4.2函数的凸性与拐点(1-15).ppt
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1、4.2 函数的函数的凸性与拐点凸性与拐点a ba ba ba b(1)单调单调增增(2)单调增单调增(3)单调减单调减(4)单调减单调减 前面我们研究了单调性前面我们研究了单调性,然而我们注意到仅知然而我们注意到仅知道单调性对了解函数的性态是不够的道单调性对了解函数的性态是不够的(2)若总有若总有 则称则称f(x)在在 a,b 上是上是 凹函数凹函数说明说明:(1)图图(1)、(3)所表示的函数是凸函数所表示的函数是凸函数 两个不同的点两个不同的点 x1,x2,则称则称 f(x)在在 a,b 上是上是 凸函数凸函数;(1)若总有若总有设设 y=f(x)在在a,b上有定义上有定义,对于对于a,b
2、上任上任意意定义定义(2)图图(2)、(4)所表示的函数是凹函数所表示的函数是凹函数(3)凹凸函数的另一重要特征凹凸函数的另一重要特征:凹函数凹函数a b凸函数的切线斜率凸函数的切线斜率 f (x)单调增加单调增加凹函数的切线斜率凹函数的切线斜率 f (x)单调减少单调减少凸函数凸函数a b定理定理 (一阶充分条件一阶充分条件)若若 f(x)在在 a,b 上上连续连续,(a,b)内可内可导导,且且 f (x)在在(a,b)内单调增加内单调增加(或减少或减少),则则 f(x)在在a,b是凸函数是凸函数(凹函数凹函数)任取任取 x1,x2 a,b,x1 1,知知 f (2)f (1)利用拉格朗日中
3、值定理有利用拉格朗日中值定理有证明证明:记记判断判断 f (x)单调性可用单调性可用 f (x)的符号的符号定理定理 (二阶充分条件二阶充分条件)(1)可放宽成可放宽成 f (x)0 及及 f (x)=0 的点不形成区的点不形成区间间说明说明:(2)当当 f(x)二阶可导时二阶可导时,f (x)0 也是也是 f(x)在在a,b 上是凸函数的必要条件上是凸函数的必要条件 设设 f(x)在在 a,b 上上连续连续,(a,b)内有二内有二阶导阶导数数,则则 (2)如果在如果在(a,b)内内 f (x)0,则则 f(x)是是 a,b 上的上的凹函数凹函数 凸函数凸函数 定理定理 (凸或凹函数的必要条件
4、)凸或凹函数的必要条件)设设 f(x)在在 a,b 上上连续连续,(a,b)内有二内有二阶导阶导数数,且且(或或 0)f(x)是是 a,b 上的凸上的凸(或凹或凹)函数函数,则则在在(a,b)内恒有内恒有证明证明 见教材见教材解解当当 x (-,0)时时,f (x)0 f(x)是凸的是凸的当当 x (0,1)时时,f (x)0 f(x)是凸的是凸的 例例(划分凹凸区间划分凹凸区间)讨论讨论 的凹凸区间的凹凸区间 f (x)有两个零点有两个零点 x1=0,x2=1,并将定义域并将定义域分成三分成三个子区间个子区间 凸函数的性质凸函数的性质:利用泰勒公式利用泰勒公式,有有x0凸函数凸函数其中其中
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- 4.2 函数的凸性与拐点1-15 函数 拐点 15
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