20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题2.5 指数及指数函数(解析版).docx
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1、第五讲 指数及指数函数【套路秘籍】-始于足下始于足下一根式1.根式的不雅念根式的不雅念标志表示备注假设axn,那么x叫做a的n次实数方根n1且nN*当n为奇数时,负数的n次实数方根是一个负数,负数的n次实数方根是一个负数0的n次实数方根是0当n为偶数时,负数的n次实数方根有两个,它们互为相反数负数不偶次方根2.两个要紧公式(n为偶数);()na(留心a必须使有意思)二有理指数幂(1)分数指数幂的表示负数的正分数指数幂是(a0,m,nN*,n1);负数的负分数指数幂是(a0,m,nN*,n1);0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂有意思(2)有理指数幂的运算性质asatast(a0,t,sQ)
2、;(as)tast(a0,t,sQ);(ab)tatbt(a0,b0,tQ)三 指数函数的图象与性质1指数函数的定义一般地,函数yax(a0,a1)叫做指数函数,函数的定义域是R.2指数函数的图象与性质yaxa10a0时,y1;当x0时,0y0时,0y1;当x1在(,)上是增函数在(,)上是减函数【修炼套路】-为君聊赋往日诗,努力请从往日始考向一指数的运算【例1】打算化简(1)(12)-1+823+(2019)0=.2(278)13-(30.5)2+(0.008)-23425=_3已经清楚x12+x-12=3,求以下各式的值:x+x-1;x2+x-2;x32-x-32x12-x-12.【答案】
3、17252347478【分析】(1)12-1+823+20190=2+4+1=72(278)13-(30.5)2+(0.008)-23425,=(32)313-3122+(15)3(-23)425=32-3+4=523由于x12+x-12=3,因此(x12+x-12)2=x+2+x-1=9,即x+x-1=7.由于x+x-1=7因此(x+x-1)2=x2+2xx-1+x-2=x2+2+x-2=49,即x2+x-2=47.x32-x-32x12-x-12=(x12)3-(x-12)3x12-x-12=(x12-x-12)(x+1+x-1)x12-x-12=x+1+x-1=8.【套路总结】指数幂运算
4、的四个原那么:(1) 有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算;(2) 先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数;(3) 底数是负数,先判定标志,底数是小数,先化因素数,底数是带分数的,先化成假分数;4假设是根式,应化为分数指数幂,尽可以用幂的方法表示,使用指数幂的运算性质来解答化简过程中肯定要留心等价性,特不留心开偶次方根时函数的定义域【举一反三】10.027-13-(-16)-2+2560.75+(125729)-13+(59)-1-729-16_.【答案】31【分析】原式0.3-1-36+25634-(125729)-13+95-93(-16)=103-36+43-95+95-13=3
5、1.故答案为:312化简:(3+2)2015(3-2)2016_.【答案】3-2【分析】(3+2)2015(3-2)2016=(3+2)(3-2)20153-2=3-2.故答案为:3-23(0.25)12-23702(-2)343+(2-1)-1-212_【答案】-1252【分析】原式=(14)12-22(-2)4+12-1-2=12-416+2-1-2=12-416+2+1-2=-1252,故答案为-1252.4.已经清楚xx13,那么的值为【答案】2【分析】x2x15,(31)2.5.已经清楚a,b是方程x26x40的两根,且ab0,那么.【答案】【分析】由已经清楚得,a3,b3,因此ab
6、6,ab4,因此2.由于ab0,因此,因此.6设2x8y1,9y3x9,那么xy的值为【答案】27【分析】2x8y123(y1),x3y3,9y3x932y,x92y,解得x21,y6,xy27.7已经清楚a3(a0),那么a2aa2a1的值为【答案】11【分析】由a3,得29,即a229,故a2a211.又(aa1)2a2a2211213,且a0,因此aa1.因此a2aa2a111.考向二指数函数的揣摸【例2】函数f(x)(a23a3)ax是指数函数,那么有Aa1或a2Ba1Ca2Da0且a1【答案】C【分析】函数f(x)(a23a3)ax是指数函数,按照指数函数的定义掉掉落a23a3=1,
