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1、文档 五、(导)函数的零点(方程的根或曲线与x轴的交点)1、函数方程0)(xf的根 三种语言:函数的零点,曲线与x轴的交点,方程的根 常用方法:存在性 闭区间上连续函数的介值定理 唯一性 单调性(导数的符号);反证法;简单作图(单调区间,极值),分析与x轴的相对位置(1)设常数0k,kexxxf ln)(在),0(内 零点个数为 A 3 B 2 C 1 D 0(2)当a取何值时,axxxxf1292)(23恰好 有两个不同零点 A 2 B 4 C 6 D 8 (3)若0532 ba,则方程043235cbxaxx A 无实根 B 有唯一实根 C 有三个不同实根 D 有五个不同实根 (4)设函数
2、)(xf在,ba连续,且0)(xf,文档 则0)(1)(dttfdttfxbxa在),(ba内的根是 A 0 B 1 C 2 D 无穷多个 (5)在),(内,方程0cos2141xxx A 无实根 B 有且仅有唯一实根 C 有且仅有两个实根 D 有无穷多个实根(6)证明 dxxexx02cos1ln在),0(内有 且仅有两个不同实根(7)讨论axexFx)()0(a的零点个数(8)讨论曲线kxyln4与xxy4ln4 的交点个数 (2003,2)(9)就k的不同取值,确定方程kxxsin2在)2,0(内根的个数,并证明你的结论(10)求方程0arctan xxk不同实根的个数,其中k为参数 (
3、2011,1)(11)设有方程01nxxn,其中n为正整数,证明此方程存在唯一正实根 文档 (2004,1)(12)证明方程0334arctan4xx恰有 2 个实根 (2011,3)文档 第三部分 一元函数积分学 一、基本要求 1 掌握不定积分的基本性质和基本积分公式 2 掌握不定积分的换元与分部积分法 3 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分(数一、二)4 理解定积分的概念和基本性质,掌握定积分中值定理 5 理解积分上限函数,并会求其导数 6 会计算反常积分 7 掌握定积分计算平面图形的面积,旋转体的体积和函数的平均值;(仅数一、二要求)掌握用定积分计算平面曲线的弧长,旋转体的
4、侧面积,平行截面面积已知的立体体积;功引力、压力等;(仅数三要求)利用定积分求解简单的经济应用问题 二、重点 1 不定积分与定积分的概念、性质、计算 2 各种类型的变限积分问题 3 和定积分相关的证明 4 定积分的应用问题 文档 三、难点 1 和定积分相关的证明 2 定积分的应用问题 四、内容小结 1 原函数(不定积分)存在定理 连续函数必有原函数 注:含间断点的函数也可能存在原函数 如,0,00,1cos1sin2)(xxxxxxf ,)(xf在0 x不连续,但显然0,00,1sin)(2xxxxxF是)(xf的一个原函数,因为)(xf是 1,0只有一个间断点的有界函数,所以可积,且1sin
5、)()(1010 xFdxxf 2 不定积分的性质上 CxFdxxf)()(其中)()(xfxF Cdttfdxxfxa)()(dxxgbdxxfadxxbgxaf)()()()()()()(xfdxxfdxddxxf 文档 dxxfdxxfd)()(Cxfdxxf)()(Cxfxdf)()(3 基本公式(熟)Caxaxaarctan1122 Caxdxxaarcsin122 Cxaxaadxxaln21122 Caxxdxax2222ln1 4 基本积分法 重要 凑微分法:熟悉常见的凑微分因子 换元法:三角代换、根式代换、倒代换、指数代换、其他代换 分部积分法:适用于两种不同类型函数乘积的积
6、分 注:dxex2,dxxxsin,dxxln1,dxx411等在初等函数范围内没有原函数!文档 5 定积分定义 baknkkdxxfxf)()(10lim )(xf连续)(xf可积,即 nabknabafdxxfnknba)()(10lim nabknabafnkn)(1lim 特例:nxk1,即 1,0 n等分 nnkfdxxfnkn1)(1010lim nnkfnkn11lim 如,(1)2222212111limnnnnn (2)22222221limnnnnnnnn 文档 (3)nbnnanbaan)1sin()sin(sinlim (4)(2004,2)nnnnnn12111lim
7、222ln 等于 A xdx212ln B 21ln2xdx C 21)1ln(2dxx D 212)1(lndxx (5)nnnnnnnnn1sin212sin1sinlim 文档 6 定积分性质 (1)abbadxxfdxxf)()(aadxxf0)((2)bababaduufdttfdxxf)()()((3)线性性质、可加性 (4)abdxba1 以上性质用于计算!(5)比较定理 若)(),(xgxf在ba,可积 且baxxgxf,),()(,则babadxxgdxxf)()(事实上,若)(),(xgxf在ba,连续,且baxxgxf,),()(,只要)(xf不恒等于)(xg,则baba
