年高三数学高考二轮复习专题课件9:导数及其应用.ppt
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1、1.1.了解导数的实际背景了解导数的实际背景,理解导数的几何意义理解导数的几何意义,熟记导熟记导 数基本公式数基本公式,掌握导数基本运算掌握导数基本运算.2.2.能利用导数确定函数单调性能利用导数确定函数单调性,求单调区间求单调区间,求函数的求函数的 极值和最值极值和最值.3.3.能利用导数解决实际问题能利用导数解决实际问题.学案学案9 9 导数及其应用导数及其应用2021/8/8 星期日1 1.1.函数函数f f(x x)=()=(x x-3)e-3)ex x的单调递增区间是的单调递增区间是 ()()A.(-,2)B.(0,3)A.(-,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+)C.(1
2、,4)D.(2,+)解析解析 f f(x x)=()=(x x-3)e-3)ex x+(+(x x-3)(e-3)(ex x)=(=(x x-2)e-2)ex x,令令f f(x x)0,0,解得解得x x2.2.D D2021/8/8 星期日22.2.设设a ab b,函数函数y y=(=(x x-a a)2 2(x x-b b)的图象可能是的图象可能是 ()解析解析 y y=(=(x x-a a)(3)(3x x-2-2b b-a a),),由由y y=0,=0,得得x x=a a或或 当当x x=a a时,时,y y取极大值取极大值0 0,当当 时时,y y取极小值且极小值为负取极小值且
3、极小值为负.或当或当x xb b时时,y y0,0,当当x xb b时时,y y0.0.C C2021/8/8 星期日33.(20093.(2009江西江西)设函数设函数f f(x x)=)=g g(x x)+)+x x2 2,曲线曲线y y=g g(x x)在点在点(1,(1,g g(1)(1)处的切线方程为处的切线方程为y y=2=2x x+1,+1,则曲线则曲线y y=f f(x x)在点在点 (1,(1,f f(1)(1)处切线的斜率为处切线的斜率为 ()()A.4 B.C.2 D.A.4 B.C.2 D.解析解析 由已知由已知g g(1)=2,(1)=2,而而f f(x x)=)=g
4、 g(x x)+2)+2x x,所以所以f f(1)=(1)=g g(1)+21=4.(1)+21=4.A A2021/8/8 星期日44.4.已知二次函数已知二次函数f f(x x)=)=axax2 2+bxbx+c c的导数为的导数为f f(x x),),f f(0)(0)0,0,对于任意实数对于任意实数x x,都有都有f f(x x)0,)0,则则 的最小值的最小值 为为 ()()A.3 B.C.2 D.A.3 B.C.2 D.解析解析 因为因为f f(x x)=2)=2axax+b b,依题意依题意,有有 可得可得c c0,0,C C2021/8/8 星期日5题型一题型一 曲线的切线与
5、函数的单调区间问题曲线的切线与函数的单调区间问题【例【例1 1】(2009(2009全国全国)已知函数已知函数f f(x x)=)=x x4 4-3-3x x2 2+6.+6.(1)(1)讨论讨论f f(x x)的单调性;的单调性;(2)(2)设点设点P P在曲线在曲线y y=f f(x x)上上,若该曲线在点若该曲线在点P P处的切线处的切线l l 通过坐标原点,求通过坐标原点,求l l的方程的方程.2021/8/8 星期日6解解 (1)(1)f f(x x)=4)=4x x3 3-6-6x x=4=4x x(x x+)(+)(x x-)-)当当x x(-,)(-,)和和x x(0,)(0,
6、)时时,f f(x x)0;0;当当x x(,0)(,0)和和x x(,+)(,+)时时,f f(x x)0.0.因此因此,f f(x x)在区间在区间(-,)(-,)和和(0,)(0,)上是减函数上是减函数,f f(x x)在区间在区间(,0)(,0)和和(,+)(,+)上是增函数上是增函数.2021/8/8 星期日7(2)(2)设点设点P P的坐标为的坐标为(x x0 0,f f(x x0 0),),由由l l过原点知,过原点知,l l的方程为的方程为y y=f f(x x0 0)x x,因此因此f f(x x0 0)=)=x x0 0f f(x x0 0),因此切线因此切线l l的方程为
