2018版高中数学平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念导学案新人教A版必修4含解析.pdf
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1、2.1 平面向量的实际背景及基本概念学习目标1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量,掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示,了解有向线段与向量的联系与区别,会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念,会辨识图形中这些相关的概念.知识点一向量的概念思考 1 在日常生活中有很多量,如面积、质量、速度、位移等,这些量有什么区别?答案面积、质量只有大小,没有方向;而速度和位移既有大小又有方向.思考 2 两个数量可以比较大小,那么两个向量能比较大小吗?答案数量之间可以比较大小,而两个向量不能比较大小.梳理向量与数量(1)向量:既有
2、大小,又有方向的量叫做向量.(2)数量:只有大小,没有方向的量称为数量.知识点二向量的表示方法思考 1 向量既有大小又有方向,那么如何形象、直观地表示出来?答案可以用一条有向线段表示.思考 2 0 的模长是多少?0 有方向吗?答案0 的模长为0,方向任意.思考 3 单位向量的模长是多少?答案单位向量的模长为1 个单位长度.梳理(1)向量的几何表示:向量可以用一条有向线段表示.带有方向的线段叫做有向线段,它包含三个要素:起点、方向、长度,如图所示.以A为起点、B为终点的有向线段记作AB.(2)向量的字母表示:向量可以用字母a,b,c,表示(印刷用黑体a,b,c,书写时用a,b,c).(3)向量A
3、B的大小,也就是向量AB的长度(或称模),即有向线段AB的长度,记作|AB|.长度为0 的向量叫做零向量,记作0;长度等于1 个单位的向量,叫做单位向量.知识点三相等向量与共线向量思考 1 已知A,B为平面上不同两点,那么向量AB和向量BA相等吗?它们共线吗?答案因为向量AB和向量BA方向不同,所以二者不相等.又表示它们的有向线段在同一直线上,所以两向量共线.思考 2 向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗?答案不相同,由相等向量定义可知,向量可以任意移动.由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上,所以平行向量也叫做共线向量.因此共线向量所在的直线可以平行,也可以重合.思考
4、3 若ab,bc,那么一定有ac吗?答案不一定.因为当b0 时,a,c可以是任意向量.梳理(1)相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.(2)平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.记法:向量a平行于b,记作ab.规定:零向量与任一向量平行.(3)共线向量:由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上,所以平行向量也叫做共线向量.也就是说,平行向量与共线向量是等价的,因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.类型一向量的概念例 1 下列说法正确的是()A.向量AB与向量BA的长度相等B.两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的终点相同C.零向量没有方向
5、D.任意两个单位向量都相等答案A 解析两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的方向不一定相同,终点也不一定相同;零向量的方向不确定,并不是没有方向;任意两个单位向量只有长度相等,方向不一定相同,故 B,C,D都错误,A正确.故选 A.反思与感悟解决向量概念问题一定要紧扣定义,对单位向量与零向量要特别注意方向问题.跟踪训练1 下列说法正确的有 .(1)若|a|b|,则ab或ab;(2)向量AB与CD是共线向量,则A、B、C、D四点必在同一条直线上;(3)向量AB与BA是平行向量.答案(3)解析(1)错误.|a|b|仅说明a与b的模相等,不能说明它们方向的关系.(2)错误.共线向量即平行向量,只要
6、方向相同或相反,并不要求两个向量AB、CD必须在同一直线上,因此点A、B、C、D不一定在同一条直线上.(3)正确.向量AB和BA是长度相等,方向相反的两个向量.类型二共线向量与相等向量例 2 如图所示,ABC的三边均不相等,E、F、D分别是AC、AB、BC的中点.(1)写出与EF共线的向量;(2)写出与EF的模大小相等的向量;(3)写出与EF相等的向量.解(1)因为E、F分别是AC、AB的中点,所以EF綊12BC.又因为D是BC的中点,所以与EF共线的向量有FE,BD,DB,DC,CD,BC,CB.(2)与EF模相等的向量有FE,BD,DB,DC,CD.(3)与EF相等的向量有DB与CD.反思
7、与感悟(1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反.(2)共线的向量不一定相等,但相等的向量一定共线.跟踪训练2 如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心.(1)与OA的模相等的向量有多少个?(2)是否存在与OA长度相等、方向相反的向量?若存在,有几个?(3)与OA共线的向量有哪些?解(1)与OA的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB),而每一条线段可以有两个向量,所以这样的向量共有23 个.(2)存在.由正六边形的性质可知,BCAOEF,所以与OA的长度相等、方向相反的向量有AO,OD,FE,BC,共 4 个.(3)由(2)知,BCOAEF,线段OD,AD与OA在同一条直线上,所以与OA共线
8、的向量有BC,CB,EF,FE,AO,OD,DO,AD,DA,共 9 个.类型三向量的表示及应用例 3 一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点,然后又改变方向,向西偏北50的方向走了200 km 到达C点,最后又改变方向,向东行驶了100 km 到达D点.(1)作出向量AB、BC、CD;(2)求|AD|.解(1)向量AB、BC、CD如图所示.(2)由题意,易知AB与CD方向相反,故AB与CD共线,|AB|CD|,在四边形ABCD中,AB綊CD,四边形ABCD为平行四边形,ADBC,|AD|BC|200 km.反思与感悟准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向
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