全国中考数学真题分类汇编9.一元二次方程及其应用.pdf
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1、一元二次方程及其应用 考点一、一元二次方程的解法 (10 分)1、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如bax2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知,ax是 b 的平方根,当0b时,bax,bax,当 ba2c2,则关于x的方程ax2bxc0 根的情况是()A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 C无实数根 D有一根为 0 9(2017四川泸州)若关于x的一元二次方程x22(k1)xk210有实数根,则k的取值范围是()Ak1 Bk1 Ck1 Dk1 10.(2017湖北荆门3 分)已知 3 是关于x的方程x2(m1
2、)x2m0 的一个实数根,并且这个方程的两个实数根恰好是等腰ABC的两条边的边长,则ABC的周长为()A7 B10 C11 D10 或 11 11(2017湖北荆门3 分)若二次函数yx2mx的对称轴是x3,则关于x的方程x2mx7 的解为()Ax10,x26 Bx11,x27 Cx11,x27 Dx11,x27 12.(2017内蒙古包头3 分)若关于x的方程x2(m1)x0 的一个实数根的倒数恰是它本身,则m的值是()A B C或 D1 13.(2017山东潍坊3 分)关于x的一元二次方程x2xsin0 有两个相等的实数根,则锐角等于()A15 B30 C45 D60 二、填空题 14.(
3、2017辽宁丹东3 分)某公司今年 4 月份营业额为 60 万元,6 月份营业额达到 100万元,设该公司 5、6 两个月营业额的月均增长率为x,则可列方程为 _ 15(2017山东省菏泽市3 分)已知m是关于x的方程x22x30 的一个根,则 2m24m 16.(2017 河南)若关于x的一元二次方程x23xk0 有两个不相等的实数根,则k的取值范围是_ 17.(2017山东省德州市4 分)方程 2x23x10 的两根为x1,x2,则x12x22 _ 18(2017四 川宜宾)已知一元二次方程x23x40 的两根为x1、x2,则x12x1x2x22 _ 19(2017四川攀枝花)设x1、x2
4、是方程 5x23x20 的两个实数根,则的值为 _ 20.(2017湖北黄石3 分)关于x的一元二次方程x22x2m10 的两实数根之积为负,则实数m的取值范围是 _ 21.(2017四川眉山3 分)受“减少税收,适当补贴”政策的影响,某市居民购房热情大幅提高据调查,2017 年 1 月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为 100 套,3 月份的住房销售量为 169 套假设该公司这两个月住房销售量的增长率为x,根据题意所列方程为 _ 22.(2017四川眉山3 分)设m、n是一元二次方程x22x70 的两个根,则m23mn 三、解答题 23(2017四川南充)已知关于x的一元二次方程x26x(2m
5、1)0 有实数根 (1)求m的取值范围;(2)如果方程的两个实数根为x1,x2,且 2x1x2x1x220,求m的取值范围 24(2017四川内江 12 分)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边周长为 30 米的篱笆围成已知墙长为 18 米(如图 14 所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米(1)若苗圃园的面积为 72 平方米,求x;(2)若平行于墙的一边长不小于 8 米,这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗?如果有,求出最大值和最小值;如果没有,请说明理由;(3)当这个苗圃园的面积不小于 100 平方米时,直接写出x的取值范围 18m 苗圃园 图 14 25
6、.(2017黑龙江齐齐哈尔5 分)先化简,再求值:(1),其中x22x150 26(2017湖北荆州12 分)已知在关于x的分式方程和一元二次方程(2k)x23mx(3k)n0中,k、m、n均为实数,方程的根为非负数(1)求k的取值范围;(2)当方程有两个整数根x1、x2,k为整数,且km2,n1 时,求方程的整数根;(3)当方程有两个实数根x1、x2,满足x1(x1k)x2(x2k)(x1k)(x2k),且k为负整数时,试判断|m|2 是否成立?请说明理由 27.(2017内蒙古包头)一幅长 20cm、宽 12cm的图案,如图,其中有一横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为 3:2设竖彩条的宽度
7、为xcm,图案中三条彩条所占面积为ycm2 (1)求y与x之间的函数关系式;(2)若图案中三条彩条所占面积是图案面积的,求横、竖彩条的宽度 28.(2017青海西宁10 分)青海新闻网讯:2017 年 2 月 21 日,西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用市政府今年投资了 112 万元,建成 40 个公共自行车站点、配置 720 辆公共自行车今后将逐年增加投资,用于建设新站点、配置公共自行车预计2018 年将投资 340.5 万元,新建 120 个公共自行车站点、配置 2205 辆公共自行车(1)请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元?(2)请你求出 2017 年到 201
8、8 年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率 29.(2017山东潍坊)关于x的方程 3x2mx80 有一个根是,求另一个根及m的值 30(2017山东省德州市4 分)某中学组织学生到商场参加社会实践活动,他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作,已知该运动鞋每双的进价为 120 元,为寻求合适的销售价格进行了 4 天的试销,试销情况如表所示:第 1 天 第 2 天 第 3 天 第 4 天 售价x(元/双)150 200 250 300 销售量y(双)40 30 24 20(1)观察表中数据,x,y满足什么函数关系?请求出这个函数关系式;(2)若商场计划每天的销售利润为 3000 元,则其单价应定为