8、dxxgdxxf)()(推论:若)(xf在ba,可积,且baxxf,0)(,则0)(badxxf 若)(xf在ba,可积,则)(xf在ba,可积,且dxxfdxxfbaba)()(常考!若)(xf是ba,上非负的连续函数,只要)(xf不恒等于零,则必有0)(badxxf (6)估值定理 文档 设)(xf的最小值与最大值分别为m和M,bax,则 )()()(abMdxxfabmba (7)定积分中值定理 常用于证明!若)(xf在ba,连续,则在ba,上至少存在一点,使 baabfdxxf)()(或 abdxxffba)()(称 上式为)(xf在ba,的平均值公式 (8)如果)(),(xgxf在b
9、a,连续,且)(xg不变号,则至少存在一点ba,,使babadxxgfdxxgxf)()()()(7 重要公式、定理(1)badxxfdxd0)(;)()(xfdxxfdxd;xaxfdttfdxd)()((2)变限积分的性质及其导数 文档 若)(xf在ba,可积,则xadttfx)()(在ba,上连续;若)(xf在ba,连续,则xadttfx)()(在ba,上可导 证明定积分有关命题时使用!注:变限积分xadttfx)()(只要存在就是连续的!设)(xf是连续函数,)()(xfdttfdxdxa )()(xfdttfdxdbx)()()()(xaxafdttfdxdxaa )()()()(x
10、bxbfdttfdxdbxb )()()()()()()(xaxafxbxbfdttfdxdxaxb xaxadttgxfdxddttgxfdxd)()()()()()()()(xgxfdttgxfxa )()()(0axfduufdxdutxdttxfdxdaxxa(3)当)(xf为奇函数,dttfx0)(为偶函数;当)(xf为偶函数,dttfx0)(为奇函数;文档 奇函数的所有原函数都是偶函数;偶函数的所有原函数只有一个是奇函数(4)定积分存在的充分条件:)(xf在ba,连续或在ba,上有界且只有有限个间断点,则badxxf)(存在,也称)(xf在ba,可积 定积分存在的必要条件:可积函数
11、必有界.即若badxxf)(存在,则)(xf在ba,上必有界 (5)微积分基本公式 (牛顿-莱布尼兹公式)baaFbFdxxf)()()(,)()(xfxF 注:)(xf在ba,连续,揭示了不定积分和定积分的联系 在积分区间ba,上只有有限个间断点的被积函数)(xf,只要其在ba,上存在原函数,牛顿-莱布尼兹公式依然成立(6)换元公式:dtttftxdxxfba)()()()(条件:)(xf在ba,连续,)(t在,连续,且a)(,b)(通常取)(tx为单调函数 注:换元必换限!分部积分公式:bababavduuvudv 文档 (7))(xf在aa,连续,则 奇函数偶函数)(0)()(2)(0
12、xfxfdxxfdxxfaaa dxxfxfdxxfaaa0)()()((8)20224adxxaa;2222adxxaaa(9)设)(xf是连续函数,则 2020)(cos)(sindxxfdxxf 利用换元法证明 奇数偶数nnnnnnnnnnxdxxdxnn132231221231cossin2020 200sin2sinxdxxdxnn 奇数偶数nnxdxxdxnn0cos2cos200 文档 奇数偶数nnxdxxdxxdxnnn0sin4sincos202020 221sin40 xdx 22sin24xdx 1cossin2020 xdxxdx 2sin0 xdx 00)(sin2)
13、(sindxxfdxxxf(10)12122dxex 概率积分 220dxex dxex2(11)设)(xf是以T为周期的连续函数,则 220)()()(TTTTaadxxfdxxfdxxf,其中a为任意常数 TnTdxxfndxxf00)()(文档(12)三角函数系,2cos,2sin,cos,sin,1xxxx,cos,sinnxnx在,正交,即任意两个不同函数在,上的积分值等于零 0coskxdx 0sinkxdx 0sincoslxdxkx 0coscoslxdxkx 0sinsinlxdxkx lk,lk,为正整数 kxdx2cos kxdx2sin (13)广义积分(反常积分)ba
14、badxxfdxxf)()(lim baabdxxfdxxf)()(lim ccdxxfdxxfdxxf)()()(bacbcadxxfdxxf)()(lim 其中)0(cf baacbcdxxfdxxf)()(lim 其中)0(cf cabcbadxxfdxxfdxxf)()()(其中)(limxfcx 文档 一般是看分母为零的点!但也有例外:10ln xdx 是瑕积分 而10121dxexx不是广义积分,因为011_20limxxex 几个重要的广义积分:dxxap1)0(a 11pp发散收敛 记法:将a看作pn1 倒代换后利用上面的结果可得:dxxbq01)0(b 11qq发散收敛 dx
