高等数学第一章函数与极限试题.pdf
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1、*高等数学第一章函数与极限试题 一.选择题 1.设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数,NM 表示“M 的充分必要条件是 N”,则必有(A)F(x)是偶函数f(x)是奇函数.(B)F(x)是奇函数f(x)是偶函数.(C)F(x)是周期函数f(x)是周期函数.(D)F(x)是单调函数f(x)是单调函数 2设函数,11)(1xxexf则(A)x=0,x=1 都是 f(x)的第一类间断点.(B)x=0,x=1 都是 f(x)的第二类间断点(C)x=0 是 f(x)的第一类间断点,x=1 是 f(x)的第二类间断点.(D)x=0 是 f(x)的第二类间断点,x=1 是 f(x)的第一类间断点.3
2、设f(x)=xx1,x0,1,则f)(1xf=()A)1x B)x11 C)X1 D)x 4下列各式正确的是()A)lim0 x)x1+1(x=1 B)lim0 x)x1+1(x=e C)limx)x1 1(x=-e D)limx)x1+1(x=e*5已知9)(limxxaxax,则a()。A.1;B.;C.3ln;D.3ln2。6极限:xxxx)11(lim()A.1;B.;C.2e;D.2e 7极限:xlim332xx=()A.1;B.;C.0;D.2 8极限:xxx11lim0=()A.0;B.;C 21;D.2 9.极限:)(lim2xxxx=()A.0;B.;C.2;D.21 10极
3、限:xxxx2sinsintanlim30=()A.0;B.;C.161;D.16 二.填空题 11极限12sinlim2xxxx=.12.lim0 xxarctanx=_.13.若)(xfy 在点0 x连续,则)()(limxfxfxx=_;14.xxxx5sinlim0_;15.nnn)21(lim_;16.若函数23122xxxy,则它的间断点是_ 17.绝对值函数 xxf)(.0,;0,0;0,xxxxx x *xxxxf25lg12其定义域是 ,值域是 18.符号函数 xxfsgn)(.0,1;0,0;0,1xxx 其定义域是 ,值域是三个点的集合 19.无穷小量是 20.函数)(x
4、fy在点 x0 连续,要求函数 y f(x)满足的三个条件是 三.计算题 21.求).111(lim0 xexxx 22.设 f(e1x)=3x-2,求 f(x)(其中 x0);23.求lim2x(3x)25xx;24.求limx(11xx)x;25.求lim0 x)3(2tansin22xxxx 26.已知9)(limxxaxax,求a的值;27.计算极限nnnn1)321(lim 28.求它的定义域。29.判断下列函数是否为同一函数:f(x)sin2xcos2x g(x)1 11)(2xxxf 1)(xxg 21)(xxf 1)(xxg 21xxf 1)(xxg yax2 sat2*30.
5、已知函数 f(x)x2-1,求 f(x+1)、f(f(x)、f(f(3)+2)31.求 746153lim22nnnnn 32.求 221limnnn 33.求)1(limnnn 34.求 nnnnn3232lim 35.判断下列函数在指定点的是否存在极限 2,2,1xxxxy 2x 0,310,sinxxxxy 0 x 36.31lim3xx 37.93lim23xxx 38.xxx11lim0 39.求当 x时,下列函数的极限112323xxxxy 40.求当 x时,下列函数的极限11232xxxxy41.41.xxx3sinlim0 42.20cos1limxxx 43.311limnn
6、n 44.nnn211lim*45.xxkx)11(lim 46.xxx11lim 47.xxkx101lim 48.研究函数在指定点的连续性 0,10,sin)(xxxxxf x00 49.指出下列函数在指定点是否间断,如果间断,指出是哪类间断点。11)(xxf,x1 50.指出下列函数在指定点是否间断,如果间断,指出是哪类间断点。0,00,1)(xxxxf,x 51.指出下列函数在指定点是否间断,如果间断,指出是哪类间断点。0,10,)(2xxxxf,x 52.证明 f(x)x2是连续函数 53.xxx)1ln(lim0 54.xxxxln11lim21 55.试证方程 2x33x22x3
7、0 在区间1,2至少有一根 56.xxxx2sinsintanlim30 57.试证正弦函数 y=sin x 在(-,+)内连续。58.函数 f(x)=x=00 xxxx,;,在点 x=0 处是否连续?59.函数)(xf=0001sinxxxx,;,是否在点0 x连续?*60.求极限 xaxx1lim0.答案:一.选择题 1.A【分析】本题可直接推证,但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】方法一:任一原函数可表示为xCdttfxF0)()(,且).()(xfxF 当 F(x)为偶函数时,有)()(xFxF,于是)()1()(xFxF,即)()(xfxf,也即)()(xfxf,可见
8、 f(x)为奇函数;反过来,若 f(x)为奇函数,则xdttf0)(为偶函数,从而xCdttfxF0)()(为偶函数,可见(A)为正确选项.方法二:令 f(x)=1,则取 F(x)=x+1,排除(B)、(C);令 f(x)=x,则取 F(x)=221x,排除(D);故应选(A).【评注】函数 f(x)与其原函数 F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过.请读者思考 f(x)与其原函数 F(x)的有界性之间有何关系?2.D【分析】显然 x=0,x=1 为间断点,其分类主要考虑左右极限.【详解】由于函数 f(x)在 x=0,x=1 点处无定义,因此是间断点.且 )(lim0 xfx,所以 x=
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