7、且a0,解得a=1或2,由于指数函数的底数不克不迭为1,故结果为2.故答案为:C.【套路总结】指数函数,指数函数的需要同时称心系数为1次数为1【举一反三】1函数y=a23a+3ax是指数函数,那么a的值为A1或2B1C2Da0且a1的一实在数【答案】C【分析】y=a23a+3ax是指数函数,a2-3a+3=1a0且a1,解得a=2应选C2函数fx=2a3ax是指数函数,那么f1=A8B32C4D2【答案】D【分析】函数fx=2a-3ax是指数函数,2a-3=1,解得a=2;fx=2x,f1=2应选:D3函数fx=m2-m-1ax是指数函数,那么实数m=A2B1C3D2或-1【答案】D【分析】由
8、指数函数的定义,得m2-m-1=1,解得m=2或-1,应选D.考向三指数函数的单调性【例3】函数fx=51-2x+4的单调递增区间为A-2,+B-32,+C-,-32D-,-2【答案】D【分析】由题意,函数fx的定义域为R,设u=gx=1-2x+4=-2x-32x+5x-2x-2,那么gx在-2,+上单调递减,在-,-2上单调递增,又由于y=5u在R上单调递增,按照复合函数的单调性,可得函数fx的单调递增区间为-,-2.【套路总结】指数函数单调性的揣摸1. 按照指数的底数a停顿揣摸,0a1为增函数2. 指数型函数的单调性按照复合函数“同增异减3. 求单调区间必须先求定义域【举一反三】1.函数f
9、(x)=e-x2+4x-9的单调递增区间是A(-2,+)B(2,+)C(-,-2)D(-,2)【答案】D【分析】由于y=ex,是指数函数,是增函数,y=-x2+4x-9是开口向下的二次函数,因此x2时,二次函数y=-x2+4x-9是增函数,x2时,y=-x2+4x-9是减函数,由复合函数的单调性可知:函数f(x)=e-x2+4x-9的单调递增区间是(-,2)应选:D2.函数f(x)4x2x1的单调增区间是_【答案】0,)【分析】设t2x(t0),那么yt22t的单调增区间为1,),令2x1,得x0,又y2x在R上单调递增,因此函数f(x)4x2x1的单调增区间是0,)3假设函数f(x)a|2x
10、4|(a0,a1)称心f(1),那么f(x)的单调递减区间是_【答案】2,)【分析】由f(1),得a2,因此a或a(舍去),即f(x)|2x4|.由于y|2x4|在(,2上单调递减,在2,)上单调递增,因此f(x)在(,2上单调递增,在2,)上单调递减考向四指数函数的定义域跟值域【例4】1函数y=4-2x的定义域为_(2) 设函数fx=4-4x,那么函数fx4的定义域为。3函数y=2x2x+1(xR)的值域为。4函数fx=(12)x2+2x+3值域为。【答案】1(-,22(-,430,14(0,14【分析】1由二次根式有意思,得:4-2x0,即2x4=22,由于y=2x在R上是增函数,因此,x
11、2,即定义域为:(-,22由于fx=4-4x,因此fx4=4-4x4,由于4-4x40,4x44,x41,x4,因此fx4的定义域为-,43y=2x2x+1=2x+1-12x+1=1-12x+1,2x0,1+2x1,012x+11,-1-12x+10,01-12x+11,即0y0可得C选项.【举一反三】1函数f(x)=2x+1的值域为_【答案】(0,+)【分析】由指数函数的性质可知,2x0,因此2x+1=22x0,故函数的值域为(0,+)故答案为:(0,+)2函数f(x)=4x-2x+2,x-1,2的值域为_【答案】-4,0【分析】令t=2x(12t4),那么y=t2-4t=(t-2)2-4,
12、当t=4时,ymax=0;当t=2时,ymin=-4;故函数f(x)=4x-2x+2,x-1,2的值域为-4,0故答案为:-4,0考向五比较大小【例5】设a=(35)25,b=(25)35,c=(25)25,那么a,b,c的大小关系是AacbBabcCcabDbca【答案】A【分析】关于函数y=(25)x,在(0,+)上是减函数,3525,(25)35(25)25,即b25,(35)25(25)25,即ac从而bca故A精确【举一反三】1.已经清楚a=0.50.8,b=0.80.5,c=0.80.8,那么AcbaBcabCabcDacb【答案】D【分析】由题意,按照指数函数与幂函数的单调性,可
13、得a=0.50.80.50.5,因此ba,又由c=0.80.80.50.8,因此ca,又由b=0.80.5c=0.80.8,因此ac(23)23(25)23B(23)13(25)23(23)23C(25)23(23)13(23)23D(23)23(23)13(25)23【答案】A【分析】y=23x在R上为减函数,2313,2323250,23232523231323232523应选:A3已经清楚a=5log23.4,b=5log43.6,c=15log70.3,那么AbacBacbCcabDabc【答案】D【分析】a=5log23.4,b=5log43.6,c=15log70.3=5log71
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