15、xxaapln1,111pp发散收敛 (14)定积分的应用 典型例题:文档 一、不定积分 1、原函数与不定积分的概念(1)xxxeef)(,且0)1(f,则_)(xf(2)已知cxdxxxfarcsin)(,求dxxf)(1 2、不定积分的计算 基本积分法(重要!)凑微分:熟悉常见的凑微分因子(1)0),()(1)(abaxdbaxfadxbaxf (2)nnnndxxfndxxxf)(1)(1 (3)xxxxdeefdxeef)()(xxxxdaafadxaaf)(ln1)((4)xdxfdxxxfln)(ln1)(ln 文档 xdxfadxxxfaaalog)(logln1)(log (5
16、)xdxfdxxxf)(21)((6)xdxfxdxxfsin)(sincos)(sin xdxfdxxxfarctan)(arctan11)(arctan2 xdxfxdxxftan)(tansec)(tan2 xdxfdxxxfarcsin)(arcsin11)(arcsin2 xdxfxdxxxfsec)(sectansec)(sec (1)练习凑微分:dxexex dxxx221arcsin1 文档 dxxx1cos12 dxxx21arctan21 dxxxxx5)sin(coscossin dxxxx)1(ln)ln(23 dxexxexxxx)13()(22 dxexxexxex
17、)sin(coscos dxxxx2215)1ln(dxxbxax2222sincos2sin ,ab 文档 dxxxx2)ln(ln1 dxxexxxx)cos1(cossincossin2 换元法:根式代换、三角代换、指数代换、倒代换、其他代换(反三角或对数代换)等(2)dxxxex23)1(2arctan dxx2111 (3)dxexexx1 dxxx)11ln(0 x (4)dxeexx2arctan xxxdx4212 文档 (5)dxxxx)1(arctan22 dxx)sin(ln (6)222xaxdx)0(a dxxx1003)1(12 分部积分法:适用于两种不同类型函数乘
18、积的积分,也常用于递推公式的推导(7)dxexx22)1(xdxxx2cos)522(3(8)dxxx2)1(ln (9)xdxx2sin(10)dxxex22)1(tan(11)dxxx2sinsinln dxxxxlnarcsin(2011,3)文档(12)dxaxInn)(122 有理函数(分子、分母都是多项式函数)的不定积分(13)dxxx1142 (14)dxxxx224 三角有理式(由正、余弦函数及常数经过有限次四则运算得到的函数)的不定积分(数三不要求)(15)dxxsin11 (16)dxxxcos1cos(17)dxxx22cos2sin1 dxxbxa2222cossin1
19、 (ba,不全为零)(18)dxxxxxsin2cos5sin3cos7 (19)xdxtan53 文档 简单无理函数的不定积分(20)dxxx31 (21)dxxx342)1()1(1 抽相函数的不定积分 (22)dxxfxxf)(ln)(ln(23)dxxf x)2(,其中)(xf的原函数为xxsin 分段函数的不定积分(24)dxxx),1max(32 二、定积分、反常积分、变限积分 1、定积分的性质 (1)比较12dxex,122dxex,12)1(dxx(2)设dxxxI401tan,dxxxI402tan,则 A 121 II B 211II 文档 C 112 II D 121II
20、 (3)设tdtexFxxtsin)(2sin,则)(xF A 为正常数 B 为负常数 C 恒为零 D 不为常数 (4)设)3,2,1(sin02kxdxeIkxk A 321III B 123III C 132III D 312III 2、定积分的计算(1)dxex2ln021 (2)dxxxx2022 文档(3)dxxx10234)1((4)dxxxxeeeelnlnln (5)dxx0sin1 (6)dxexx22)1ln((7)dxxx102)2()1ln((8)dxxxxex442cos)sin(cos(9)xdxx208sin (10)设)(),(xgxf在区间)0(,aaa上连续
21、,)(xg为偶函数,且)(xf满足条件Axfxf)()(A为常数)文档 证明aaadxxgAdxxgxf0)()()(利用的结论计算22arctansindxexx 抽象函数的定积分 (1)设dtttxfx0sin)(,求0)(dxxf(2)21)2(f,0)2(f及201)(dxxf 求dxxfx)2(102 对称区间奇、偶函数的积分;周期函数的积分(1)dxxx1122)1((2)xdxxx22223cos)sin(文档(3)xdx343224sin (4)dxxn02sin1 (5)dxxxee)sin1)(sin22 特殊形式的积分(1)设)(xf在),(满足xxfxfsin)()(,
22、且,0,)(xxxf,求3)(dxxf 分段函数的定积分(1)001)(2xexxxfx ,求31)2(dxxf (2)dxx),2min(232(3)dxxx52232 (4)dtxt t10 文档 杂例 (1)设)(xf连续,且10)(2)(dttfxxf,则_)(xf (2)221xxy在23,21上的平均值为_ (3)会读图!递推公式:常用分部积分法!(1)40tanxdxann,Zn 求)tan(lim40 xdxnnn(2)xdxxbnn0sin,Zn 3、变限积分(1)设)(xf连续,且20arctan21)2(xdttxtfx,文档 已知1)1(f,求21)(dxxf (2)设