7、的方程为2021/8/8 星期日8【探究拓展探究拓展】一般地】一般地,涉及到函数的单调区间及求曲涉及到函数的单调区间及求曲 线在某点处的切线问题线在某点处的切线问题,往往借助于导数这一重要工往往借助于导数这一重要工 具求解具求解,通过判断导函数的符号通过判断导函数的符号,确定函数的单调区确定函数的单调区 间间,通过求出函数在某点处的导函数值通过求出函数在某点处的导函数值,确定曲线在确定曲线在 此点处切线的斜率,进而求出切线方程此点处切线的斜率,进而求出切线方程.2021/8/8 星期日9变式训练变式训练1 (20091 (2009安徽安徽)已知函数已知函数f f(x x)=)=x x-+-+a
8、 a(2-(2-ln ln x x),),a a0,0,讨论讨论f f(x x)的单调性的单调性.解解f f(x x)的定义域是的定义域是(0,+),(0,+),设设g g(x x)=)=x x2 2-axax+2,+2,二次方程二次方程g g(x x)=0)=0的判别式的判别式=a a2 2-8.-8.当当=a a2 2-8-80,0,即即0 0a a 时,时,对一切对一切x x0 0都有都有f f(x x)0,0,此时此时f f(x x)在在(0,+)(0,+)上是上是 增函数增函数.当当=a a2 2-8=0,-8=0,即即a a=时,时,仅对仅对x x=有有f f(x x)=0)=0,
9、对其余的对其余的x x0 0都有都有f f(x x)0 0,此时此时f f(x x)在在(0,+)(0,+)上也是增函数上也是增函数.2021/8/8 星期日10当当=a a2 2-8-80,0,即即a a时,时,方程方程g g(x x)=0)=0有两个不同的实根有两个不同的实根此时此时f f(x x)在)在(0,)(0,)上单调递增,上单调递增,在在()()上单调递减,上单调递减,在在(,+)(,+)上单调递增上单调递增.x x x x(0,(0,(0,(0,x x x x1 1 1 1)x x x x1 1 1 1(x x x x1 1 1 1,x x x x2 2 2 2)x x x x
10、2 2 2 2(x x x x2 2 2 2,+),+),+),+)f f f f(x x x x)+0 0 0 0-0 0 0 0+f f f f(x x x x)单调递单调递单调递单调递增增增增极极极极大大大大单调递单调递单调递单调递减减减减极小极小极小极小单调递增单调递增单调递增单调递增2021/8/8 星期日11题型二题型二 函数的极值与最值问题函数的极值与最值问题【例【例2 2】(2009(2009山东山东)已知函数已知函数f f(x x)=)=axax3 3+bxbx2 2+x x+3,+3,其其 中中a a0.0.(1)(1)当当a a,b b满足什么条件时满足什么条件时,f f
11、(x x)取得极值?取得极值?(2)(2)已知已知a a0,0,且且f f(x x)在区间在区间(0,1(0,1上单调递增上单调递增,试用试用a a 表示出表示出b b的取值范围的取值范围.解解 (1)(1)由已知得由已知得f f(x x)=)=axax2 2+2+2bxbx+1,+1,令令f f(x x)=0,)=0,得得axax2 2+2+2bxbx+1=0,+1=0,f f(x x)要取得极值要取得极值,方程方程axax2 2+2+2bxbx+1=0+1=0必须有解,必须有解,所以所以=4=4b b2 2-4-4a a0,0,即即b b2 2a a,此时方程此时方程axax2 2+2+2
12、bxbx+1=0+1=0的根为的根为2021/8/8 星期日12所以所以f f(x x)=)=a a(x x-x x1 1)()(x x-x x2 2).).当当a a0 0时时,f f(x x),),f f(x x)随随x x的变化情况如下表:的变化情况如下表:所以所以f f(x x)在在x x1 1,x x2 2处分别取得极大值和极小值处分别取得极大值和极小值.x x x x(-(-(-(-,x x x x1 1 1 1)x x x x1 1 1 1(x x x x1 1 1 1,x x x x2 2 2 2)x x x x2 2 2 2(x x x x2 2 2 2,+),+),+),+
