01第六章第1,2节_微分方程的概念_一阶微分方程.ppt.ppt
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1、微分方程的基本概念 第一节微分方程的基本概念微分方程的基本概念引例引例 几何问题几何问题物理问题物理问题引例引例1.一曲线通过点一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的在该曲线上任意点处的解解:设所求曲线方程为设所求曲线方程为 y=y(x),则有如下关系式则有如下关系式:(C为任意常数为任意常数)由由 得得 C=1,因此所求曲线方程为因此所求曲线方程为由由 得得切线斜率为切线斜率为 2x,求该曲线的方程求该曲线的方程.引例引例2.列车在平直路上以列车在平直路上以的速度行驶的速度行驶,制动时制动时获得加速度获得加速度求制动后列车的运动规律求制动后列车的运动规律.解解:设列车在制动后设列车在制
2、动后 t 秒行驶了秒行驶了s 米米,已知由前一式两次积分由前一式两次积分,可得可得利用后两式可得利用后两式可得因此所求运动规律为因此所求运动规律为说明说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住能停住,以及制动后行驶了多少路程以及制动后行驶了多少路程.即求即求 s=s(t).常微分方程常微分方程偏微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做含未知函数及其导数的方程叫做微分方程微分方程.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(本章内容)(n 阶阶显式显式微分方程微分方程)微分方程的基本概念微分方程的基
3、本概念一般地一般地,n 阶常微分方程的形式是阶常微分方程的形式是的阶阶.分类或或引例2 使方程成为恒等式的函数.通解通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程解中所含独立的任意常数的个数与方程 确定通解中任意常数的条件确定通解中任意常数的条件.n 阶方程的初始条件初始条件(或初值条件或初值条件):的阶数相同的阶数相同.特解特解引例1 通解通解:特解特解:微分方程的解解 不含任意常数的解不含任意常数的解,定解条件定解条件 其图形称为积分曲线积分曲线.例例1.验证函数是微分方程的解,的特解.解解:这说明是方程的解.是两个独立的任意常数,利用初始条件易得:故所求特解为故它是方程的通解.并求满足初始条件
4、 第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 一、一、可分离变量方程可分离变量方程 二、齐次方程二、齐次方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程转化 解分离变量方程解分离变量方程 一、一、可分离变量方程可分离变量方程 分离变量方程的解法分离变量方程的解法:设设 y (x)是方程是方程的解的解,两边积分两边积分,得得 则有恒等式则有恒等式 当G(y)与F(x)可微且 G(y)g(y)0 时,说明由确定的隐函数 y(x)是的解.则有则有称为方程的隐式通解隐式通解,或通积分通积分.同样,当F(x)=f(x)0 时,上述过程可逆,由确定的隐函数 x(y)也是的解.例例1 1 求解微分方程求解微分方程解
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