弹塑性力学应变分析.ppt
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1、第三章第三章 应变分析应变分析3-1 3-1 相对位移张量和应变张量相对位移张量和应变张量3-3 3-3 应变张量的性质应变张量的性质3-4 3-4 变形协调方程变形协调方程3-5 3-5 位移边界条件位移边界条件3-2 3-2 几何方程几何方程Cauchy方程方程3-1 3-1 相对位移张量和应变张量相对位移张量和应变张量xyzO一一.一点的相对位移张量一点的相对位移张量P设设 点的位移分量为点的位移分量为相邻一点相邻一点AA1P1位移分量为位移分量为两点间的位移(矢量)差两点间的位移(矢量)差将将 在在 处展开,并忽略高阶项,则处展开,并忽略高阶项,则 相对位移张量一般为非对称张量。相对位
2、移张量一般为非对称张量。相对位移张量反映了一点相对位移的总体情况,既包含了相对位移张量反映了一点相对位移的总体情况,既包含了因刚体位移产生的相对位移,又包含了因变形位移产生的相对因刚体位移产生的相对位移,又包含了因变形位移产生的相对位移;位移;称为称为P P点的点的相对位移张量相对位移张量二二.转动张量转动张量xyzOPAA1P1设设若为刚体位移,则若为刚体位移,则展开展开由由dxidxj的任意性,其项前系数为零。即的任意性,其项前系数为零。即所以所以位移转动张量必为反对称张量。位移转动张量必为反对称张量。满足此条件的相对位移张满足此条件的相对位移张量称为量称为相对刚体位移张量相对刚体位移张量
3、或或转动张量转动张量将相对位移张量分解为将相对位移张量分解为其中第二项其中第二项 第一项为不包含刚体位移的相对位移张量,即由变形产生第一项为不包含刚体位移的相对位移张量,即由变形产生的相对位移张量。称为的相对位移张量。称为应变张量应变张量,记为,记为 。三三.应变张量应变张量反对称,即为转动张量,记为反对称,即为转动张量,记为应变张量是对称张量应变张量是对称张量3-2 3-2 几何方程几何方程Cauchy方程方程xyzOP 建立应变与位移的关系,揭示应变张量各分量的物理意义建立应变与位移的关系,揭示应变张量各分量的物理意义考察考察P点,点,分别沿分别沿 x、y、z正向引三正正向引三正交线元交线
4、元 r、s、t变形后变形后P点移动到点移动到P点点P 三线元的长度和相对夹角也发生变化三线元的长度和相对夹角也发生变化将三线元变形前后的位置分别向三坐将三线元变形前后的位置分别向三坐标面投影,建立其应变和位移的关系标面投影,建立其应变和位移的关系投影引起的误差为高阶微量以向以向yz平面投影分析为例平面投影分析为例设设P点的坐标为点的坐标为 y、zs、t 的长度为的长度为dy、dz点点P到P 的位移为的位移为 v、ws点到点到s 的位移为的位移为 vs、ws由正应变的定义由正应变的定义由切应变的定义由切应变的定义t点到点到t 的位移为的位移为 vt、wtyzOPP 若向若向xy平面投影同理可得平
5、面投影同理可得若向若向zx平面投影同理可得平面投影同理可得综合之综合之此方程组表明了应变与此方程组表明了应变与位移的关系,称为位移的关系,称为几何几何方程方程或或Cauchy方程方程对比应变张量各分量,可见对比应变张量各分量,可见 应变张量分量与工程应变的原始定义完全相同,但应变张量分量与工程应变的原始定义完全相同,但工程切应变是角应变分量的工程切应变是角应变分量的2 2倍倍,故一点应变状态可由,故一点应变状态可由应变张量描述应变张量描述几何方程可表示为几何方程可表示为3-3 3-3 应变张量的性质应变张量的性质由于应变张量是对称二阶张量,因此与应力张量具有类似的性质由于应变张量是对称二阶张量
6、,因此与应力张量具有类似的性质一一.任意方向的正应变和任意两垂直方向的切应变任意方向的正应变和任意两垂直方向的切应变1.1.设一点的应变状态为设一点的应变状态为ij ,则该点任意方向,则该点任意方向N(l1,l2,l3)正应正应变变2.2.设一点的应变状态为设一点的应变状态为ij ,两垂直方向分别为,两垂直方向分别为 r(l1,l2,l3)和和 s(l1,l2,l3),则该点则该点rs方向上的切应变方向上的切应变二二.应变状态的坐标变换应变状态的坐标变换 设一点的应变状态在设一点的应变状态在 Oxyz 坐标系下的应变张量为坐标系下的应变张量为ij ,旋,旋转后的坐标系为转后的坐标系为 Oxyz
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- 关 键 词:
- 塑性 力学 应变 分析
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