13、)f f f f(x x x x)+0 0 0 0-0 0 0 0+f f f f(x x x x)增函数增函数增函数增函数极大值极大值极大值极大值减函数减函数减函数减函数极小值极小值极小值极小值增函数增函数增函数增函数2021/8/8 星期日13当当a a0 0时时,f f(x x),),f f(x x)随随x x的变化情况如下表:的变化情况如下表:所以所以f f(x x)在在x x1 1,x x2 2处分别取得极大值和极小值处分别取得极大值和极小值.综上,当综上,当a a,b b满足满足b b2 2 a a时,时,f f(x x)取得极值取得极值.x x x x(-(-(-(-,x x x
14、 x2 2 2 2)x x x x2 2 2 2(x x x x2 2 2 2,x x x x1 1 1 1)x x x x1 1 1 1(x x x x1 1 1 1,+),+),+),+)f f f f(x x x x)-0 0 0 0+0 0 0 0-f f f f(x x x x)减函数减函数减函数减函数极小值极小值极小值极小值增函数增函数增函数增函数极大值极大值极大值极大值减函数减函数减函数减函数2021/8/8 星期日14(2)(2)要使要使f f(x x)在区间在区间(0,1(0,1上单调递增,上单调递增,需使需使f f(x x)=)=axax2 2+2+2bxbx+10+10在
15、在(0,1(0,1上恒成立上恒成立.2021/8/8 星期日152021/8/8 星期日16【探究拓展探究拓展】求解函数的极值与最值问题常常利用求】求解函数的极值与最值问题常常利用求 导的方法来解决导的方法来解决,解决这类问题的一般方法是解决这类问题的一般方法是:(1):(1)分分 析得出函数的定义域;析得出函数的定义域;(2)(2)判断函数是否可导,如可判断函数是否可导,如可 导,则利用导函数求最值的方法进行求解导,则利用导函数求最值的方法进行求解,否则利用否则利用 函数性质求解;函数性质求解;(3)(3)如果一个函数在开区间内只有一如果一个函数在开区间内只有一 个极值点,那么它也是相应的最
16、值点个极值点,那么它也是相应的最值点.2021/8/8 星期日17变式训练变式训练2 2 设关于设关于x x的方程的方程2 2x x2 2-axax-2=0-2=0的两根分别为的两根分别为 (1)(1)证明证明:f f(x x)在区间在区间 上是增函数;上是增函数;(2)(2)当当a a为何值时为何值时,f f(x x)在区间在区间 上的最大值与最上的最大值与最 小值之差最小小值之差最小.(1)(1)证明证明 由方程由方程2 2x x2 2-axax-2=0-2=0的两根分别为的两根分别为 知知x x 时时,2,2x x2 2-axax-2-20,0,所以此时所以此时f f(x x)0,0,所
17、以所以f f(x x)在区间在区间 上是增函数上是增函数.2021/8/8 星期日18(2)(2)解解 由由(1)(1)知在知在 上上,f f(x x)是增函数是增函数.则则f f(x x)在区间在区间 的最小值为的最小值为 最大值为最大值为所以当所以当a a=0=0时时,f f(x x)在区间在区间 上的最大值与最小值之上的最大值与最小值之差最小,最小值为差最小,最小值为4.4.2021/8/8 星期日19题型三题型三 导数与不等式导数与不等式【例【例3 3】设函数】设函数f f(x x)=)=x x4 4+axax3 3+2+2x x2 2+b b(x xR R),),其中其中a a、b
18、bR.R.(1)(1)当当a a=时,讨论函数时,讨论函数f f(x x)的单调性;的单调性;(2)(2)若函数若函数f f(x x)仅在仅在x x=0=0处有极值处有极值,求求a a的取值范的取值范 围;围;(3)(3)若对于任意的若对于任意的a a-2,2,-2,2,不等式不等式f f(x x)1)1在在-1,1-1,1上恒成立上恒成立,求求b b的取值范围的取值范围.2021/8/8 星期日20解解 (1)(1)f f(x x)=4)=4x x3 3+3+3axax2 2+4+4x x=x x(4(4x x2 2+3+3axax+4).+4).f f(x x)=)=x x(4(4x x2
19、 2-10-10 x x+4)=2+4)=2x x(2(2x x-1)(-1)(x x-2).-2).令令f f(x x)=0,)=0,解得解得 x x1 1=0,=0,x x2 2=,=,x x3 3=2.=2.当当x x变化时,变化时,f f(x x),),f f(x x)的变化情况如下表:的变化情况如下表:所以所以f f(x x)在在(0,),(2(0,),(2,+)内是增函数,)内是增函数,在(在(-,0),(,2)-,0),(,2)内是减函数内是减函数.x x x x(-(-(-(-,0 0 0 0)0 0 0 02 2 2 2(2,(2,(2,(2,+)f f f f(x x x