9、多少元?31(2017山东省济宁市3 分)某地 2014 年为做好“精准扶贫”,授入资金 1280 万元用于一滴安置,并规划投入资金逐年增加,2017 年在 2014 年的基础上增加投入资金 1600万元(1)从 2014 年到 2017 年,该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少?(2)在 2017 年异地安置的具体实施中,该地计划投入资金不低于 500 万元用于优先搬迁租房奖励,规定前 1000 户(含第 1000 户)每户每天奖励 8 元,1000 户以后每户每天补助 5 元,按租房 400 天计算,试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励?32.(2017广西百色10 分)在直
10、角墙角AOB(OAOB,且OA、OB长度不限)中,要砌 20m长的墙,与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓,且地面矩形AOBC的面积为96m2(1)求这地面矩形的长;(2)有规格为 0.800.80 和 1.001.00(单位:m)的地板砖单价分别为 55 元/块和 80元/块,若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面(不计缝隙),用哪一种规格的地板砖费用较少?33.(2017 贵州毕节)为进一步发展基础教育,自 2014 年以来,某县加大了教育经费的投入,2014 年该县投入教育经费 6000 万元2017 年投入教育经费 8640 万元假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同(1
11、)求这两年该县投入教育经费的年平均增长率;(2)若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率,请你预算 2017 年该县投入教育经费多少万元 答案 一元二次方程及其应用 一、选择题 1.(2017湖北随州3 分)随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加,据有关部门统计,2014 年约为 20 万人次,2017 年约为 28.8 万人次,设观赏人数年均增长率为x,则下列方程中正确的是()A20(12x)28.8 B28.8(1x)220 C20(1x)228.8 D2020(1x)20(1x)228.8【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【分析】设这两年观赏人数年均增长率为x,根据“2014 年约
12、为 20 万人次,2017 年约为28.8 万人次”,可得出方程【解答】解:设观赏人数年均增长率为x,那么依题意得 20(1x)228.8,故选 C 2.(2017江西3 分)设、是一元二次方程x22x10 的两个根,则的值是()A2 B1 C2 D1【考点】根与系数的关系【分析】根据、是一元二次方程x22x10 的两个根,由根与系数的关系可以求得的值,本题得以解决【解答】解:、是一元二次方程x22x10 的两个根,故选 D 3.(2017四川攀枝花)若x2 是关于x的一元二次方程x2axa20 的一个根,则a的值为()A1 或 4 B1 或4 C1 或4 D1 或4【考点】一元二次方程的解【
13、分析】把x2 代入已知方程,列出关于a的新方程,通过解新方程可以求得a的值 【解答】解:根据题意,将x2 代入方程x2axa20,得:43aa20,即a23a40,左边因式分解得:(a1)(a4)0,a10,或a40,解得:a1 或4,故选:C【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根,所以,一元二次方程的解也称为一元二次方程的根 4(2017广西桂林3 分)若关于x的一元二次方程方程(k1)x24x10 有两个不相等的实数根,则k的取值范围是()Ak5 Bk5,且k1 Ck5,且k1 D
14、k5【考点】根的判别式;一元二次方程的定义【分析】根据方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根,结合一元二次方程的定义以及根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式组,解不等式组即可得出结论【解答】解:关于x的一元二次方程方程(k1)x24x10 有两个不相等的实数根,即,解得:k5 且k1 故选 B 5.(2017贵州安顺3 分)已知命题“关于x的一元二次方程x2bx10,必有实数解”是假命题,则在下列选项中,b的值可以是()Ab3 Bb2 Cb1 Db2【分析】根据判别式的意义,当b1 时0,从而可判断原命题为是假命题【解答】解:b24,当b1 时,0,方程没有实数解,所以b取1 可作为判断
15、命题“关于x的一元二次方程x2bx10,必有实数解”是假命题的反例 故选 C【点评】本题考查了命题与定理:判断一件事情的语句,叫做命题许多命题都是由题设和结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项,一个命题可以写成“如果那么”形式有些命题的正确性是用推理证实的,这样的真命题叫做定理任何一个命题非真即假要说明一个命题的正确性,一般需要推理、论证,而判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可 6(2017 广西南宁 3 分)二次函数yax2bxc(a0)和正比例函数yx的图象如图所示,则方程ax2(b)xc0(a0)的两根之和()A大于 0 B等于 0 C小于 0 D不能确定【考点
