x)的最小值为 A,H2(x)的最大值为 B,则 AB=()A16 B16 C16a22a16 D16a2+2a16 第11页(共22页)【解答】解:令 h(x)=f(x)g(x)=x22(a+2)x+a2x2+2(a2)xa2+8=2x24ax+2a28=2(xa)28 由 2(xa)28=0,解得 x=a2,此时 f(x)=g(x);由 h(x)0,解得 xa+2,或 xa2,此时 f(x)g(x);由 h(x)0,解得 a2xa+2,此时 f(x)g(x)综上可知:(1)当 xa2 时,则 H1(x)=maxf(x),
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