20、x)-0 0 0 0+0 0 0 0-0 0 0 0+f f f f(x x x x)极小极小极小极小值值值值极大极大极大极大值值值值极小极小极小极小值值值值2021/8/8 星期日21(2 2)f f(x x)=)=x x(4(4x x2 2+3+3axax+4),+4),显然显然x x=0=0不是方程不是方程 4 4x x2 2+3+3axax+4=0+4=0的根的根.为使为使f f(x x)仅在仅在x x=0=0处有极值处有极值,必须有必须有4 4x x2 2+3+3axax+40+40恒成恒成 立,即有立,即有=9=9a a2 2-640.-640.解此不等式,得解此不等式,得 这时,
21、这时,f f(0)=(0)=b b是唯一极值是唯一极值.因此满足条件的因此满足条件的a a的取值范围是的取值范围是 .2021/8/8 星期日22(3)(3)由条件由条件a a-2,2-2,2可知可知=9=9a a2 2-64-640,0,从而从而4 4x x2 2+3+3axax+4+40 0恒成立恒成立.当当x x0 0时,时,f f(x x)0 0;当;当x x0 0时,时,f f(x x)0.0.因此函数因此函数f f(x x)在在-1,1-1,1上的最大值是上的最大值是f f(1)(1)与与f f(-1)(-1)两两者中的较大者者中的较大者.为使对任意的为使对任意的a a-2,2,-
22、2,2,不等式不等式f f(x x)1)1在在-1,1-1,1上上恒成立,当且仅当恒成立,当且仅当所以所以b b-4,-4,因此满足条件的因此满足条件的b b的取值范围是(的取值范围是(-,-4-4.2021/8/8 星期日23【探究拓展探究拓展】本小题主要考查了函数的单调性、导】本小题主要考查了函数的单调性、导 数、极大数、极大(小小)值及不等式恒成立问题值及不等式恒成立问题,在解答这类问在解答这类问 题时题时,要注意利用导函数的符号判断单调性要注意利用导函数的符号判断单调性,切记切记,导导 函数的偶次重根不是极值点函数的偶次重根不是极值点,解答不等式恒成立问解答不等式恒成立问 题题,往往涉
23、及函数的单调性,一定要判断出函数在所往往涉及函数的单调性,一定要判断出函数在所 给区间上的单调性,利用函数的单调性解题给区间上的单调性,利用函数的单调性解题,能大大能大大 简化解题过程,使解答变得简单明了简化解题过程,使解答变得简单明了.2021/8/8 星期日24变式训练变式训练3 3 已知函数已知函数 (c c0 0且且c c1,1,k kR)R)恰有一个极大值点和一个极小值点恰有一个极大值点和一个极小值点.其中一个其中一个 是是x x=-=-c c.(1)(1)求函数求函数f f(x x)的另一个极值点;的另一个极值点;(2)(2)求函数求函数f f(x x)的极大值的极大值M M和极小
24、值和极小值m m,并求,并求M M-m m11 时时k k的取值范围的取值范围.2021/8/8 星期日25解解 (1)(1)由题意知由题意知f f(-(-c c)=0,)=0,即得即得c c2 2k k-2-2c c-ckck=0.(*)=0.(*)c c0,0,k k0.0.由由f f(x x)=0)=0得得-kxkx2 2-2-2x x+ckck=0=0,由韦达定理知另一个极值点为由韦达定理知另一个极值点为x x=1=1(2)(2)由由(*)(*)式得式得 当当c c1 1时时,k k0;0;当当0 0c c1 1时时,k k-2.-2.当当k k0 0时时,f f(x x)在在(-,-
25、(-,-c c)和和(1,+)(1,+)内是减函数,内是减函数,在在(-(-c c,1),1)内是增函数,内是增函数,2021/8/8 星期日26当当k k-2-2时,时,f f(x x)在在(-,-(-,-c c)和和(1,+)(1,+)内是增函数内是增函数,在在(-(-c c,1),1)内是减函数,内是减函数,综上可知综上可知,所求所求k k的取值范围为的取值范围为(-,-2),+).(-,-2),+).2021/8/8 星期日27【例【例4 4】(2009(2009江苏江苏)设设a a为实数为实数,函数函数f f(x x)=2)=2x x2 2+(x x-a a)|)|x x-a a|.
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