16、】抛物线与x轴的交点【分析】设ax2bxc0(a0)的两根为x1,x2,由二次函数的图象可知x1x20,a0,设方程ax2(b)xc0(a0)的两根为a,b再根据根与系数的关系即可得出结论【解答】解:设ax2bxc0(a0)的两根为x1,x2,由二次函数的图象可知x1x20,a0,0 设方程ax2(b)xc0(a0)的两根为a,b,则ab,a0,0,ab0故选 C【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点,熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键 7.(2017云南省昆明市4 分)一元二次方程x24x40 的根的情况是()A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C无实数根
17、 D无法确定【考点】根的判别式【分析】将方程的系数代入根的判别式中,得出0,由此即可得知该方程有两个相等的实数根【解答】解:在方程x24x40 中,(4)24140,该方程有两个相等的实数根 故选 B 8.(2017 河北 3 分)a,b,c为常数,且(ac)2a2c2,则关于x的方程ax2bxc0 根的情况是()A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 C无实数根 D有一根为 0 答案:解析:由(ac)2a2c2得出ac,因此bac,所以两根,故选项。知识点:根的判别式bac,大于零,根;等于零同根;小于零,无根。9(2017四川泸州)若关于x的一元二次方程x22(k1)xk210有实数
18、根,则k的取值范围是()Ak1 Bk1 Ck1 Dk1【考点】根的判别式【分析】直接利用根的判别式进而分析得出k的取值范围【解答】解:关于x的一元二次方程x22(k1)xk210 有实数根,b24ac4(k1)24(k21)8k80,解得:k1 故选:D 10.(2017湖北荆门3 分)已知 3 是关于x的方程x2(m1)x2m0 的一个实数根,并且这个方程的两个实数根恰好是等腰ABC的两条边的边长,则ABC的周长为()A7 B10 C11 D10 或 11【考点】解一元二次方程因式分解法;一元二次方程的解;三角形三边关系;等腰三角形的性质【分析】把x3 代入已知方程求得m的值;然后通过解方程
19、求得该方程的两根,即等腰ABC的两条边长,由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可【解答】解:把x3 代入方程得 93(m1)2m0,解得m6,则原方程为x27x120,解得x13,x24,因为这个方程的两个根恰好是等腰ABC的两条边长,当ABC的腰为 4,底边为 3 时,则ABC的周长为 44311;当ABC的腰为 3,底边为 4 时,则ABC的周长为 33410 综上所述,该ABC的周长为 10 或 11 故选:D 11(2017湖北荆门3 分)若二次函数yx2mx的对称轴是x3,则关于x的方程x2mx7 的解为()Ax10,x26 Bx11,x27 Cx11,x27 Dx11,x2
20、7【考点】二次函数的性质;解一元二次方程因式分解法【分析】先根据二次函数yx2mx的对称轴是x3 求出m的值,再把m的值代入方程x2mx7,求出x的值即可【解答】解:二次函数yx2mx的对称轴是x3,3,解得m6,关于x的方程x2mx7 可化为x26x70,即(x1)(x7)0,解得x11,x27 故选 D 12.(2017内蒙古包头3 分)若关于x的方程x2(m1)x0 的一个实数根的倒数恰是它本身,则m的值是()A B C或 D1【考点】一元二次方程的解【分析】由根与系数的关系可得:x1x2(m1),x1x2,又知个实数根的倒数恰是它本身,则该实根为 1 或1,然后把1 分别代入两根之和的
21、形式中就可以求出m的值 【解答】解:由根与系数的关系可得:x1x2(m1),x1x2,又知个实数根的倒数恰是它本身,则该实根为 1 或1,若是 1 时,即 1x2(m1),而x2,解得m;若是1 时,则m 故选:C 13.(2017山东潍坊3 分)关于x的一元二次方程x2xsin0 有两个相等的实数根,则锐角等于()A15 B30 C45 D60【考点】根的判别式;特殊角的三角函数值【分析】由方程有两个相等的实数根,结合根的判别式可得出sin,再由为锐角,即可得出结论【解答】解:关于x的一元二次方程x2xsin0 有两个相等的实数根,4sin24sin0,解得:sin,为锐角,30 故选 B
22、二、填空题 14.(2017辽宁丹东3 分)某公司今年 4 月份营业额为 60 万元,6 月份营业额达到 100万元,设该公司 5、6 两个月营业额的月均增长率为x,则可列方程为 60(1x)2100 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【分析】设平均每月的增长率为x,根据 4 月份的营业额为 60 万元,6 月份的营业额为 100万元,分别表示出 5,6 月的营业额,即可列出方程【解答】解:设平均每月的增长率为x,根据题意可得:60(1x)2100 故答案为:60(1x)2100 15(2017山东省菏泽市3 分)已知m是关于x的方程x22x30 的一个根,则 2m24m 6 【考点】一元二
23、次方程的解【专题】推理填空题【分析】根据m是关于x的方程x22x30 的一个根,通过变形可以得到 2m24m值,本题得以解决【解答】解:m是关于x的方程x22x30 的一个根,m22m30,m22m3,2m24m6,故答案为:6【点评】本题考查一元二次方程的解,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件 16.(2017 河南)若关于x的一元二次方程x23xk0 有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 k 【考点】根的判别式;解一元一次不等式【分析】由方程有两个不相等的实数根即可得出0,代入数据即可得出关于k的一元一次不等式,解不等式即可得出结论【解答】解:关于x的一元二次方程x23xk0
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