全等三角形地精彩资料模型(一.).doc
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1、满分晋级满分晋级三角形 9 级 全等三角形的经典模型(二)三角形 8 级 全等三角形的经典模型(一)三角形 7 级 倍长中线与截长补短秋季班第四讲秋季班第三讲秋季班第二讲作弊?漫画释义漫画释义3 全等三角形的 经典模型(一)DCBA4545CBA知识互联网知识互联网思路导航思路导航等腰直角三角形数学模型思路: 利用特殊边特殊角证题(AC=BC 或).如图 1;904545,常见辅助线为作高,利用三线合一的性质解决问题.如图 2; 补全为正方形.如图 3,4.图 1 图 2图 3 图 4 题型一:等腰直角三角形模型题型一:等腰直角三角形模型ABCOMNABCOMN典题精练典题精练【例 1】 已知
2、:如图所示,RtABC 中,AB=AC,O 为 BC 的中点,90BAC 写出点 O 到ABC 的三个顶点 A、B、C 的距离的关系(不要 求证明) 如果点 M、N 分别在线段 AC、AB 上移动,且在移动中保持 AN=CM.试判断OMN 的形状,并证明你的结论. 如果点 M、N 分别在线段 CA、AB 的延长线上移动,且在移动中 保持 AN=CM,试判断中结论是否依然成立,如果是请给出证 明【解析】OA=OB=OC 连接 OA, OA=OC AN=CM45 BAOCANOCMOON=OM NOAMOC 90 NOABONMOCBON 90NOMOMN 是等腰直角三角形ONM 依然为等腰直角三
3、角形, 证明:BAC=90,AB=AC,O 为 BC 中点 BAO=OAC=ABC=ACB=45, AO=BO=OC, 在ANO 和CMO 中,ANCM BAOC AOCO ANOCMO(SAS)ON=OM,AON=COM, 又COMAOM=90, OMN 为等腰直角三角形【例 2】 两个全等的含,角的三角板和三角板,如3060ADEABC图所示放置,三点在一条直线上,连接,取的, ,E A CBDBD中点,连接,试判断的形状,并说明理MMEMCEMC 由ABCOMNMEDCBAFEDCBANM 12ABCDEF3M12ABCDEF3【解析】是等腰直角三角形EMC 证明:连接由题意,得AM,9
4、0 ,90 .DEACDAEBACDAB 为等腰直角三角形.DAB ,DMMB ,45MAMBDMMDAMAB ,105MDEMAC EDMCAM ,EMMCDMEAMC 又90EMCEMAAMCEMADME ,CMEM 是等腰直角三角形EMC【例 3】 已知:如图,中,是的中ABCABAC90BACDAC 点,于,交于,连接AFBDEBCFDF 求证:ADBCDF 【解析】证法一:如图,过点作于,交于AANBCNBDM ,ABAC90BAC 345DAM ,45C3C ,AFBD190BAE ,90BAC290BAE 12 在和中,ABMCAF123ABAC C ABMCAFAMCF 在和中
5、,ADMCDF ADCD DAMC AMCF ADMCDF ADBCDF 证法二:如图,作交的延长线于CMACAFM ,AFBD3290 ,90BAC ,1290 MEDCBAPCBAPCBAD13 在和中,ACMBAD 1390ACAB ACMBAD ACMBAD ,MADB ADCM ,ADDCCMCD 在和中,CMFCDF45 CFCF MCFDCF CMCDCMFCDFMCDF ADBCDF 【例 4】 如图,等腰直角中,为内部一点,满ABC90ACBCACB,PABC足 ,求证:PBPCAPAC,15BCP【解析】补全正方形,连接 DP,ACBD 易证是等边三角形,ADP60DAP4