23、)(xf为连续函数,tytdxxfdytF)()(1 求)2(F (3)设)(xf为连续函数,tsdxtxftI0)(,其中0,0st,则I的值 A 依赖于ts,B 依赖于ts,和x C 依赖于xt,不依赖于s D 依赖于s不依赖于t (4)设010001)(xxxxf ,xdttfxF0)()(,问)(xF在0 x处 A 不连续 B 连续但不可导 C 可导且)()(xfxF D 可导但)(xF未必等于)(xf(5)设xdtexfxt,)(0212,则 _)(xf 文档 )(xf的单调性是_ )(xf的奇偶性是_ 图形的拐点是_ 凸凹区间是_ 水平渐近线是_ 4、广义积分(反常积分)(1)dx
24、xx12arctan (2)已知1dxexk,则_k 注:对称区间上奇、偶函数的反常积分与对称区间上奇、偶函数的定积分比较,多了一个条件:收敛!如果不满足这个条件,结论不成立!文档 反例:dxxx21是发散的,即认为dxxx210 是错的!(3)22)7(xxdx (4)当k为何值时,dxxxk2ln1收敛;k为何值,发散;k为何值,反常积分取得最小值 三、定积分的应用(微元法)1、几何方面(1)位于曲线)0(xxeyx下方,x轴上方的无界图形的面积是_(2)曲线)0(sin23xxy与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积_(3)曲线)2)(1(xxy与x轴围成的平面图形绕y轴旋转
25、一周所得旋转体的体积_ (4)设有曲线1xy,过原点做其切线,求由此曲线、切线及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转文档 体的表面积(5)过原点作曲线xyln的切线,该切线与曲线xyln 及x轴围成平面图形D,求D的面积A;求D绕直线ex 旋转一周所得旋转体的体积V(6)求曲线132xy与x轴围成的封闭图形绕直线 3y旋转一周所得旋转体的体积V(7)设星形线)0(sincos33ataytax,求面积A;全长s;绕x轴旋转得旋转面的全面积xA;绕x轴旋转得旋转体的体积xV(8)双纽线22222)(yxyx所围成区域的面积可表示为 A 402cos2d B 402cos4d C 402cos
26、2d D 402)2(cos21d(9)曲线)40(0 xantdttyx的弧长_s (2011,1,2)(10)当0时,对数螺线er 的弧长为_ (2010,2)文档 (11)设 封 闭 曲 线L的 极 坐 标 方 程 为3cosr,)66(,则L所围平面图形的面积是_(12)设曲线xeyxsin21在0 x的部分与x轴所围成的平面区域记为,试求平面区域绕x轴旋转所得的旋转体体积V 2、物理方面(1)某建筑工地打地基时,需用汽锤将桩打进土层,汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而做功,设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比,比例系数为)0(kk,汽锤第一次击打桩打进地下a米,根据设
27、计方案,要求汽锤每次击打桩时所做的功与前一次击打时所做的功之比为常数)10(rr,问汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深?若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深?(2)证明:把质量为m的物体从地球表面升高到h处所做的功是hRmgRhW,其中g是重力加速度,R是地球半径(3)如图所示:x轴上有一线密度为常数,长度为l的细杆,有一质量为m的质点到杆右端的距离为a,已知引力系数为k,则质点和细杆之间引力的大小为 文档 A dxxakml02)(B dxxakml02)(C dxxakml022)(2 D dxxakml202)(2(4)设一半径为R,中心角为的圆弧形细棒,其线密度为常数,在圆心处有一个质量为m的质点M,试求细棒对质点M的引力(5)某闸门形状与大小如图示:其中l为对称轴,闸门的上部为矩形ABCD,下部由二次抛物线与线段AB围成,当水面与闸门的上端相平时,欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为45,闸门矩形部分的高h应用多少米?(6)一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面,该曲线由)21(222yyyx与)21(122yyx连接而成,求容器的容积;若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出,至少需要做多少功?(长度单位:m,重力加速度为2sgm,水的密度为3310mkg)3、经济方面 文档 四、关于定积分的证明问题
限制150内