6、5BAD ,15BAP30PAC75ACP 15BCP【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型在解有关等腰直角三角形中的一些问题,若遇到不易解决或解法比较复杂时,可将等 腰直角三角形引辅助线转化成正方形,再利用正方形的一些性质来解,常常可以起到化难 为易的效果,从而顺利地求解。例 4 为求角度的应用,其他应用探究如下:【探究一】证角等 【备选 1】如图,RtABC 中,BAC=90,AB=AC,M 为 AC 中点,连结 BM,作ADBM 交 BC 于点 D,连结 DM,求证:AMB=CMD21NFABCDMEEMDCBA【解析】作等腰 RtABC 关于 BC 对称的等腰 RtBFC
7、,延长 AD 交 CF 于点 N, ANBM,由正方形的性质,可得 AN=BM, 易证 RtABM RtCAN,AMB=CND,CN=AM, M 为 AC 中点,CM=CN, 1=2,可证得CMDCND, CND=CMD, AMB=CMD【探究二】判定三角形形状 【备选 2】如图,RtABC 中,BAC= 90,AB=AC,AD=CE,ANBD 于点 M,延长 BD 交 NE 的延长线于点 F,试判定DEF 的形状ABCDEFNMKHMNFEDCBA【解析】作等腰 RtABC 关于 BC 对称的等腰 RtBHC, 可知四边形 ABHC 为正方形,延长 AN 交 HC 于点 K, AKBD,可知
8、 AK=BD,易证:RtABDRtCAK, ADB=CKN,CK=AD, AD=EC,CK=CE, 易证CKNCEN,CKN=CEN, 易证EDF=DEF,DEF 为等腰三角形【探究三】利用等积变形求面积 【备选 3】如图,RtABC 中,A=90,AB=AC,D 为 BC 上一点,DEAC,DFAB, 且 BE=4,CF=3,求 S矩形 DFAEGMNFEDCBAFEDCBA【解析】作等腰 RtABC 关于 BC 的对称的等腰 RtGCB, 可知四边形 ABGC 为正方形,分别延长 FD、ED 交 BG、CG 于点 N、M,可知 DN=EB=4,DM=FC=3, 由正方形对称性质, 可知 S
9、矩形 DFAE=S矩形 DMGN=DMDN=34=12【探究四】求线段长 【备选 4】如图,ABC 中,ADBC 于点 D,BAC=45,BD=3,CD=2,求 AD 的长GFEDCBADCBA【分析】此题若用面积公式结合勾股定理再列方程组求解是可以的,但解法太繁琐,本题 尽管已知条件不是等腰直角三角形,但BAC=45,若分别以 AB、AC 为对称轴 作 RtADB 的对称直角三角形和 RtADC 的对称直角三角形,这样就出现两边相 等且夹角为 90的图形,满足等腰直角三角形的条件,然后再引辅助线使之转化 为正方形 【解析】以 AB 为轴作 RtADB 的对称的 RtAEB,再以 AC 为轴作
10、 RtADC 的对称的 Rt AFC 可知 BE=BD=3,FC=CD=2, 延长 EB、FC 交点 G,BAC=45, 由对称性,可得EAF=90,且 AE=AD=AF, 易证四边形 AFGE 为正方形,且边长等于 AD, 设 AD=x,则 BG=x3,CG=x2,在 RtBCG 中,由勾股定理,得,222235xx解得 x=6,即 AD=6【探究五】求最小值EDCBA21【备选 5】如图,RtABC 中,ACB=90,AC=BC=4,M 为 AC 的中点,P 为斜边 AB 上 的动点,求 PM+PC 的最小值MPDBCAMPBCA【解析】将原图形通过引辅助线化归为正方形,即作 RtACB
11、关于 AB 对称的 RtADB, 可知四边形 ACBD 为正方形,连接 CD,可知点 C 关于 AB 的对称点 D,连接 MD 交 AB 于点 P,连接 CP,则 PM+PC 的值为最小,最小值为:PM+PC=DM=22422 5思路导航思路导航常见三垂直模型例题精讲例题精讲【引例】已知 ABBD,EDBD,AB=CD,BC=DE,求证:ACCE; 若将CDE 沿 CB 方向平移得到等不同情形, 1ABC D其余条件不变,试判断 ACC1E 这一结论是否成立?若成立,给予题型二:三垂直模型题型二:三垂直模型C1ABCEDDE(C)BAC1C1ABCEDC1ABCED21GFEOyx3DCBAO
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